低弾性材料

連続体力学において、亜弾性材料[1]とは、線形化された場合を除いて、有限ひずみ尺度に依存しない構成モデルを持つ弾性材料である。亜弾性材料モデルは、特殊な状況を除いてひずみエネルギー密度関数から導出できないという点で、超弾性材料モデル（または標準的な弾性モデル）とは異なる。

概要

低弾性材料は、厳密には、以下の2つの基準を満たす構成方程式を使用してモデル化された材料として定義できます。 [2]

  1. 時刻tにおけるコーシー応力は、物体が過去の配置を取った順序のみに依存し、過去の配置を遷移した時間速度には依存しない。特殊なケースとして、この基準にはコーシー弾性体が含まれる。この場合、現在の応力は過去の配置の履歴ではなく、現在の配置のみに依存する。 σ {\displaystyle {\boldsymbol {\シグマ }}} t {\displaystyle t}
  2. テンソル値関数があり、はコーシー応力テンソルの物質速度、 は空間速度勾配テンソルです。 G {\displaystyle G} σ ˙ ＝ G （ σ 、 L ） 、 {\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\sigma }}}=G({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {L}})\,,} σ ˙ {\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\sigma }}}} L {\displaystyle {\boldsymbol {L}}}

低弾性の定義にこれらの2つの基準のみを用いると、超弾性が特別なケースとして含まれることになり、構成モデル作成者の中には、低弾性モデルが超弾性ではないことを明確に要求する3つ目の基準を追加する者もいます（つまり、低弾性とは、応力がエネルギーポテンシャルから導出できないことを意味する）。この3つ目の基準を採用すると、低弾性材料は、同じ変形勾配で始まり、終わるものの、同じ内部エネルギーで始まり、終わる わけではない、非保存的な断熱荷重経路を許容する可能性があることになります。

2番目の基準は、関数が存在することのみを要求していることに注意してください。後述するように、低弾性モデルの特定の定式化では、通常、いわゆる客観的応力速度が用いられるため、関数は暗黙的にのみ存在します。 G {\displaystyle G} G {\displaystyle G}

低弾性材料モデルは、しばしば の形をとります。 ここで、はキルヒホッフ応力（）の客観的な速度、は変形速度テンソル、はいわゆる弾性接線剛性テンソルで、応力自体によって変化し、材料特性テンソルとみなされます。超弾性においては、異方性材料の繊維方向の歪みや回転を適切に考慮するために、接線剛性は一般に変形勾配にも依存する必要があります。 [3] τ ∘ ＝ M : d {\displaystyle {\overset {\circ }{\boldsymbol {\tau }}}={\mathsf {M}}:{\boldsymbol {d}}} τ ∘ {\displaystyle {\overset {\circ }{\boldsymbol {\tau }}}} τ := J σ {\displaystyle {\boldsymbol {\tau}}:=J{\boldsymbol {\sigma }}} d := [ 1 2 （ L + L T ） ] {\textstyle {\boldsymbol {d}}:=\left[{\frac {1}{2}}({\boldsymbol {L}}+{\boldsymbol {L}}^{T})\right]} M {\displaystyle {\mathsf {M}}}

低弾性と客観的応力率

固体力学の多くの実用的な問題では、材料の変形を微小な（または線形化された）ひずみテンソルで特徴づければ十分である。 ここで、は連続点の変位成分、添字 は直交座標系、コンマで始まる添字は偏微分を表す（例： ）。しかし、ひずみの有限性を考慮しなければならない問題も数多く存在する。これらは以下の2種類である。 ε 私 j ＝ 1 2 （ あなた 私 、 j + あなた j 、 私 ） {\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}(u_{i,j}+u_{j,i})} あなた 私 {\displaystyle u_{i}} × 私 {\displaystyle x_{i}} （ 私 ＝ 1 、 2 、 3 ） {\displaystyle (i=1,2,3)} あなた 私 、 j ＝ ∂ あなた 私 / ∂ × j {\displaystyle u_{i,j}=\partial u_{i}/\partial x_{j}}

  1. ポテンシャルエネルギーを持つ大きな非線形弾性変形（例えばゴム）では、応力テンソル成分は有限ひずみテンソル成分に対する偏微分として得られる。 W （ F ） {\displaystyle W({\boldsymbol {F}})} W {\displaystyle W}
  2. ポテンシャルを持たない非弾性変形であり、応力とひずみの関係は増分的に定義されます。

前者の場合、有限ひずみ理論に関する論文で述べた全ひずみ定式化が適切です。後者の場合、増分（または速度）定式化が必要であり、更新ラグランジュ法を用いた有限要素コンピュータプログラムの各荷重または時間ステップで使用しなければなりません。ポテンシャルが存在しないと、有限ひずみ尺度の選択と応力速度の特性評価の自由度のために複雑な問題が生じます。

十分に小さな荷重ステップ（または増分）の場合、 ステップにおける初期（応力および変形）状態からの線形化されたひずみ増分を表す変形速度テンソル（または速度ひずみ） または増分を 使用できます。ここで、上側の点は、材料の時間微分（特定の材料粒子に従う）を表し、ステップ中の小さな増分、= 時間、= 材料点の速度または変位速度を表します。 d 私 j ＝ ε ˙ 私 j ＝ 1 2 （ v 私 、 j + v j 、 私 ） {\displaystyle d_{ij}={\dot {\varepsilon }}_{ij}={\frac {1}{2}}(v_{i,j}+v_{j,i})} Δ ε 私 j ＝ ε ˙ 私 j Δ t ＝ d 私 j Δ t {\displaystyle \Delta \varepsilon _{ij}={\dot {\varepsilon }}_{ij}\Delta t=d_{ij}\Delta t} ∂ / ∂ t {\displaystyle \partial /\partial t} Δ {\displaystyle \Delta } t {\displaystyle t} v 私 ＝ あなた ˙ 私 {\displaystyle v_{i}={\dot {u}}_{i}}

しかし、コーシー応力（または真応力）の時間微分を用いるのは客観的ではありません。この応力は、現在変形している材料から切り出されたと想定される小さな材料要素にかかる力を記述しますが、材料の剛体回転によって変化するため、客観的ではありません。増分変形の前後で（同じ場所で）切り出された要素には異なる材料粒子が含まれるため、質点は初期座標（ラグランジアンと呼ばれる）によって特徴付けられる必要があります。 σ 私 j {\displaystyle \sigma _{ij}} X 私 {\displaystyle X_{i}}

したがって、いわゆる客観的応力速度 、あるいは対応する増分を導入する必要がある。 の客観性は、が要素の変形と関数的に関連付けられることに必要である。つまり、 は座標変換（特に回転）に対して不変であり、同じ材料要素が変形する際の状態を特徴付ける必要がある。 σ ^ 私 j {\displaystyle {\hat {\sigma }}_{ij}} Δ σ 私 j ＝ σ ^ 私 j Δ t {\displaystyle \Delta \sigma _{ij}={\hat {\sigma }}_{ij}\Delta t} σ ^ 私 j {\displaystyle {\hat {\sigma }}_{ij}} σ ^ 私 j {\displaystyle {\hat {\sigma }}_{ij}}

参照

注記

  1. ^ トゥルーズデル（1963年）。
  2. ^ トゥルーズデル、クリフォード、ノル、ウォルター (2004). 『非線形場の力学理論』（第3版）ベルリン・ハイデルベルク、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、p. 401. ISBN 3-540-02779-3。
  3. ^ Brannon, RM (1998). 「フレーム非依存異方性弾性における共役応力・共役ひずみ測定に関する注意点」Acta Mechanica . 第129巻. pp.  107– 116.

参考文献

  • トゥルーズデル、クリフォード（1963）、「低弾性に関する考察」、国立標準局研究ジャーナルBセクション、67B（3）：141-143
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