井上面

複素幾何学において、井上面（いのうえめん）は、小平類VIIの複素面のいずれかである。これらは、1974年に小平類VII面の最初の非自明な例を示した井上正久にちなんで名付けられている。^[1]

井上面はケーラー多様体ではありません。

井上はb₂= 0

井上は、 S ⁰、S ⁺、S ⁻という3つの曲面族を導入した。これらは、（複素平面と半平面の積）のコンパクトな商である。これらの井上曲面は、ソルブ多様体である。これらは、正則に作用する可解な離散群によるの商として得られる。${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {H} .}$

井上によって構築されたソルブマニフォールド面はすべて第二ベッチ数 を持つ。これらの面は小平クラスVIIであり、これはと小平次元 を持つことを意味する。ボゴモロフ^[2]、リー・ヤウ^[3]、テレマン^[4]によって、を持つクラスVIIの任意の面がホップ面または井上型ソルブマニフォールドで あることが証明された。${\displaystyle b_{2}=0}$ ${\displaystyle b_{1}=1}$ ${\displaystyle -\infty}$ ${\textstyle b_{2}=0}$

これらの曲面には有理型関数も曲線もありません。

K. Hasegawa ^[5]は、すべての複素2次元ソルブマニフォールドのリストを示しています。これらは、複素トーラス、超楕円面、小平面、井上面S ⁰、S ⁺、S ⁻です。

井上曲面は次のように明示的に構築される。^[5]

タイプS⁰

φを整数3×3行列とし、2つの複素固有値と1つの実固有値c  > 1を持ち、 とする。このとき、φは整数に対して可逆であり、整数群の への作用を定義する。この群は可解なリー群の格子であるとする。${\displaystyle \alpha ,{\overline {\alpha }}}$ ${\displaystyle |\alpha |^{2}c=1}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{3}}$ ${\displaystyle \Gamma :=\mathbb {Z} ^{3}\rtimes \mathbb {Z} .}$

${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\rtimes \mathbb {R} =(\mathbb {C} \times \mathbb {R} )\rtimes \mathbb {R} ,}$

作用する-部分は翻訳によって作用し、 -部分は${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle (\mathbb {C} \times \mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \rtimes \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (z,r)\mapsto (\alpha ^{t}z,c^{t}r).}$

この作用をとすることでに拡張する。ここでtはの - 部分のパラメータであり、上の因子に自明に作用する。この作用は明らかに正則であり、その商はの井上面と呼ばれる。${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {H} =\mathbb {C} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{>0}}$ ${\displaystyle v\mapsto e^{\log ct}v}$ ${\displaystyle \rtimes \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\rtimes \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{>0}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {H} /\Gamma }$ ${\displaystyle S^{0}.}$

S ⁰型の井上面は、上記の制約の下で整数行列φの選択によって決定される。このような面は可算な数だけ存在する。

タイプS⁺

nを正の整数とし、上三角行列の群を ${\displaystyle \Lambda_{n}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&x&z/n\\0&1&y\\0&0&1\end{bmatrix}},\qquad x,y,z\in \mathbb {Z} .}$

をその中心Cで割った商はである。φを の自己同型とし、 φ が2つの正の実固有値a、b、ab = 1を持つ行列として作用すると仮定する。 φに作用する 可解群を考える。上三角行列の群を と同一視することで、への作用を得る。への作用を定義する。この作用は- 部分に自明に作用し、はとして作用する。 型の井上面の場合と同じ議論から、この作用は正則であることがわかる。この商は型の井上面と呼ばれる。${\displaystyle \Lambda_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \Lambda_{n}}$ ${\displaystyle \Lambda _{n}/C=\mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \Gamma_{n}:=\Lambda_{n}\rtimes\mathbb{Z},}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \Lambda_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$ ${\displaystyle \Gamma _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R}^{3}=\mathbb {C}\times \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \Gamma _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {H} =\mathbb {C} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{>0}}$ ${\displaystyle \Lambda_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{>0}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle v\mapsto e^{t\log b}v.}$ ${\displaystyle S^{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {H} /\Gamma _{n}}$ ${\displaystyle S^{+}.}$

タイプS⁻

型の井上面は S ⁺の場合と同様に定義されますが、φに作用する2つの固有値a, bは逆符号を持ち、ab  = −1 を満たします。このような自己準同型の平方はS ^{+型の井上面を定義するため、} S ⁻型の井上面はS ⁺型の非分岐二重被覆を持ちます。 ${\displaystyle S^{-}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$

放物面と双曲面の井上面

放物型井上面と双曲型井上面は、1984年に中村郁によって定義された小平クラスVII面である^[6]。これらはソルブ多様体ではない。これらの面は正の第二ベッチ数を持ち、球殻を持ち、拡大ホップ面へと変形することができる。

放物型井上曲面は、自己交差が0の有理曲線のサイクルと楕円曲線を含みます。これは、自己交差が0の有理曲線のサイクルを持ちながら楕円曲線を含まない榎曲面の特殊なケースです。半井上曲面は、有理曲線のサイクルCを含み、双曲型井上曲面と有理曲線のサイクル2つを商として表します。

双曲型井上曲面は、有理曲線の2つの閉路を持つVII _{0クラス曲面である。} ^[7]放物面と双曲面は、加藤面とも呼ばれる大域球殻（GSS）を持つ極小曲面の特殊な例である。これらの曲面はすべて、非可逆縮約によって構成できる。^[8]

注記

1. _{M. Inoue、「クラスVII 0}の表面について」、 Inventiones math、24 (1974)、269–310。
2. ボゴモロフ, F.：「b 2 = 0のクラスVII 0の曲面の分類」_、数学_。USSR  Izv 10、255–269（1976）
3. Li, J., Yau, S., T.: "エルミート・ヤン・ミルズ接続と非ケーラー多様体上"、 Math. aspects of string theory (サンディエゴ、カリフォルニア州、1986年)、Adv. Ser. Math. Phys. 1, 560–573、World Scientific Publishing (1987年)
4. Teleman, A.：「射影的に平坦な面とクラスVII ₀面上のボゴモロフの定理」、 Int. J. Math.、Vol. 5、No 2、253–264（1994）
5. 長谷川敬三「コンパクト溶媒多様体上の複素構造とケーラー構造」、J. Symplectic Geom. 第3巻第4号 (2005年)、749–767。
6. I. Nakamura, "On surfaces of class VII ₀ with curves," Inv. Math. 78, 393–443 (1984).
7. I. Nakamura. 「VII0面に関する調査」 Archived 16 July 2011 at the Wayback Machine , Recent Developments in NonKaehler Geometry , 札幌, 2008年3月.
8. G. Dloussky、「井上–ヒルツェブルッフの表面を構成する要素」。数学。アン。 280、663–682 (1988)。