二つの正の実数x、 yの同一平均は次のように定義される。[1]
![{\displaystyle {\begin{aligned}I(x,y)&={\frac {1}{e}}\cdot \lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}{\sqrt[{\xi -\eta }]{\frac {\xi ^{\xi }}{\eta ^{\eta }}}}\\[8pt]&=\lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}\exp \left({\frac {\xi \cdot \ln \xi -\eta \cdot \ln \eta }{\xi -\eta }}-1\right)\\[8pt]&={\begin{cases}x&{\text{if }}x=y\\[8pt]{\frac {1}{e}}{\sqrt[{xy}]{\frac {x^{x}}{y^{y}}}}&{\text{else}}\end{cases}}\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
これは、関数 のグラフの正割を考慮することで平均値定理から導出できます。これは、差商の平均値定理に従って、より多くの変数に一般化できます。同値平均は、ストラースキー平均の特殊なケースです。
参照
参考文献
- ^ RICHARDS, KENDALL C; HILARI C. TIEDEMAN (2006). 「加重同値平均と対数平均に関する注記」(PDF) . Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics . 7 (5). 2013年9月21日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) . 2013年9月20日閲覧。
![{\displaystyle {\begin{aligned}I(x,y)&={\frac {1}{e}}\cdot \lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}{\sqrt[{\xi -\eta }]{\frac {\xi ^{\xi }}{\eta ^{\eta }}}}\\[8pt]&=\lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}\exp \left({\frac {\xi \cdot \ln \xi -\eta \cdot \ln \eta }{\xi -\eta }}-1\right)\\[8pt]&={\begin{cases}x&{\text{if }}x=y\\[8pt]{\frac {1}{e}}{\sqrt[{xy}]{\frac {x^{x}}{y^{y}}}}&{\text{else}}\end{cases}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/173d3e35b69f2dee0f1b883c42b1c521b57051f6)
