イズベル双対性
co/Yoneda埋め込みの下でのco/presheafのカテゴリ間の随伴

数学において、イスベル共役性（別名イスベル双対性、イスベル随伴性）（ジョン・R・イスベル[1] [2]にちなんで名付けられる）は、ウィリアム・ローヴェアが1986年に正式に導入した拡張カテゴリー理論の基本構成である。 [3] [4]これは、米田埋め込みによるカテゴリーの対象に関連付けられた共変および反変の表現可能前層間の双対性である。 [5] [6]さらに、ローヴェア[7]は次のように述べている。「したがって、共役性は、数学に基本的な空間と量の双対性を表現するための第一歩である」。[8]

意味

米田埋め込み

（共変）米田埋め込みは、小さなカテゴリから上の前層のカテゴリへの共変関手で、反変表現可能関手を取る：[1] [9] [10] あ {\displaystyle {\mathcal {A}}} [ あ o p 、 V ] {\displaystyle \left[{\mathcal {A}}^{op},{\mathcal {V}}\right]} あ {\displaystyle {\mathcal {A}}} X ∈ あ {\displaystyle X\in {\mathcal {A}}}

はい （ h ∙ ） : あ → [ あ o p 、 V ] {\displaystyle Y\;(h^{\bullet }):{\mathcal {A}}\rightarrow \left[{\mathcal {A}}^{op},{\mathcal {V}}\right]}

X ↦ h o メートル （ − 、 X ） 。 {\displaystyle X\mapsto \mathrm {hom} (-,X).}

そして、共米田埋め込み[1] [11]（別名、双対米田埋め込み[12]）は、小さなカテゴリから上の共前層のカテゴリの反対への反変関数であり、共変表現可能関数をとる： あ {\displaystyle {\mathcal {A}}} [ あ 、 V ] o p {\displaystyle \left[{\mathcal {A}},{\mathcal {V}}\right]^{op}} あ {\displaystyle {\mathcal {A}}} X ∈ あ {\displaystyle X\in {\mathcal {A}}}

Z （ h ∙ o p ） : あ → [ あ 、 V ] o p {\displaystyle Z\;({h_{\bullet }}^{op}):{\mathcal {A}}\rightarrow \left[{\mathcal {A}},{\mathcal {V}}\right]^{op}}

X ↦ h o メートル （ X 、 − ） 。 {\displaystyle X\mapsto \mathrm {hom} (X,-).}

イズベル双対性

記号（「関数の環」）と（「スペクトル」）の起源：Lawvere（1986、p. 169）[検証失敗]は次のように述べている。「」は各一般空間にその上の関数の代数を割り当てますが、「」は各代数にその「スペクトル」、つまり一般空間を割り当てます。 お {\displaystyle {\mathcal {O}}} S p e c {\displaystyle \mathrm {仕様} } お {\displaystyle {\mathcal {O}}} S p e c {\displaystyle \mathrm {仕様} }
注：この可換図が成り立つためには、が小さく、Eが共完備であることが必要である。[13] [14] [15] [16] あ {\displaystyle {\mathcal {A}}}

あらゆる関手は関手のイスベル共役[1]を持ち、それは次のように与えられる。 F : あ o p → V {\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}^{\mathrm {op} }\to {\mathcal {V}}} F ∗ : あ → V {\displaystyle F^{\ast }\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {V}}}

F ∗ （ X ） ＝ h o メートル （ F 、 y （ X ） ） 。 {\displaystyle F^{\ast }(X)=\mathrm {hom} (F,y(X)).}

対照的に、すべての関手は、次のように与えられる 関手のイスベル共役[1]を持つ。 G : あ → V {\displaystyle G\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {V}}} G ∗ : あ o p → V {\displaystyle G^{\ast }\colon {\mathcal {A}}^{\mathrm {op} }\to {\mathcal {V}}}

G ∗ （ X ） ＝ h o メートル （ z （ X ） 、 G ） 。 {\displaystyle G^{\ast }(X)=\mathrm {hom} (z(X),G).}

これら2つの関数は典型的には逆関数ではなく、自然同型性さえありません。イスベル双対性は、これら2つの関数の関係が随伴関係であると主張しています。[1]

Isbell 双対性は、Yoneda 埋め込みと co-Yoneda 埋め込みの関係です。

を対称モノイド閉カテゴリとし、をで富化された小さなカテゴリとします。 V {\displaystyle {\mathcal {V}}} あ {\displaystyle {\mathcal {A}}} V {\displaystyle {\mathcal {V}}}

イズベル双対性は関数カテゴリ間の随伴関係である。[1] [3] [11] [17] [18] （ お ⊣ S p e c ） : [ あ o p 、 V ] ⇄ お S p e c [ あ 、 V ] o p {\displaystyle \left({\mathcal {O}}\dashv \mathrm {Spec} \right)\colon \left[{\mathcal {A}}^{op},{\mathcal {V}}\right]{\underset {\mathrm {Spec} }{\overset {\mathcal {O}}{\rightleftarrows }}}\left[{\mathcal {A}},{\mathcal {V}}\right]^{op}}

神経構成を適用すると、イスベル双対性の関数は、およびとなる。[17] [19] [注 1] お ⊣ S p e c {\displaystyle {\mathcal {O}}\dashv \mathrm {スペック} } お ≅ L 1つの n はい Z {\displaystyle {\mathcal {O}}\cong \mathrm {Lan_{Y}Z} } S p e c ≅ L 1つの n Z はい {\displaystyle \mathrm {スペック} \cong \mathrm {Lan_{Z}Y} }

参照

参考文献

  1. ^ abcdefg (バエズ 2022)
  2. ^ (Di Liberti 2020、2. イズベルの二重性)
  3. ^ ab (ローヴェレ 1986, p. 169)
  4. ^ (ルッテン 1998)
  5. ^ (メリエス&ツァイルベルガー 2018)
  6. ^ (ウィラートン 2013)
  7. ^ (ローヴェレ 1986, p. 169)
  8. ^ (nlab内のスペースと量)
  9. ^ (nlabにおける米田埋め込み)
  10. ^ (Awodey 2006、定義8.1)
  11. ^ ab (nlabにおけるIsbell双対性)
  12. ^ (Day & Lack 2007, §9. Isbell共役性)
  13. ^ (Di Liberti 2020、注釈2.3 ((co)nerveの構築)。)
  14. ^ (ケリー 1982、命題4.33)
  15. ^ (Riehl 2016、注釈6.5.9.)Harv エラー: ターゲットがありません: CITEREFRiehl2016 (ヘルプ)
  16. ^ (今村 2022, 定理2.4)
  17. ^ ab (ディ リベルティ 2020、注釈 2.4)
  18. ^ （フォスコ 2021）
  19. ^ (ディ リベルティとロレジャン 2019、補題 5.13.)

参考文献

  • エイブリー、トム; レンスター、トム (2021)、「イスベル共役と再帰的完了」(PDF)、カテゴリーの理論と応用、36 : 306– 347、arXiv : 2102.08290、doi :10.70930/tac/r1jknjot
  • アウォディ、スティーブ（2006）、カテゴリー理論、doi：10.1093/acprof：oso/9780198568612.001.0001、ISBN 978-0-19-856861-2
  • Baez, John C. (2022)、「Isbell Duality」（PDF）、Notices Amer. Math. Soc.、70 : 140–141、arXiv : 2212.11079、doi :10.1090/noti2602

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  • 今村 由紀 (2022)、「グロタンディーク拡張カテゴリー」、応用カテゴリー構造、30 (5): 1017– 1041、arXiv : 2105.05108、doi :10.1007/s10485-022-09681-1
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  • Lawvere、FW (1986)、「カテゴリーを真剣に考える」、Revista Columbiana de Matemáticas、20 ( 3–4 ): 147–178、MR  0948965
    • Lawvere, FW (2005)、「カテゴリーを真剣に考える」(PDF)、カテゴリーの理論と応用(8): 1– 24、MR  0948965
  • Lawvere, F. William (2016年2月)、「幾何学的観点からのバーコフの定理：簡単な例」、Categories and General Algebraic Structures with Applications、4 (1): 1– 8
  • メリエス、ポール＝アンドレ; ツァイルベルガー、ノアム (2018)、「型洗練システムにおけるイスベル双対定理」、コンピュータサイエンスにおける数学的構造、28 (6): 736– 774、arXiv : 1501.05115、doi :10.1017/S0960129517000068、S2CID  2716529
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  • スターツ、カーク（2018）、「ジリーモナドの因数分解」、Advances in Mathematics、340：76-105、arXiv：1707.00488、doi：10.1016/j.aim.2018.10.007
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  • ウィラートン、サイモン (2013)、「タイトスパン、イスベル補完、半熱帯モジュール」(PDF)、カテゴリーの理論と応用、28 (22): 696– 732、arXiv : 1302.4370、doi :10.70930/tac/rkp3zgxc

脚注

  1. ^ 記号Lanについては、左Kan 拡張を参照してください。
  • ディ・リベルティ、イヴァン；ロレギアン、フォスコ（2019）「形式圏理論の単一性について」arXiv：1901.01594 [math.CT]
  • Loregian, Fosco (2018)、「Kan extensions」（PDF） , tetrapharmakon.github.io 、 2024年1月9日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ
  • Valence, Arnaud (2017)、Esquisse d'une Dualité géométrico-algébrique multidisciplinaire : la duualité d'Isbell、Thèse en cotutelle en Philosophie – Étude des Systèmes、soutenue le 30 mai 2017. (PDF)
  • 「イスベル双対性」、ncatlab.org
  • 「空間と量」、ncatlab.org
  • 「米田埋め込み」、ncatlab.org
  • 「共同米田補題」、ncatlab.org
  • 「コプレシーフ」、ncatlab.org
  • 「自然変換と前層：注釈1.28（一般化空間としての前層）」ncatlab.org
  • 「反対関数」、ncatlab.org
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