カプランスキー予想
数学者アーヴィング・カプランスキーによる数々の予想

数学者アーヴィング・カプランスキーは、ホップ代数に関する10の予想を含む、数学のいくつかの分野で多数の予想を提唱したことで有名です。これらは通常、 カプランスキー予想として知られています

群環

Kを体、Gを捩れのない 群とする。カプランスキーの零因子予想は次のように述べている

関連する2つの予想は、それぞれカプランスキーの冪等性予想として知られています。

  • K [ G ]には非自明なべき等性が含まれません。つまり、 a 2 = aの場合、 a = 1またはa = 0 になります。

そしてカプランスキーの単位予想（これはもともとグラハム・ヒグマンによって提唱され、カプランスキーによって普及された）

  • K [ G ] には非自明な単位は含まれません。つまり、 K [ G ]でab = 1の場合、 KのkとGのgに対してa = kg となります。

零因子予想は冪等性予想を含意し、単位予想は零因子予想を含意する。2021年現在、零因子予想と冪等性予想は未解決である。しかし、単位予想はジャイルズ・ガーダムによって、結晶学群、すなわちハンチェ・ウェント多様体の基本群における明示的な反例を示すことにより、特性2において反証された。フィボナッチ群も参照のこと。[1] [2] [3]ガーダムによる後のプレプリントでは、本質的に同じ元が特性0においても反例を与えると主張している（この設定では逆元を見つけることは計算上はるかに複雑になるため、最初の結果と2番目の結果の間に遅延が生じる）。[4]

大きな群のクラスに対しては、冪等性予想と零因子予想の両方の証明が存在する。例えば、零因子予想はすべての基本従属群（すべての仮想的に可解な群を含むクラス）に対して既知である。これは、それらの群代数がオーレ領域であることが知られているためである。[5]したがって、この予想はより一般的に、残差捩れのないすべての基本従属群に対して成立する。が特性ゼロの体であるとき、零因子予想はアティヤ予想から導かれ、これもまた大きな群のクラスに対して確立されていることに注意されたい。 K {\displaystyle K}

冪等性予想には、被縮群C*-代数 の元に対するカディソン冪等性予想（カディソン・カプランスキー予想とも呼ばれる）という一般化がある。この設定において、ファレル・ジョーンズ予想がK [ G ]に対して成立するならば、冪等性予想も成立することが知られている。後者は、例えばすべての双曲群を含む、非常に多くの群のクラスに対して肯定的に解決されている。

単位予想も多くの群において成立することが知られていますが、その部分解は他の2つに比べてはるかに堅牢ではありません（前述の反例が示すように）。この予想は、他の2つとは異なり、いかなる解析的命題からも導かれることは知られておらず、成立することが知られているケースはすべて、いわゆる一意積性を含む直接的な組合せ論的アプローチによって確立されています。前述のガーダムの研究により、この予想は一般には成立しないことが現在では知られています。

バナッハ代数

この予想は、バナッハ代数 C ( X )（ X上の連続複素数値関数、ただしXはコンパクト・ ハウスドルフ空間）から他の任意のバナッハ代数への任意の代数準同型は必然的に連続であると述べています。この予想は、 C ( X )上の任意の代数ノルムが通常のユニフォームノルムと同値であるという命題と同等です。（カプランスキー自身も以前、 C ( X )上のすべての完全代数ノルムがユニフォームノルムと同値である ことを示していました。）

1970年代半ば、H・ガース・デイルズとJ・エステルは独立に、連続体仮説の妥当性をさらに仮定すると、コンパクトハウスドルフ空間XとC ( X )から何らかのバナッハ代数への不連続準同型が存在することを証明し、この予想に対する反例を示した。

1976年、RM SolovayはH. Woodinの研究を基に、ZFC（ツェルメロ＝フランケル集合論＋選択公理）のモデルを提示し、その中でカプランスキー予想が成り立った。したがって、カプランスキー予想はZFCにおいて決定不可能な命題の例である。

二次形式

1953年、カプランスキーはu不変量の有限値は2のべき乗のみであるという予想を提唱した。[6] [7]

1989年、アレクサンダー・メルクルジェフは任意の偶数mに対してu不変量を持つ体を示し、この予想は反証された。[6] 1999年、オレグ・イジボルディンはu不変量m = 9を持つ体を構築し、これは奇数u不変量の最初の例となった。[8] 2006年、アレクサンダー・ヴィシクは3以上の任意の整数kに対してu不変量を持つ体を示した。[9] m ＝ 2 k + 1 {\displaystyle m=2^{k}+1}

参考文献

  1. ^ Gardam, Giles (2021-02-23). 「群環に対する単位予想の反例」Annals of Mathematics . 194 (3): 967–979 . arXiv : 2102.11818 . doi :10.4007/annals.2021.194.3.9. S2CID  232013430
  2. ^ 「ジャイルズ・ガーダム氏へのインタビュー」ミュンスター大学数学部. 2021年3月10日閲覧。
  3. ^ Erica Klarreich (2021年4月12日). 「数学者が80年前の代数予想を反証」Quanta Magazine . 2021年4月13日閲覧。
  4. ^ Gardam, Giles (2023年12月11日). 「複素群環の非自明な単位」. arXiv : 2312.05240 [math.GR].
  5. ^ Kropholler, PH; Linnell, PA; Moody, JA (1988). 「新しい$K$理論定理の可溶性群環への応用」(PDF) .アメリカ数学会報. 104 (3): 675–684 (定理1.4). doi :10.2307/2046771.
  6. ^ ab Merkur'ev, AS (1991). 「二次形式理論におけるカプランスキー予想」J Math Sci . 57 (6): 3489. doi :10.1007/BF01100118. S2CID  122865942.
  7. ^ Kaplansky, I. (1951). 「二次形式」. J. Math. Soc. Jpn . 5 (2): 200– 207. doi : 10.2969/jmsj/00520200 .
  8. ^ イズボルディン、オレグ・T. (2001). 「u-不変量9の体」. Annals of Mathematics . Second Series. 154 (3): 529– 587. doi :10.2307/3062141. JSTOR  3062141. Zbl  0998.11015.
  9. ^ Vishik, Alexander (2009). 「u-不変量 2 r + 1 の体」.代数・算術・幾何学 第2巻：Yu. I. Manin に敬意を表して. 『数学の進歩』 第270巻. p. 661. doi :10.1007/978-0-8176-4747-6_22. ISBN 978-0-8176-4746-9。

さらに詳しい情報

  • Dales, HG (1978年7月). 「自動連続性：概説」.ロンドン数学会報. 10 (2): 129–183 . doi :10.1112/blms/10.2.129
  • リュック、ヴォルフガング (2002)。L² 不変量: 理論と幾何学および K 理論への応用。 Ergebnisse der Mathematik および ihrer Grenzgebiete。ベルリン;ニューヨーク：スプリンガー。ISBN 978-3-540-43566-2。
  • パスマン、ドナルド・S. (1977).群環の代数的構造. 純粋数学と応用数学. ニューヨーク: Wiley. ISBN 978-0-471-02272-5。
  • プシュニグ、マイケル（2002年7月）「語双曲群に対するカディソン＝カプランスキー予想」Inventions Mathematicae 149 ( 1): 153–194 .書誌コード:2002InMat.149..153P. doi :10.1007/s002220200216. ISSN  0020-9910
  • Dales, HG; Woodin, WH (1987). 『アナリストのための独立性入門』（第1版）. Cambridge University Press. doi :10.1017/cbo9780511662256. ISBN 978-0-521-33996-4。
「https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Kaplansky%27s_conjectures&oldid=1326897497#Group_rings」より引用