ハイブリッド差分スキーム

ハイブリッド差分法^{[1] [2]は、}対流拡散問題の数値解法として用いられる手法である。Spalding ( 1970 )によって導入された。これは中心差分法と風上差分法を組み合わせたもので、両方の長所を活かしている。^{[3] [4]}

導入

出典: ^[5]

ハイブリッド差分法は、対流拡散問題の数値解法として用いられる手法である。これらの問題は数値流体力学において重要な役割を果たしている。ハイブリッド差分法は、以下の一般的な偏方程式で記述できる。^[6]

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \phi )+\nabla (\rho \mathbf {u} \phi )\,=\nabla (\Gamma \cdot \operatorname {grad} \phi )+S_{\phi }}$ ${\displaystyle \;}$ （1）

ここで、は密度、は速度ベクトル、は拡散係数、は熱源項です。この式の性質において、は温度、内部エネルギー、または速度ベクトルのx、y、z方向 の成分となります。${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \Gamma}$ ${\displaystyle S_{\phi}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$

定常状態および熱源のない対流拡散問題の1次元解析では、方程式は次のように簡約される。

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}(\rho u\phi )\,={\frac {\partial }{\partial x}}\left(\Gamma {\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right),\quad 0<x<L\;}$ ${\displaystyle \;}$ （2）

境界条件では、およびで、L は長さ、およびは指定された値です。 ${\displaystyle \phi (0)\,=\phi _{0}}$ ${\displaystyle \phi (L)\,=\phi _{L}}$ ${\displaystyle \phi _{0}}$ ${\displaystyle \phi _{L}}$

グリッド生成

式2をノードNを含む制御体積にわたって積分し、ガウスの定理を用いると、

${\displaystyle \int _{CV}\nabla (\rho \mathbf {u} \phi )dV\,=\int _{A}\mathbf {n} \cdot (\rho \mathbf {u} \phi )dA}$ ${\displaystyle \;}$ （3）

次の結果が得られます。

${\displaystyle \left(\rho uA\phi \right)_{r}-\left(\rho uA\phi \right)_{l}}$ = ( 4 )${\displaystyle \left(\Gamma A{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)_{r}-\left(\Gamma A{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)_{l}}$ ${\displaystyle \;}$

ここで、Aは制御体積の断面積である。この式は連続の式も満たす必要がある。すなわち、

${\displaystyle \left(\rho uA\right)_{r}-\left(\rho uA\right)_{l}}$ = 0 ( 5 )${\displaystyle \;}$

ここで、細胞表面における 対流質量流束と拡散コンダクタンスを表す変数FとDを定義しましょう。

${\displaystyle F\,=\rho uA}$ ${\displaystyle \;}$ そして （6）${\displaystyle \;}$ ${\displaystyle D\,={\frac {\Gamma A}{\delta x}}}$ ${\displaystyle \;}$

したがって、式（４）と式（５）は次の式に変換される。

${\displaystyle F_{r}\phi _{r}-F_{l}\phi _{l}\,=D_{r}(\phi _{R}-\phi _{N})-D_{l}(\phi _{N}-\phi _{L})}$ ${\displaystyle \;}$ （7）

${\displaystyle F_{r}-F_{l}\,=0}$ ${\displaystyle \;}$ （8）

ここで、小文字は面における値、大文字は節点における値を表します。また、対流と拡散の相対的な強さを表す指標として、 無次元パラメータであるペクレ数（Pe）を定義します。

${\displaystyle Pe\,={\frac {F}{D}}\,={\frac {\rho u}{\Gamma /\delta x}}}$ ${\displaystyle \;}$ （9）

ペクレ数が小さい場合（|Pe|<2）、流れは拡散が支配的であると特徴付けられます。ペクレ数が大きい場合、流れは対流が支配的であると特徴付けられます。

中央および風上差分スキーム

出典: ^{[3] [7]}

図1: 中心差分法における離散化に使用されるグリッド

上記の式( 7 )および( 8 )において、必要な値は節点ではなく面にあることがわかります。したがって、これを満たすには近似が必要です。

中心差分法では、面の値を隣接するノードの値の平均に置き換えます。

${\displaystyle \phi _{r}\,={\frac {\phi _{R}+\phi _{N}}{2}}}$ ${\displaystyle \;}$ そして （10）${\displaystyle \;}$ ${\displaystyle \phi _{l}\,={\frac {\phi _{N}+\phi _{L}}{2}}}$ ${\displaystyle \;}$

図2: 正のペクレ数（Pe>0）の風上差分法における離散化に使用されるグリッド

図3: 負のペクレ数（Pe < 0）の風上差分スキームにおける離散化に使用されるグリッド

これらの値を式（７）に代入して整理すると、次の結果が得られる。

${\displaystyle a_{N}\phi _{N}\,=a_{R}\phi _{R}+a_{L}\phi _{L}}$ ${\displaystyle \;}$ （11）

どこ、

${\displaystyle a_{L}}$	${\displaystyle a_{R}}$	${\displaystyle a_{N}}$
${\displaystyle D_{l}+{\frac {F_{l}}{2}}}$	${\displaystyle D_{r}-{\frac {F_{r}}{2}}}$	${\displaystyle a_{R}+a_{L}+(F_{r}-F_{l})}$

Upwind法では、面の値を隣接する上流ノードの値に置き換えます。例えば、図に示すように右方向の流れ（Pe>0）の場合、値は以下のように置き換えられます。

${\displaystyle \phi _{l}\,=\phi _{L}}$ ${\displaystyle \;}$ そして （12）${\displaystyle \;}$ ${\displaystyle \phi _{r}\,=\phi _{N}}$ ${\displaystyle \;}$

Pe < 0の場合、図3に示すように値を設定します。

${\displaystyle \phi _{r}\,=\phi _{R}}$ ${\displaystyle \;}$ そして（13）${\displaystyle \;}$ ${\displaystyle \phi _{l}\,=\phi _{N}}$ ${\displaystyle \;}$

これらの値を式( 7 )に代入して整理すると、式( 11 )と同じ式が得られ、係数の値は次のように表される。

${\displaystyle a_{L}}$	${\displaystyle a_{R}}$	${\displaystyle a_{N}}$
${\displaystyle D_{l}+\max(F_{l},0)}$	${\displaystyle D_{r}+\max(-F_{r},0)}$	${\displaystyle a_{R}+a_{L}+(F_{r}-F_{l})}$

ハイブリッド差分スキーム

出典: ^{[3] [7]}

図4: 異なるペクレ数(Pe)における長さ(L)に沿った任意の特性(ϕ)の変化を示す図

Spalding (1970) のハイブリッド差分法は、中心差分法と風上差分法を組み合わせたものです。ペクレ数が小さい場合 (|Pe| < 2) は、2次精度の中心差分法を使用します。ペクレ数が大きい場合 (|Pe| > 2) は、1次精度でありながら流体の対流を考慮した風上差分法を使用します。

図4からわかるように、Pe = 0の場合、線形分布となり、Peが高い場合は流れの方向に応じて上流側の値をとります。例えば、左面における値は、状況によって以下のように変化します。

${\displaystyle \phi _{l}\,=\left[\left(1+{\frac {2}{Pe_{l}}}\right){\frac {\phi _{L}}{2}}+\left(1-{\frac {2}{Pe_{l}}}\right){\frac {\phi _{N}}{2}}\right]\,}$ ${\displaystyle \;}$ （14）のために${\displaystyle \;}$ ${\displaystyle -2<Pe_{l}<2}$ ${\displaystyle \;}$

${\displaystyle \phi _{l}\,=\phi _{L}}$ ${\displaystyle \;}$ （15）について${\displaystyle \;}$ ${\displaystyle Pe_{l}{\text{≥}}2}$ ${\displaystyle \;}$

${\displaystyle \phi _{l}\,=\phi _{N}}$ ${\displaystyle \;}$ （16）のために${\displaystyle \;}$ ${\displaystyle Pe_{l}{\text{≤}}-2}$ ${\displaystyle \;}$

これらの値を式（７ ）に代入すると、係数の値が 同じである式（１１ ）が得られる。

${\displaystyle a_{L}}$	${\displaystyle a_{R}}$	${\displaystyle a_{N}}$
${\displaystyle \max \left[F_{l},\left(D_{l}+{\frac {F_{l}}{2}}\right),0\right]}$	${\displaystyle \max \left[-F_{r},\left(D_{r}-{\frac {F_{r}}{2}}\right),0\right]}$	${\displaystyle a_{r}+a_{l}+(F_{r}-F_{l})}$

メリットとデメリット

この手法は、中心差分法と風上差分法のそれぞれの利点を活用します。高いペクレ数において中心差分法が不正確な結果をもたらす場合、風上差分法に切り替えます。この手法は物理的に現実的な解を生成し、実際の流れの予測に役立つことが証明されています。ハイブリッド差分法の唯一の欠点は、テイラー級数 打ち切り誤差に関する精度が一次しか得られないことです。

参照

• 対流の風上差分法

参考文献

1. パタンカール、スハス・V. (1980).数値的熱伝達と流体流れ（第14刷）. ブリストル、ペンシルバニア州: テイラー・アンド・フランシス. ISBN 9780891165224。
2. Versteeg, HK; Malalasekera, W. (2007).数値流体力学入門：有限体積法（第2版）. ハーロウ：プレンティス・ホール. ISBN 9780131274983。
3. Scarborough, JB(1958) 数値数学解析、第4版、ジョンズホプキンス大学出版局、メリーランド州ボルチモア。
4. Spalding, DB (1972). 第一導関数と第二導関数の両方を含む微分表現のための新しい有限差分定式化, Int. J. Numer. Methods Eng., Vol. 4.
5. Pollard, A. および Siu, ALW (1982). 様々な離散化スキームを用いた層流計算, Comput. Methods Appl. Mech. Eng., Vol. 35.
6. Borris, JPとBrook, DL (1976). フラックス補正輸送法による連続方程式の解, J. Comput. Phys., Vol. 16.
7. Roache, PJ(1976) 数値流体力学、ニューメキシコ州アルバカーキ、ハーモサ。

外部リンク

• http://proceedings.fyper.com/eccomascfd2006/documents/595.pdf
• http://www.internonlinearscience.org/upload/papers/20110228093510102.pdf
• http://www.internonlinearscience.org/upload/papers/20110227034844410.pdf