カウフマン多項式

結び目理論において、カウフマン多項式はルイス・カウフマンによる2変数結び目多項式である。^[1]これはリンク図上 で次のように定義される。

${\displaystyle F(K)(a,z)=a^{-w(K)}L(K)\,}$ 、

ここで、 はリンク ダイアグラムのねじれであり、 はリンク ダイアグラム上で次の特性によって定義される aおよびzの多項式です。${\displaystyle w(K)}$ ${\displaystyle L(K)}$

• ${\displaystyle L(O)=1}$ （O は結び目がないものです）。
• ${\displaystyle L(s_{r})=aL(s),\qquad L(s_{\ell})=a^{-1}L(s).}$
• Lはタイプ II およびタイプ III のライデマイスター移動では変化しません。

ここではストランドが 1 つあり、(それぞれ) は同じストランドに右巻き (それぞれ左巻き) のカールが追加されたものです (タイプ I ライデマイスター移動を使用)。 ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s_{r}}$ ${\displaystyle s_{\ell}}$

さらに、Lはカウフマンのかせ関係を満たす必要があります。

画像は、図に示すようにディスク内部では異なりますが、外部では同一のダイアグラムの L多項式を表しています。

カウフマンは、Lが存在し、無向リンクの正則同位体不変量であることを示した。Fが有向リンクのアンビエント同位体不変量であることは容易に導かれる。

ジョーンズ多項式はカウフマン多項式の特殊ケースであり、L多項式は括弧付き多項式に特化している。カウフマン多項式はSO(N)のチャーン・サイモンズゲージ理論と関連しており、これはHOMFLY多項式がSU(N)のチャーン・サイモンズゲージ理論と関連しているのと同じである。 ^[2]

参考文献

1. カウフマン、ルイス(1990). 「正則同位体の不変量」(PDF) .アメリカ数学会誌. 318 (2): 417– 471. doi : 10.1090/S0002-9947-1990-0958895-7 . MR  0958895.
2. Witten, Edward (1989). 「量子場理論とジョーンズ多項式」. Communications in Mathematical Physics . 121 (3): 351– 399. Bibcode :1989CMaPh.121..351W. doi :10.1007/BF01217730. MR  0990772.

さらに読む

• カウフマン、ルイス(1987). 『結び目について』. Annals of Mathematics Studies. 第115巻. プリンストン、ニュージャージー州:プリンストン大学出版局. ISBN 0-691-08435-1. MR  0907872。

外部リンク

• 「カウフマン多項式」、数学百科事典
• 「カウフマン多項式」、結び目アトラス。