カロウビ封筒

数学において、圏Cのカルービ包絡（カルービほうこん、コーシー完備、冪等完備）は、 Cの冪等性を補助圏を用いて分類するものである。前加法圏のカルービ包絡をとると擬アーベル圏が得られるため、加法圏の場合、その構成は擬アーベル完備と呼ばれることがある。この構成はフランスの数学者マックス・カルービにちなんで名付けられている。

カテゴリCが与えられたとき、 Cの冪等性は準同型である。

${\displaystyle e:A\rightarrow A}$

と

${\displaystyle e\circ e=e}$ 。

冪等なe : A → Aは、対象Bと射f : A → B、 g : B → Aが存在し、e = gfかつ_B = fgとなる場合、 分裂するといわれます

Cのカルービエンベロープ（Split(C)と表記されることもある）は、そのオブジェクトが（ A、e）の形式のペアであるカテゴリであり、AはCのオブジェクトであり、Cの冪等であり、その射は3つ組である。 ${\displaystyle e:A\rightarrow A}$

${\displaystyle (e,f,e^{\prime }):(A,e)\rightarrow (A^{\prime },e^{\prime })}$

ここで、 はCの射であり、 を満たす(または同等の)。 ${\displaystyle f:A\rightarrow A^{\prime }}$ ${\displaystyle e^{\prime }\circ f=f=f\circ e}$ ${\displaystyle f=e'\circ f\circ e}$

Split(C)の合成はCと同じですが、の恒等射ではなく、Split(C)の恒等射はです。 ${\displaystyle (A,e)}$ ${\displaystyle (e,e,e)}$ ${\displaystyle A}$

圏CはSplit(C)に完全かつ忠実に埋め込まれる。Split (C)においてすべての冪等元は分裂し、Split(C)はこの性質を持つ普遍圏である。したがって、圏Cのカルービ包絡線は、冪等元を分裂させるCの「完備化」とみなすことができる。

圏Cのカルービ包絡線は、表現可能関数の縮約の（ C 上の前層の）完全な部分圏として定義できる。 C上の前層の圏は、Split(C)上の前層の圏と同値である。 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {C} }}}$

カロウビ包絡線における自己同型

Split(C)の自己同型はの形式をとり、逆は次を満たす。 ${\displaystyle (e,f,e):(A,e)\rightarrow (A,e)}$ ${\displaystyle (e,g,e):(A,e)\rightarrow (A,e)}$

${\displaystyle g\circ f=e=f\circ g}$

${\displaystyle g\circ f\circ g=g}$

${\displaystyle f\circ g\circ f=f}$

最初の方程式を と緩和すると、f は部分自己同型（逆gを持つ）となる。Split (C)における（部分）反転は自己逆（部分）自己同型である。 ${\displaystyle g\circ f=f\circ g}$

例

• Cに積がある場合、同型 写像が与えられ、対称性の標準写像と合成された写像は部分反転である${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ ${\displaystyle f\times f^{-1}:A\times B\rightarrow B\times A}$ ${\displaystyle \gamma :B\times A\rightarrow A\times B}$
• Cが三角化カテゴリである場合、カルービエンベロープSplit ( C )は三角化カテゴリの構造を付与することができ、標準関数C → Split ( C )は三角化関数になる。^[1]
• カロウビ エンベロープは、いくつかのカテゴリのモチーフの構築に使用されます。
• カロウビ包絡線の構成は、半随伴を随伴に置き換えるものである。^{[2]このため、カロウビ包絡線は}型なしラムダ計算のモデル研究に用いられる。外延的ラムダモデル（モノイドを圏として扱う）のカロウビ包絡線は直角閉である。^{[3] [4]}
• 任意の環上の射影加群のカテゴリは、その自由加群の完全なサブカテゴリのカルービ エンベロープです。
• 任意のパラコンパクト空間上のベクトル束の圏は、その自明な束の完全な部分圏のカルービ包である。これは実際には、セール・スワン定理による前例の特別な場合であり、逆に言えば、この定理は、まず大域切断関数が 上の自明なベクトル束と 上の自由加群との間の同値性であるという観察、そしてカルービ包の普遍性を用いることで証明できる。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C(X)}$

参考文献

1. Balmer & Schlichting 2001
2. 林進 (1985). 「半関数の随伴：非外延的ラムダ計算における圏論的構造」.理論計算機科学. 41 : 95–104 . doi :10.1016/0304-3975(85)90062-3
3. CPJ Koymans (1982). 「ラムダ計算のモデル」.情報制御. 52 : 306–332 . doi : 10.1016/s0019-9958(82)90796-3 .
4. DS Scott (1980). 「ラムダ計算の関連理論」HB Curry宛：組合せ論理エッセイ集。

• バルマー、ポール；シュリヒティング、マルコ（2001）「三角化カテゴリの冪等完備化」（PDF）、代数ジャーナル、236（2）：819– 834、doi：10.1006/jabr.2000.8529、ISSN  0021-8693