カン拡張

カン拡張は、数学の一分野である圏論における普遍的な構成概念です。随伴関数と密接に関連していますが、極限や端とも関連しています。 1960年に 極限を用いて特定の（カン）拡張を構築したダニエル・M・カンにちなんで名付けられました

1956 年からの (現在では Kan 拡張として知られている) 初期の使用は、ホモロジー代数において導来関数を計算するために使用されました。

『現役数学者のためのカテゴリー』の中で、サンダース・マクレーンは「すべての概念はカン拡張である」というセクションを設け、次のように書いている。

カン拡張の概念は、カテゴリー理論の他のすべての基本概念を包含します。

カン拡張は、部分集合上で定義された関数を集合全体上で定義された関数に拡張するという概念を一般化します。当然のことながら、この定義は高度に抽象化されています。これを半集合に特化すると、制約付き最適化に関する比較的馴染みのある種類の問題となります。

定義

カン拡張は、3つのカテゴリのデータから生じます

${\displaystyle \mathbf {A},\mathbf {B},\mathbf {C}}$

と2つの関数

${\displaystyle X:\mathbf {A} \to \mathbf {C} ,F:\mathbf {A} \to \mathbf {B} }$ 、

には2つの種類があります。 「左」漢拡張と「右」漢拡張です${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$

抽象的には、関数 は引き戻し写像 を与える。存在する場合、 に左随伴関数と右随伴関数を適用すると、左カン拡大と右カン拡大が得られる。随伴関数の定義を詳しく述べると、以下の定義が得られる。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F^{*}:[B,C]\to [A,C]}$ ${\displaystyle F^{*}}$ ${\displaystyle X}$

右 Kan 拡張は、次の図の 破線矢印と自然変換を見つけることに相当します。 ${\displaystyle \epsilon}$

正式には、に沿ったの右カン拡大は、${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ 関数と、この仕様に関して終端となる自然変換から構成されます。つまり、任意の関数と自然変換に対して、一意の自然変換が定義され、可換図に適合します。 ${\displaystyle R:\mathbf {B} \to \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \epsilon :RF\to X}$ ${\displaystyle M:\mathbf {B}\to\mathbf {C}}$ ${\displaystyle \mu:MF\toX}$ ${\displaystyle \delta :M\to R}$

任意のオブジェクトに対する自然変換はどこにあるか${\displaystyle \delta_{F}}$ ${\displaystyle \delta_{F}(a)=\delta(Fa):MF(a)\to RF(a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \mathbf {A} .}$

関数Rは、 と表記されることが多いです。 ${\displaystyle \operatorname {Ran} _{F}X}$

カテゴリー理論の他の普遍的構成と同様に、カン拡張の「左」バージョンは「右」バージョンの双対であり、すべてのカテゴリーをその反対のカテゴリーに置き換えることによって得られます。

上記の説明に対するこの影響は、単に自然な変換の方向を逆にすることだけです。

(関数間の自然な変換は、 のすべてのオブジェクトに対して矢印を持ち、「自然性」プロパティを満たすことから成り立つことを思い出してください。反対のカテゴリに移行すると、 のソースとターゲットが入れ替わり、 は反対方向に動作します)。${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle F,G:\mathbf {C}\to\mathbf {D}}$ ${\displaystyle \tau (a):F(a)\to G(a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \tau (a)}$ ${\displaystyle \tau}$

これにより、別の記述が生まれます。に沿ったの左 Kan 拡大は、${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ 関数と、この仕様に関して初期である自然変換で構成されます。つまり、他の任意の関数と自然変換に対して、一意の自然変換が存在し、可換図に適合するということです。 ${\displaystyle L:\mathbf {B} \to \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \eta :X\to LF}$ ${\displaystyle M:\mathbf {B} \to \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \alpha :X\to MF}$ ${\displaystyle \sigma :L\to M}$

ここで、 の任意のオブジェクトに対する自然変換です。 ${\displaystyle \sigma _{F}}$ ${\displaystyle \sigma _{F}(a)=\sigma (Fa):LF(a)\to MF(a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

関数Lは、 と表記されることが多いです。 ${\displaystyle \operatorname {Lan} _{F}X}$

「左カン拡張」のような「その」という語の使用は、すべての普遍的構成と同様に、定義されたオブジェクトが存在する場合、それが一意の同型性を除いて一意であるという事実によって正当化されます。この場合、それは（左カン拡張の場合）が に沿ったの2つの左カン拡張であり、 が対応する変換である場合、上記の2番目の図が可換となる関数の一意の同型性が存在することを意味します。右カン拡張の場合も同様です。 ${\displaystyle L,M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \eta ,\alpha }$ ${\displaystyle \sigma :L\to M}$

性質

（余）極限としてのカン拡大

とが2つの関手であるとする。Aが小さく、Cが余完備ならば、 Bの各対象bにおいて、に沿って の左カン拡大が存在する${\displaystyle X:\mathbf {A} \to \mathbf {C} }$ ${\displaystyle F:\mathbf {A} \to \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \operatorname {Lan} _{F}X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle (\operatorname {Lan} _{F}X)(b)=\varinjlim _{f:Fa\to b}X(a)}$

ここで、余極限はコンマ圏 上に取られ、 は定数関数である。双対的に、Aが小さくCが完備ならば、 に沿った右カン拡大が存在し、 の極限として計算できる。 ${\displaystyle (F\downarrow \operatorname {const} _{b})}$ ${\displaystyle \operatorname {const} _{b}\colon \ast \to \mathbf {B} ,\ast \mapsto b}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle (\operatorname {Ran} _{F}X)(b)=\varprojlim _{Fa\leftarrow b}X(a)}$

コンマカテゴリを超えています。 ${\displaystyle (\operatorname {const} _{b}\downarrow F)}$

Kan拡張を（共）端として

とが2つの関手で、 Aのすべての対象aとa ′、およびBのすべての対象bに対して、Cに余べきが存在するとする。すると、関手X はFに沿った左 Kan 拡大を持ち、これはBのすべての対象bに対して、 ${\displaystyle X:\mathbf {A} \to \mathbf {C} }$ ${\displaystyle F:\mathbf {A} \to \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} (Fa',b)\cdot Xa}$ ${\displaystyle \operatorname {Lan} _{F}X}$

${\displaystyle (\operatorname {Lan} _{F}X)b=\int ^{a}\mathbf {B} (Fa,b)\cdot Xa}$

上記の共終点がBのすべてのオブジェクトbに対して存在する場合。

双対的に、右カン拡張は、末端の式 によって計算できる。

${\displaystyle (\operatorname {Ran} _{F}X)b=\int _{a}Xa^{\mathbf {B} (b,Fa)}.}$

カン拡張としての限界

関数の極限はカン拡大として次のように表現できる。 ${\displaystyle F:\mathbf {C} \to \mathbf {D} }$

${\displaystyle \lim F=\operatorname {Ran} _{E}F}$

ここで はからへの唯一の関手（ の終端オブジェクトである、1つの対象と1つの矢印を持つカテゴリ）である。 の余極限は同様に次のように表される 。${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {1} }$ ${\displaystyle \mathbf {Cat} }$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle \operatorname {colim} F=\operatorname {Lan} _{E}F.}$

Kan拡張としての随伴

関数が左随伴を持つ場合、かつその場合のみ、の右カン拡大が存在し、 によって保存されます。この場合、左随伴は によって与えられ、このカン拡大はいかなる関数によっても保存されます。つまり、 は絶対カン拡大です。 ${\displaystyle F:\mathbf {C} \to \mathbf {D} }$ ${\displaystyle \operatorname {Id} :\mathbf {C} \to \mathbf {C} }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \operatorname {Ran} _{F}\operatorname {Id} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} \to \mathbf {E} }$

双対的に、 に沿った恒等式の左 Kan 拡張が存在し、 によって保存される場合に限り、右随伴が存在します。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

応用

関数の共密度モナドは、 Gのそれ自身に沿った 右カン拡大です${\displaystyle G:\mathbf {D} \to \mathbf {C} }$

参考文献

• カルタン、アンリ、アイレンバーグ、サミュエル(1956).ホモロジー代数. プリンストン数学シリーズ. 第19巻. プリンストン、ニュージャージー州：プリンストン大学出版局. ZBL  0075.24305
• マック・レーン、サンダース(1998). 『現役数学者のためのカテゴリー』 .大学院数学テキスト. 第5巻（第2版）. ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 0-387-98403-8. Zbl  0906.18001.
• ケリー、グレゴリー・マクスウェル (1982)、「第4章 カン拡張」、エンリッチド・カテゴリー理論の基本概念(PDF)、ロンドン数学会講義ノートシリーズ、第64巻、ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ-ニューヨーク、ISBN 0-521-28702-2、MR  0651714

外部リンク

• 左カン拡大の余極限公式のモデル非依存証明
• nラボのKan拡張
• 極限としてのKan拡張：例