ジャック機能
ジャック多項式の一般化

数学において、ジャック関数はヘンリー・ジャックによって導入されたジャック多項式 の一般化である。ジャック多項式は同次対称多項式であり、シューア多項式とゾーン多項式を一般化し、さらにヘックマン・オプダム多項式とマクドナルド多項式によって一般化される。

意味

整数パーティション、パラメータ、引数 のJack 関数は、次のように再帰的に定義できます。 J κ （ α ） （ × 1 、 × 2 、 … 、 × メートル ） {\displaystyle J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})} κ {\displaystyle \kappa } α {\displaystyle \alpha} × 1 、 × 2 、 … 、 × メートル {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}}

m =1の場合
J け （ α ） （ × 1 ） ＝ × 1 け （ 1 + α ） ⋯ （ 1 + （ け − 1 ） α ） {\displaystyle J_{k}^{(\alpha )}(x_{1})=x_{1}^{k}(1+\alpha )\cdots (1+(k-1)\alpha )}
m >1の場合
J κ （ α ） （ × 1 、 × 2 、 … 、 × メートル ） ＝ ∑ μ J μ （ α ） （ × 1 、 × 2 、 … 、 × メートル − 1 ） × メートル | κ / μ | β κ μ 、 {\displaystyle J_{\kappa}^{(\alpha)}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{m})=\sum_{\mu}J_{\mu}^{(\alpha)}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{m-1})x_{m}^{|\kappa/\mu |}\beta_{\kappa\mu},}

ここで、和は、歪んだ分割が水平の帯であるようなすべての分割にわたって行われる。すなわち、 μ {\displaystyle \mu} κ / μ {\displaystyle \kappa /\mu }

κ 1 ≥ μ 1 ≥ κ 2 ≥ μ 2 ≥ ⋯ ≥ κ n − 1 ≥ μ n − 1 ≥ κ n {\displaystyle \kappa _{1}\geq \mu _{1}\geq \kappa _{2}\geq \mu _{2}\geq \cdots \geq \kappa _{n-1}\geq \mu _{n-1}\geq \kappa _{n}} （ゼロまたはそれ以外）および μ n {\displaystyle \mu_{n}} J μ （ × 1 、 … 、 × n − 1 ） ＝ 0 {\displaystyle J_{\mu}(x_{1},\ldots,x_{n-1})=0}
β κ μ ＝ ∏ （ 私 、 j ） ∈ κ B κ μ κ （ 私 、 j ） ∏ （ 私 、 j ） ∈ μ B κ μ μ （ 私 、 j ） 、 {\displaystyle \beta _{\kappa \mu }={\frac {\prod _{(i,j)\in \kappa }B_{\kappa \mu }^{\kappa }(i,j)}{\prod _{(i,j)\in \mu }B_{\kappa \mu }^{\mu }(i,j)}},}

ここで、 は の場合、 は、以外の場合は と に等しい。式および は、それぞれおよびの共役分割を表す。 という表記は、の分割 のヤング図におけるボックスのすべての座標にわたって積が取られることを意味する。 B κ μ ν （ 私 、 j ） {\displaystyle B_{\kappa \mu }^{\nu }(i,j)} κ j ′ − 私 + α （ κ 私 − j + 1 ） {\displaystyle \kappa _{j}'-i+\alpha (\kappa _{i}-j+1)} κ j ′ ＝ μ j ′ {\displaystyle \kappa _{j}'=\mu _{j}'} κ j ′ − 私 + 1 + α （ κ 私 − j ） {\displaystyle \kappa_{j}'-i+1+\alpha (\kappa_{i}-j)} κ ′ {\displaystyle \kappa '} μ ′ {\displaystyle \mu '} κ {\displaystyle \kappa } μ {\displaystyle \mu} （ 私 、 j ） ∈ κ {\displaystyle (i,j)\in \kappa } （ 私 、 j ） {\displaystyle (i,j)} κ {\displaystyle \kappa }

組み合わせ式

1997年にF. KnopとS. Sahi [1]はn変数のジャック多項式の純粋に組み合わせ論的な公式を与えた。 J μ （ α ） {\displaystyle J_{\mu }^{(\alpha )}}

J μ （ α ） ＝ ∑ T d T （ α ） ∏ s ∈ T × T （ s ） 。 {\displaystyle J_{\mu}^{(\alpha )}=\sum _{T}d_{T}(\alpha )\prod _{s\in T}x_{T(s)}.}

合計は、 形状と λ 、 {\displaystyle \lambda ,}

d T （ α ） ＝ ∏ s ∈ T  致命的 d λ （ α ） （ s ） {\displaystyle d_{T}(\alpha )=\prod _{s\in T{\text{臨界}}}d_{\lambda }(\alpha )(s)}

と

d λ （ α ） （ s ） ＝ α （ 1つの λ （ s ） + 1 ） + （ l λ （ s ） + 1 ） 。 {\displaystyle d_{\lambda}(\alpha)(s)=\alpha(a_{\lambda}(s)+1)+(l_{\lambda}(s)+1).}

形状の許容タブローとは、ヤング図を1、2、…、nの数で埋めたもので、タブロー内の 任意のボックス（i 、 j ）について、 λ {\displaystyle \lambda} λ {\displaystyle \lambda}

  • T （ 私 、 j ） ≠ T （ 私 ′ 、 j ） {\displaystyle T(i,j)\neq T(i',j)} いつでも 私 ′ > 私 。 {\displaystyle i'>i.}
  • T （ 私 、 j ） ≠ T （ 私 、 j − 1 ） {\displaystyle T(i,j)\neq T(i,j-1)} いつでも j > 1 {\displaystyle j>1} 私 ′ < 私 。 {\displaystyle i'<i.}

ボックスは、タブローTの場合に重要であり、 s ＝ （ 私 、 j ） ∈ λ {\displaystyle s=(i,j)\in \lambda } j > 1 {\displaystyle j>1} T （ 私 、 j ） ＝ T （ 私 、 j − 1 ） 。 {\displaystyle T(i,j)=T(i,j-1).}

この結果は、マクドナルド多項式のより一般的な組み合わせ式の特殊なケースとして見ることができます。

C正規化

ジャック関数は対称多項式空間において内積を持つ 直交基底を形成します。

⟨ f 、 グラム ⟩ ＝ ∫ [ 0 、 2 π ] n f （ e 私 θ 1 、 … 、 e 私 θ n ） グラム （ e 私 θ 1 、 … 、 e 私 θ n ） ¯ ∏ 1 ≤ j < け ≤ n | e 私 θ j − e 私 θ け | 2 α d θ 1 ⋯ d θ n {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{[0,2\pi ]^{n}}f\left(e^{i\theta _{1}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}\right){\overline {g\left(e^{i\theta _{1}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}\right)}}\prod _{1\leq j<k\leq n}\left|e^{i\theta _{j}}-e^{i\theta _{k}}\right|^{\frac {2}{\alpha }}d\theta _{1}\cdots d\theta _{n}}

この直交性は正規化の影響を受けません。上で定義された正規化は、通常J正規化と呼ばれます。C正​​規化は次のように定義されます。

C κ （ α ） （ × 1 、 … 、 × n ） ＝ α | κ | （ | κ | ） ! j κ J κ （ α ） （ × 1 、 … 、 × n ） 、 {\displaystyle C_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {\alpha ^{|\kappa |}(|\kappa |)!}{j_{\kappa }}}J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},\ldots ,x_{n}),}

どこ

j κ ＝ ∏ （ 私 、 j ） ∈ κ （ κ j ′ − 私 + α （ κ 私 − j + 1 ） ） （ κ j ′ − 私 + 1 + α （ κ 私 − j ） ） 。 {\displaystyle j_{\kappa }=\prod _{(i,j)\in \kappa }\left(\kappa _{j}'-i+\alpha \left(\kappa _{i}-j+1\right)\right)\left(\kappa _{j}'-i+1+\alpha \left(\kappa _{i}-j\right)\right).}

はしばしば と表記され、ゾーン多項式と呼ばれます。 α = 2 , C κ ( 2 ) ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle \alpha =2,C_{\kappa }^{(2)}(x_{1},\ldots ,x_{n})} C κ ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle C_{\kappa }(x_{1},\ldots ,x_{n})}

P正規化

P正規化は恒等式で与えられ、ここで J λ = H λ ′ P λ {\displaystyle J_{\lambda }=H'_{\lambda }P_{\lambda }}

H λ ′ = ∏ s ∈ λ ( α a λ ( s ) + l λ ( s ) + 1 ) {\displaystyle H'_{\lambda }=\prod _{s\in \lambda }(\alpha a_{\lambda }(s)+l_{\lambda }(s)+1)}

ここで、 はそれぞれ腕と脚の長さを表します。したがって、は通常のシュアー関数です。 a λ {\displaystyle a_{\lambda }} l λ {\displaystyle l_{\lambda }} α = 1 , P λ {\displaystyle \alpha =1,P_{\lambda }}

シュアー多項式と同様に、ヤングの表の和として表すことができます。ただし、パラメータに依存する各表に追加の重みを加える必要があります。 P λ {\displaystyle P_{\lambda }} α {\displaystyle \alpha }

したがって、ジャック関数の式[2]は次のように与えられる。 P λ {\displaystyle P_{\lambda }}

P λ = ∑ T ψ T ( α ) ∏ s ∈ λ x T ( s ) {\displaystyle P_{\lambda }=\sum _{T}\psi _{T}(\alpha )\prod _{s\in \lambda }x_{T(s)}}

ここで、和は形状 のすべてのタブローにわたって取られ、Tのボックスsのエントリを表します。 λ {\displaystyle \lambda } T ( s ) {\displaystyle T(s)}

重みは次のように定義できる。形状Tの各タブローは、パーティションのシーケンスとして解釈できる。 ψ T ( α ) {\displaystyle \psi _{T}(\alpha )} λ {\displaystyle \lambda }

∅ = ν 1 → ν 2 → ⋯ → ν n = λ {\displaystyle \emptyset =\nu _{1}\to \nu _{2}\to \dots \to \nu _{n}=\lambda }

ここで、T内のコンテンツiを持つ傾斜形状を定義します。そして ν i + 1 / ν i {\displaystyle \nu _{i+1}/\nu _{i}}

ψ T ( α ) = ∏ i ψ ν i + 1 / ν i ( α ) {\displaystyle \psi _{T}(\alpha )=\prod _{i}\psi _{\nu _{i+1}/\nu _{i}}(\alpha )}

どこ

ψ λ / μ ( α ) = ∏ s ∈ R λ / μ − C λ / μ ( α a μ ( s ) + l μ ( s ) + 1 ) ( α a μ ( s ) + l μ ( s ) + α ) ( α a λ ( s ) + l λ ( s ) + α ) ( α a λ ( s ) + l λ ( s ) + 1 ) {\displaystyle \psi _{\lambda /\mu }(\alpha )=\prod _{s\in R_{\lambda /\mu }-C_{\lambda /\mu }}{\frac {(\alpha a_{\mu }(s)+l_{\mu }(s)+1)}{(\alpha a_{\mu }(s)+l_{\mu }(s)+\alpha )}}{\frac {(\alpha a_{\lambda }(s)+l_{\lambda }(s)+\alpha )}{(\alpha a_{\lambda }(s)+l_{\lambda }(s)+1)}}}

そして、積は、 sが同じ行にあるが同じ列にはないボックスを持つ、内の すべてのボックスsに対してのみ取られます。 λ {\displaystyle \lambda } λ / μ {\displaystyle \lambda /\mu }

シュール多項式との関連

ジャック関数がシュアー多項式のスカラー倍である場合 α = 1 {\displaystyle \alpha =1}

J κ ( 1 ) ( x 1 , x 2 , … , x n ) = H κ s κ ( x 1 , x 2 , … , x n ) , {\displaystyle J_{\kappa }^{(1)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=H_{\kappa }s_{\kappa }(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),}

どこ

H κ = ∏ ( i , j ) ∈ κ h κ ( i , j ) = ∏ ( i , j ) ∈ κ ( κ i + κ j ′ − i − j + 1 ) {\displaystyle H_{\kappa }=\prod _{(i,j)\in \kappa }h_{\kappa }(i,j)=\prod _{(i,j)\in \kappa }(\kappa _{i}+\kappa _{j}'-i-j+1)}

は のすべてのフックの長さの積です。 κ {\displaystyle \kappa }

プロパティ

パーティションの部分が変数の数よりも多い場合、Jack 関数は 0 になります。

J κ ( α ) ( x 1 , x 2 , … , x m ) = 0 ,  if  κ m + 1 > 0. {\displaystyle J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})=0,{\mbox{ if }}\kappa _{m+1}>0.}

行列の議論

いくつかの文献、特にランダム行列理論においては、ジャック関数に行列引数を用いる方が便利であると著者らは考えている。その関係は単純である。が固有値を持つ行列である 場合、 X {\displaystyle X} x 1 , x 2 , … , x m {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}}

J κ ( α ) ( X ) = J κ ( α ) ( x 1 , x 2 , … , x m ) . {\displaystyle J_{\kappa }^{(\alpha )}(X)=J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}).}

参考文献

  • デメル、ジェームズ；コーエフ、プラメン（2006）「シュアー関数とジャック関数の正確かつ効率的な評価」、計算数学、75（253）：223– 239、CiteSeerX  10.1.1.134.5248、doi：10.1090/S0025-5718-05-01780-1、MR  2176397。
  • ジャック、ヘンリー（1970–1971）「パラメータを持つ対称多項式のクラス」、エディンバラ王立協会紀要、第A部数学、69：1–18、MR  0289462。
  • クノップ、フリードリヒ; サヒ、シッダールタ (1997年3月19日)、「ジャック多項式の再帰と組み合わせ式」、Inventiones Mathematicae、128 (1): 9– 22、arXiv : q-alg/9610016、Bibcode :1997InMat.128....9K、doi :10.1007/s002220050134、S2CID  7188322
  • マクドナルド、IG（1995）、対称関数とホール多項式、オックスフォード数学モノグラフ（第2版）、ニューヨーク：オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-853489-1、MR  1354144
  • スタンリー、リチャード・P.（1989）「ジャック対称関数のいくつかの組み合わせ的性質」、数学の進歩、77（1）：76-115、doi：10.1016/0001-8708（89）90015-7、MR  1014073。
  1. ^ ノップ＆サヒ 1997.
  2. ^ マクドナルド 1995年、379ページ。
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