影響線

図1: (a) この単純な支持梁は、左端から距離xの位置に単位荷重が作用している状態を示しています。4つの異なる関数の影響線は、(b) 左側の支持点における反力（Aで示す）、(c) 右側の支持点における反力（Cで示す）、(d) 梁に沿った点Bにおけるせん断力、(e) 同じく点Bにおけるモーメント力です。

図2：静定梁において、単位力が一端から他端へ移動する際の曲げモーメントの変化。曲げモーメント線図と、左スパン中央Bにおける曲げモーメントの影響線が示されている。

工学において、影響線は、構造上の任意の点に配置された単位荷重によって引き起こされる梁またはトラスの特定の点における関数（構造部材に感じられるせん断、モーメントなど）の変化をグラフ化します。^{[1] [2] [3] [4] [5]}影響線で研究される一般的な関数には、反力（構造物を静止状態に保つために構造物のサポートが適用しなければならない力）、せん断、モーメント、およびたわみ（変形）があります。^{[6]影響線は、}橋梁、クレーンレール、コンベアベルト、床桁、および荷重がスパンに沿って移動するその他の構造物に使用される梁やトラスを設計する際に重要です。 ^[5]影響線は、研究される関数のいずれかに対して荷重が最大効果を生み出す場所を示します。

影響線はスカラーであり、かつ加法的である。^[5]つまり、適用される荷重が単位荷重でない場合や、複数の荷重が適用される場合でも、影響線を使用できる。構造物に対する非単位荷重の影響を調べるには、影響線によって得られる縦座標の結果に、実際に適用される荷重の大きさを乗じる。影響線全体をスケーリングすることも、線に沿って発生する最大および最小の影響のみをスケーリングすることもできる。スケーリングされた最大値と最小値は、梁またはトラスにおいて設計上考慮しなければならない重要な大きさである。

複数の荷重が作用する可能性がある場合、個々の荷重の影響線を加算して、構造物が特定の点において受ける総影響を求めることができます。影響線を加算する際には、構造物全体にわたる荷重の間隔に応じて適切なオフセットを考慮する必要があります。例えば、トラックの荷重が構造物に作用するとします。後車軸Bが前車軸Aの3フィート後方にある場合、構造物に沿ってxフィートの位置にあるAの影響は、構造物に沿って( x - 3)フィートの位置にあるBの影響に加算する必要があります。構造物に沿ってxフィートの位置にあるBの影響ではありません。

多くの荷重は集中荷重ではなく分散荷重です。影響線は集中荷重と分散荷重のどちらにも適用できます。集中荷重（点荷重）の場合、単位点荷重が構造物に沿って移動します。所定の幅の分散荷重の場合、同じ幅の単位分散荷重が構造物に沿って移動します。荷重が端部に近づき、構造物から離れるにつれて、構造物によって支えられる荷重は全体荷重の一部のみになることに注意してください。分散単位荷重の影響線は、点荷重の影響線を構造物の対応する長さにわたって積分することによっても得られます。

決定的構造の影響線はメカニズムとなるが、不確定構造の影響線は単に決定的なものとなる。^[7]

ベッティの定理からの証明

影響線はベッティの定理に基づいています。そこから、2つの外力系 と を考えます。それぞれの外力系は、力の作用点で測定された変位がとで表される変位場と関連付けられています。 ${\displaystyle F_{i}^{P}}$ ${\displaystyle F_{i}^{Q}}$ ${\displaystyle d_{i}^{P}}$ ${\displaystyle d_{i}^{Q}}$

系 は構造物に作用する実際の力を表し、これらの力は平衡状態にあるとする。系 は単一の力 によって形成されるとする。この力 に関連する変位場は、 が作用する点に作用する構造的拘束を解除し、負の方向に運動学的に許容される相対単位変位 を課すことによって定義される。ベッティの定理から、以下の結果が得られる。 ${\displaystyle F_{i}^{P}}$ ${\displaystyle F_{i}^{Q}}$ ${\displaystyle F^{Q}}$ ${\displaystyle d_{i}^{Q}}$ ${\displaystyle F^{Q}}$ ${\displaystyle d_{1}^{Q}=-1}$

${\displaystyle -F_{1}^{P}+\sum _{i=2}^{n}F_{i}^{P}d_{i}^{Q}=F^{Q}\times 0\iff F_{1}^{P}=\sum _{i=2}^{n}F_{i}^{P}d_{i}^{Q}}$

コンセプト

梁やトラスを設計する際には、構造部材に発生する最大想定反力、せん断力、モーメントを想定した設計を行い、構造物の耐用年数を通じて部材が破損しないよう配慮する必要があります。固定荷重（構造物自体の重量など、決して動かない荷重）を扱う場合、荷重の予測と計画が容易なため、これは比較的容易です。一方、活荷重（家具や人など、構造物の耐用年数を通じて移動する荷重）の場合、荷重がどこに発生するか、また、構造物の耐用年数を通じてどの程度集中または分散するかを予測することは、はるかに困難になります。

影響線は、梁やトラスに単位荷重が作用するときの応答をグラフ化します。影響線は、設計者が活荷重をどこに配置すれば、反力、せん断力、モーメントの各作用点の最大応答を計算できるかを判断するのに役立ちます。設計者は、影響線を最大予測荷重でスケーリングすることで、梁やトラスの設計対象となる各作用点の最大応答を計算できます。影響線は、適用された単位荷重に対する他の作用点（たわみや軸力など）の応答を求めるためにも使用できますが、このような影響線の用途はあまり一般的ではありません。

影響線の構築方法

影響線を作成するために使用される方法は 3 つあります。 1 つ目は、構造に沿った複数のポイントの影響値を表にまとめ、それらのポイントを使用して影響線を作成する方法です。^[5] 2 つ目は、構造に適用する影響線の方程式を決定し、影響線に沿ったすべてのポイントについてxに関して解きます。ここで、xは構造の開始点から単位荷重が適用されるポイントまでのフィート数です。^{[1] [2] [3] [4] [5] 3 つ目の方法は、}ミュラー・ブレスラウの原理 と呼ばれます。これは、定性的な影響線を作成します。^{[1] [2] [5]}この影響線は、単位荷重が調査対象のポイントで関数の最大応答を生成する場所について設計者に正確なアイデアを提供しますが、最初の 2 つの方法で作成された影響線のように、応答の大きさを直接計算するために使用することはできません。

値を表にまとめる

構造物上の任意の点Aに関する影響値を表にまとめるには、構造物の様々な点に単位荷重をかける必要があります。静力学は、点Aにおける関数（反力、せん断力、またはモーメント）の値を計算するために使用されます。通常、上向きの反力は正とみなされます。せん断力とモーメントは、せん断力図とモーメント図で使用されるのと同じ規則に従って、正または負の値で表されます。

RCヒッベラーは著書『構造解析』の中で、「静力学的に決定された梁はすべて、直線部分からなる影響線を持つ」と述べています。^[5]したがって、影響線の勾配に変化をもたらす点を認識し、それらの点の値のみを計算することで、計算回数を最小限に抑えることができます。変曲線の勾配は、支持部、スパン中央、接合部で変化する可能性があります。

反力、軸力、せん断力、曲げモーメントなどの特定の関数の影響線は、構造物の任意の点に単位荷重を加えた場合に、構造物の任意の点におけるその関数の変化を示すグラフです。

関数の影響線は、せん断モーメント図、軸モーメント図、曲げモーメント図とは異なります。影響線は、構造物の複数の点に単位荷重を独立して適用し、その荷重による関数の値（せん断モーメント、軸モーメント、モーメント）を求めることで生成できます。各関数の計算値は、荷重が適用された場所にプロットされ、それらを繋ぎ合わせることで、関数の影響線が生成されます。

影響値が表にまとめられたら、点Aにおける関数の影響線をxに関して描くことができます。まず、表にまとめられた値の位置を特定する必要があります。表にまとめられた点の間の区間については補間が必要です。そのため、点を結ぶ直線を描くことができます。これで影響線が完成します。

影響線方程式

構造物のスパン全体にわたって影響線を定義する方程式を作成することは可能です。これは、特定の距離ではなく、構造物に沿ってxフィートに配置された単位荷重によって点Aに生じる反力、せん断力、またはモーメントを解くことで行われます。この方法は表値法に似ていますが、数値解を得るのではなく、 xに関する方程式が得られます。^[5]

この手法では、影響線の傾きがどこで変化するかを理解することが重要です。なぜなら、影響線の各直線区間ごとに影響線方程式が変化するためです。したがって、完全な方程式は区分線形関数となり、影響線の各直線区間ごとに個別の影響線方程式が存在します。^[5]

ミュラー・ブレスラウの原理

www.public.iastate.edu によると、「ミュラー・ブレスラウ原理は、実際の影響線に正比例する定性的な影響線を描くために利用できる。」 ^[2] ミュラー・ブレスラウ原理は、梁に沿って単位荷重を移動させるのではなく、まず梁を研究対象の点で解放し、次にその点に研究対象の関数（反力、せん断力、またはモーメント）を適用することで生じる梁のたわみ形状を求めます。この原理は、関数の影響線は、梁がその関数の作用を受けたときに、梁のたわみ形状と同じスケール形状になることを述べています。

梁が関数によってどのようにたわむかを理解するには、梁が関数に抵抗する能力を取り除く必要があります。以下では、単純支持された剛梁（図1に示すような梁）の影響線を求める方法について説明します。

• 支持部で生じる反作用を求める際、支持部は垂直方向の反作用に耐えられないローラーに置き換えられる。^{[2] [5]}次に、支持部があった点に上向き（正）の反作用が作用する。支持部が取り除かれたため、梁は上向きに回転し、梁は剛体であるため、2番目の支持部を点とする三角形を形成する。梁が片持ち梁として2番目の支持部を超えて伸びる場合、片持ち梁の位置の下に同様の三角形が形成される。これは、反作用の影響線が2番目の支持部の位置で値がゼロとなる直線で傾斜した線になることを意味する。

• 梁に沿ったある点 B で生じるせん断を決定するには、梁を切断し、点 B にローラー ガイド (モーメントには抵抗できるがせん断には抵抗できない) を挿入する必要があります。^{[2] [5]}次に、その点に正のせん断を適用すると、左側は下向きに回転しますが、右側は上向きに回転することがわかります。これにより、サポートでゼロになり、不連続の両側で傾きが等しい不連続な影響線が作成されます。点 B がサポートにある場合、点 B と他のサポートとの間のたわみによって三角形が作成されますが、梁が片持ちの場合は、片持ち側全体が上下に移動して長方形が作成されます。

• 梁のある点Bで発生するモーメントを求める際、点Bにヒンジを配置し、モーメントを許容する一方でせん断には抵抗する。^{[2] [5]}次に、点Bに正のモーメントが作用すると、梁の両側が上向きに回転する。これにより連続的な影響線が形成されるが、点Bにおけるヒンジの両側の傾きは等しく、かつ反対方向となる。梁は単純支持されているため、端部支持部（ピン）はモーメントに抵抗することができない。したがって、荷重がどこにかかっていても、静的な状況では支持部がモーメントを受けることはないことがわかる。

ミュラー・ブレスラウ原理は、定性的な影響線しか生成できません。^{[2] [5]}つまり、エンジニアは、この原理を用いて、関数の最大値を得るために荷重をどこに配置すればよいかを決定することができますが、その最大値の大きさは影響線から計算できません。エンジニアは、その荷重ケースにおける関数の値を求めるために静力学を用いる必要があります。

代替荷重ケース

複数の負荷

最も単純な荷重ケースは単一の点荷重ですが、影響線は複数の荷重や分布荷重による応答を決定するためにも使用できます。場合によっては、複数の荷重が一定の距離を置いて発生することが分かっていることがあります。例えば、橋梁では、自動車やトラックの車輪が比較的標準的な距離で作用する点荷重が発生します。

影響線を使用してこれらすべての点荷重に対する関数の応答を計算するには、影響線で見つかった結果を各荷重についてスケーリングし、スケーリングされた大きさを合計して、構造物が耐えなければならない全体的な応答を見つけることができます。^[5]点荷重自体は異なる大きさを持つことができますが、それらが構造物に同じ力を適用する場合でも、構造物に沿った異なる距離に作用するため、個別にスケーリングする必要があります。 たとえば、車の車輪が 10 フィート離れている場合、最初の車輪が橋の上に 13 フィートのところにあるとき、2 番目の車輪は橋の上に 3 フィートしか達していません。最初の車輪のセットが橋の上に 7 フィートのところにある場合、2 番目の車輪はまだ橋に到達していないため、最初のセットだけが橋に荷重をかけています。

また、2つの荷物のうち、どちらか一方が重い場合、最大荷物を確実に見つけるためには、両方の積載順序（大きい方の荷物を右側、大きい方の荷物を左側）で荷物を検査する必要があります。荷物が3つ以上ある場合は、検査するケース数が増加します。

分散荷重

多くの荷重は点荷重として作用するのではなく、長い距離または面にわたって分布荷重として作用します。例えば、連続した履帯を持つトラクターは、各履帯の長さにわたって分布荷重をかけます。

分布荷重の影響を求めるには、設計者は点荷重を用いて求めた影響線を、構造物の影響を受ける距離にわたって積分することができます。^[5]例えば、長さ3フィートの軌道が梁に沿って5フィートから8フィートの範囲で作用する場合、その梁の影響線は5フィートから8フィートの範囲で積分する必要があります。影響線の積分は、分布荷重の大きさが単位であった場合に感じられるであろう影響を与えます。したがって、積分後も、設計者は分布荷重の実際の影響を得るために、結果をスケーリングする必要があります。

不確定な構造

静定構造（前述の通り）の影響線は直線部分で構成されますが、不定構造ではそうではありません。不定構造は剛体とはみなされないため、描かれる影響線は直線ではなく曲線になります。上記の方法は構造物の影響線を決定する際にも使用できますが、梁自体の特性を考慮する必要があるため、作業ははるかに複雑になります。

参照

• ビーム
• せん断力とモーメントの図
• 死荷重と活荷重
• ミュラー・ブレスラウの原理

参考文献

1. Kharagpur. 「Structural Analysis.pdf, Version 2 CE IIT」Wayback Machineで2010年8月19日にアーカイブ。2008年8月7日。2010年11月26日にアクセス。
2. Dr. Fanous, Fouad. 「構造解析入門問題：影響線」2011年8月8日アーカイブ、Wayback Machine。2000年4月20日。2010年11月26日にアクセス。
3. 「影響線分析法」The Constructor、2010年2月10日。2010年11月26日にアクセス。
4. 「構造分析：影響線」The Foundation Coalition、2010年12月2日。2010年11月26日にアクセス。
5. Hibbeler, RC (2009). 構造分析（第7版）. ピアソン・プレンティス・ホール, ニュージャージー. ISBN 0-13-602060-7。
6. Zeinali, Yasha (2017年12月). 「変形影響線を用いたオイラー・ベルヌーイ梁の曲げ剛性推定のためのフレームワーク」. Infrastructures . 2 (4): 23. doi : 10.3390/infrastructures2040023 . S2CID  125406249.
7. 「影響線 | 構造解析レビュー」www.mathalino.com . 2019年12月25日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2019年12月25日閲覧。