ジョンソン計画

数学において、セルマー・M・ジョンソンにちなんで名付けられたジョンソンスキームは、三角連想スキームとも呼ばれる。これは、長さℓ、重み nの2元ベクトルXのすべての集合から成り、次を満たす。^{[1] [2] [3]} 2つのベクトル x ,  y  ∈  Xは、 i  = 0, 1, ...,  nに対してdist( x ,  y ) = 2 iが成り立つとき、 i番目の連想ベクトルと呼ばれる。固有値は次式で与えられる 。${\displaystyle v=\left|X\right|={\binom {\ell }{n}}}$

${\displaystyle p_{i}\left(k\right)=E_{i}\left(k\right),}$

${\displaystyle q_{k}\left(i\right)={\frac {\mu _{k}}{v_{i}}}E_{i}\left(k\right),}$

どこ

${\displaystyle \mu _{i}={\frac {\ell -2i+1}{\ell -i+1}}{\binom {\ell }{i}},}$

E _k ( x ) は次のように定義される エーベルライン多項式である。

${\displaystyle E_{k}\left(x\right)=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}{\binom {x}{j}}{\binom {nx}{kj}}{\binom {\ell -nx}{kj}},\qquad k=0,\ldots ,n.}$

参考文献

1. P. DelsarteとVI Levenshtein、「アソシエーションスキームとコーディング理論」、 IEEE Trans. Inf. Theory、vol. 44、no. 6、pp. 2477–2504、1998年。
2. P. Camion、「コードとアソシエーション スキーム: コーディングに関連するアソシエーション スキームの基本特性」、Handbook of Coding Theory、VS Pless および WC Huffman 編、Elsevier、オランダ、1998 年。
3. FJ MacWilliams と NJA Sloane、「誤り訂正符号の理論」、Elsevier、ニューヨーク、1978 年。