強度-持続時間-周波数曲線
Mathematical function

強度-持続時間-頻度曲線（IDF曲線）は、イベント（降雨量など）の強度をその持続時間および発生頻度と関連付ける数学関数である。 [1]頻度は発生確率の逆数である。これらの曲線は、洪水予測のための水文学や都市排水設計のための土木工学でよく使用される。しかし、降雨量の時間集中や時間構造への関心のため、IDF曲線は水文気象学でも分析される。 [2] [3]また、干ばつイベントに対してIDF曲線を定義することも可能である。[4] [5]さらに、リスクに基づく設計へのIDF曲線の応用は、水文気象学以外でも出現しており、たとえば、米国の都市への食品サプライチェーンの流入ショックに対するIDF曲線を開発した著者もいる。[6]

数学的アプローチ

IDF曲線は、観測されたイベントデータに理論的または経験的にフィッティングされた様々な数式をとることができます。各持続時間（例：5分、10分、60分、120分、180分…）に対して、経験累積分布関数（ECDF）と、所定の頻度または再来期間が設定されます。したがって、経験的IDF曲線は、発生頻度が等しく、持続時間と強度が異なる点の和集合によって与えられます[7]。同様に、理論的または半経験的IDF曲線は、その数式は物理的に正当化されているものの、経験的フィッティングによって推定する必要があるパラメータを示す曲線です。

経験的アプローチ

強度 ( I )、持続時間 ( t )、および再現期間 ( p ) を、次のようなべき乗法則に 当てはめる経験的アプローチは数多くあります。

  • シャーマンの公式[8]は、 3つのパラメータ（a、c、n ）を持ち、これらは再来周期pの関数である 。
I ( t ) = a ( t + c ) n {\displaystyle I(t)={\frac {a}{(t+c)^{n}}}}
  • チャウの式[9]も3つのパラメータ（a、c、n）を持ち、特定の再現期間pに対して以下の式を用いる：
I ( t ) = a t n + c {\displaystyle I(t)={\frac {a}{t^{n}+c}}}
  • アパリシオ（1997） [10]によるべき乗法則。4 つのパラメータ（a、c、m、n）が、対象となるすべての再現期間に合わせて調整されている。
I ( t , p ) = a ⋅ p m ( t + c ) n {\displaystyle I(t,p)=a\cdot {\frac {p^{m}}{(t+c)^{n}}}}

水文気象学では、降雨量の時間構造を測る尺度として、単純なべき乗則（ をとる）が用いられる。 [2]   c = 0 {\displaystyle \ c=0}

I ( t ) = a t n = I o ( t o t ) n {\displaystyle I(t)={\frac {a}{t^{n}}}=I_{o}\left({\frac {t_{o}}{t}}\right)^{n}}

ここで、は固定時間における基準強度、すなわち、として定義され、はn指数として知られる無次元パラメータである。[2] [3]降雨事象において、IDF曲線に相当するものは最大平均強度（MAI）曲線と呼ばれる。[11]   I o {\displaystyle \ I_{o}}   t o {\displaystyle \ t_{o}}   a = I o t o n {\displaystyle \ a=I_{o}t_{o}^{n}}   n {\displaystyle \ n}

理論的アプローチ

確率分布からIDF 曲線を得るには、平均強度 と継続時間に直接関連するイベントの総量または深さを、次式によって数学的に分離する必要があります。また、再来周期はの逆数として定義されるため、関数はの逆数として次のように求められます。   F ( x ) {\displaystyle \ F(x)}   x {\displaystyle \ x}   I {\displaystyle \ I}   t {\displaystyle \ t}   x = I t {\displaystyle \ x=It} p {\displaystyle p}   1 − F ( x ) {\displaystyle \ 1-F(x)}   f ( p ) {\displaystyle \ f(p)}   F ( x ) {\displaystyle \ F(x)}

I t = f ( p ) ⇐ p = 1 1 − F ( I t ) {\displaystyle It=f(p)\quad \Leftarrow \quad p={\frac {1}{1-F(It)}}}
  • パレート分布から導出された、固定期間における再来期のべき乗則：   t {\displaystyle \ t}
  I ( p ) = k p m ⇐ F ( I t ) = 1 − ( k t I t ) 1 / m = 1 − 1 p {\displaystyle \ I(p)=kp^{m}\quad \Leftarrow \quad F(It)=1-\left({\frac {kt}{It}}\right)^{1/m}=1-{\frac {1}{p}}}
ここで、パレート分布定数は として再定義されており、イベントの特定の期間に有効な分布であるため、 と見なされています。   k ′ = k t {\displaystyle \ k'=kt}   x = I t {\displaystyle \ x=It}
I ( p ) = { μ + σ m ⋅ ( p m − 1 ) ⇐ F ( I ) = 1 − ( 1 + m ( I − μ ) σ ) − 1 / m = 1 − 1 p if  m > 0 , μ + σ ln ⁡ ( p ) ⇐ F ( I ) = 1 − exp ⁡ ( − I − μ σ ) = 1 − 1 p if  m = 0. {\displaystyle I(p)={\begin{cases}\mu +{\frac {\sigma }{m}}\cdot (p^{m}-1)\quad \Leftarrow \quad F(I)=1-\left(1+{\frac {m(I-\mu )}{\sigma }}\right)^{-1/m}=1-{\frac {1}{p}}&{\text{if }}m>0,\\\quad \mu +\sigma \ln(p)\quad \quad \Leftarrow \quad F(I)=1-\exp \left(-{\frac {I-\mu }{\sigma }}\right)=1-{\frac {1}{p}}&{\text{if }}m=0.\end{cases}}}
yの場合、一般化パレート分布は の単純型パレート分布を取得することに注意してください。ただし、 の場合は指数分布が取得されます。   m > 0 {\displaystyle \ m>0}   μ = σ m {\displaystyle \ \mu ={\frac {\sigma }{m}}}   k ′ = σ m {\displaystyle \ k'={\frac {\sigma }{m}}}   m = 0 {\displaystyle \ m=0}
I ( p ) = μ + σ ln ⁡ ( ln ⁡ ( 1 − 1 p ) ) ⇐ F ( I ) = exp ⁡ ( − exp ⁡ ( − I − μ σ ) ) = 1 − 1 p {\displaystyle I(p)=\mu +\sigma \ln \left(\ln \left(1-{\frac {1}{p}}\right)\right)\quad \Leftarrow \quad \quad F(I)=\exp \left(-\exp \left(-{\frac {I-\mu }{\sigma }}\right)\right)=1-{\frac {1}{p}}}
I ( p ) = μ + σ ln ⁡ ( ln ⁡ p ) ⇐ F ( I ) = 1 − exp ⁡ ( − exp ⁡ ( I − μ σ ) ) = 1 − 1 p {\displaystyle I(p)=\mu +\sigma \ln(\ln p)\quad \quad \quad \quad \quad \Leftarrow \quad \quad F(I)=1-\exp \left(-\exp \left({\frac {I-\mu }{\sigma }}\right)\right)=1-{\frac {1}{p}}}

参考文献

  1. ^ Koutsoyiannis, D.; Kozonis, D.; Manetas, A. (1998). 「降雨強度・降雨期間・降雨頻度の関係を研究するための数学的枠組み」. Journal of Hydrology . 206 ( 1–2 ): 118– 135. Bibcode :1998JHyd..206..118K. doi :10.1016/S0022-1694(98)00097-3.
  2. ^ abc Monjo, R. (2016). 「無次元n指数を用いた降雨時間構造の測定」. Climate Research . 67 (1): 71– 86. Bibcode :2016ClRes..67...71M. doi : 10.3354/cr01359 .（PDF）
  3. ^ ab モンジョ、R;ロカテッリ、L;ミリガン、J;トーレス、L;ベラスコ、M;ガイタン、E;ポルトレス、J;レドラット、D;ルッソ、B;リバライグア、J. (2023)。モノフラクタル仮説に基づくバルセロナ (スペイン) における将来の極端な降雨量の推定。国際気候学ジャーナル。土井:10.1002/joc.8072
  4. ^ Heidari, Hadi; Arabi, Mazdak; Ghanbari, Mahshid; Warziniack, Travis (2020年6月). 「変化する環境における年内社会経済的干ばつの強度・期間・頻度（IDF）関係性の特性評価のための確率的アプローチ」. Water . 12 (6): 1522. doi : 10.3390/w12061522 .
  5. ^ Monjo, R.; Royé, D., Martin-Vide, J. (2020): 世界各地の気象学的干ばつの空隙とその分類、Earth Syst. Sci. Data, 12, 741–752, doi:10.5194/essd-12-741-2020
  6. ^ マイケル・ゴメス、アルフォンソ・メヒア、ベンジャミン・L・ラデル、リチャード・R・ラッシュフォース（2021年7月）「サプライチェーンの多様性が都市の食料危機への対応を強化」Nature 595 (7866): 250– 254.書誌コード:2021Natur.595..250G. doi : 10.1038/s41586-021-03621-0 . ISSN  1476-4687. PMID  34234337. S2CID  235768350.
  7. ^ Témez, J. (1978): 自然の影響を最大限に考慮したヒドロメテオロロジコの計算。カレテラス将軍の指揮官。マドリッド。エスパーニャ。 111p。
  8. ^ シャーマン、C.（1931）：マサチューセッツ州ボストンにおける異常降雨の頻度と強度、アメリカ土木学会論文集、95、951-960。
  9. ^ Chow, VT (1962):小規模流域の排水構造物の水路面積の水文学的決定、イリノイ大学工学実験ステーション、イリノイ州アーバナ、イリノイ州、紀要第462号。
  10. ^ アパリシオ、F. (1997): Fundamentos de Hidrología de Superficie。バルデラス、メキシコ、リムサ。 303ページ
  11. ^ Moncho, R.; Belda. F; Caselles, V. (2010): Climatic study of the exponent “n” in IDF curves: application for the Iberian Peninsula . Tethys, nº6: 3–14. DOI: 10.3369/tethys.2009.6.01 (pdf) Archived 2011-01-01 at the Wayback Machine
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