ウィア・フェラン構造
等体積泡の数学的泡
ウィア・フェラン構造（多面体セル）

幾何学において、ウィア・フェラン構造は、2つの異なる形状を持つ、等サイズの泡からなる理想的な泡を表す3次元構造です。1993年、デニス・ウィアとロバート・フェランは、この構造が、最小表面積を持つ等体積セルで空間をタイル張りするケルビン問題において、それまで最もよく知られていたケルビン構造よりも優れた解であることを発見しました。[1]

歴史とケルビン問題

2次元では、平面を最小の平均周囲長を持つ等しい面積のセルに分割する手法は六角形のタイル張りで与えられますが、このハニカム予想に関する最初の記録は古代ローマの学者マルクス・テレンティウス・ウァロ（紀元前116-27年）に遡りますが、 1999年のトーマス・C・ヘイルズの研究で初めて証明されました。[2] 1887年、ケルビン卿は3次元空間について同様の質問をしました。等しい体積のセルに分割し、それらの間の表面積を最小にするにはどうすればよいでしょうか。つまり、最も効率的なシャボン玉の泡は何か、ということです。[3] それ以来、この問題はケルビン問題と呼ばれています。

切頂立方ハニカムは、切頂八面体のセルがわずかに変形してケルビン構造を形成する凸状ハニカムである。

ケルビンはケルビン構造と呼ばれる泡を提唱した。彼の泡は、6つの正方形面と8つの六角形面を持つ空間充填凸多面体である切頂八面体によって形成される凸均一ハニカムである二切頂立方ハニカムに基づいている。しかし、このハニカムは、19世紀にジョセフ・プラトーによって定式化されたプラトーの法則を満たしていない。プラトーの法則によれば、泡の極小面は辺で 角度 で交わり、これらの辺は4つずつ の角度で交わる。多面体構造の角度は異なっており、例えば、その辺は正方形面では の角度で交わり、六角形面では の角度で交わる。したがって、ケルビンが提案した構造では、曲線の辺とわずかに歪んだ極小面を面として使用し、プラトーの法則に従い、対応する多面体構造と比較して構造の面積を0.2%削減している。[1] [3] 120 ∘ {\displaystyle 120^{\circ}} アルコス ⁡ − 1 3 ≈ 109.47 ∘ {\displaystyle \arccos {\tfrac {-1}{3}}\approx 109.47^{\circ }} 90 ∘ {\displaystyle 90^{\circ}} 120 ∘ {\displaystyle 120^{\circ}}

ケルビンは予想として明確に述べなかったものの[4] 、二切立方ハニカム構造の泡が最も効率的な泡であり、ケルビン問題を解くという考えは、ケルビン予想として知られるようになりました。この考えは広く信じられ、100年以上も反例は知られていませんでした。最終的に1993年、ダブリン大学トリニティ・カレッジの物理学者デニス・ウィアーと彼の学生ロバート・フェランが泡のコンピュータシミュレーションを通じてウィアー・フェラン構造を発見し、それがより効率的であることを示し、ケルビン予想を反証しました[1] 。

ウィア・フェラン構造の発見以来、ケルビン予想に対する他の反例が見つかっているが、ウィア・フェラン構造はこれらの反例の中でセル当たりの表面積が最も小さいことが知られている。[5] [6] [7]数値実験ではウィア・フェラン構造が最適であると示唆されているが、これはまだ証明されていない。[8]一般に、極小曲面を含む構造の最適性を証明するのは非常に困難であった。単一の体積を囲む面としての球面の極小性は19世紀まで証明されず、次に単純な問題である2つの体積を囲む二重バブル予想は2002年に証明されるまで100年以上も未解決のままであった。[9]

説明

ウィア・フェラン構造は、体積は等しいものの2種類のセルを使用する点でケルビン構造と異なります。ケルビン構造のセルと同様に、これらのセルは組み合わせ的に凸多面体と等価です。1つはピリトヘドロンで、五角形の面を持つ不規則な十二面体で、四面体対称性（T h ）を備えています。2つ目は切頂六角形台形の一種で、2つの六角形と12の五角形の面を持つ十四面体の一種で、この場合は2つの鏡面と回転対称性のみを備えています。ケルビン構造の六角形と同様に、両方のタイプのセルの五角形はわずかに湾曲しています。ウィア・フェラン構造の表面積は、ケルビン構造の表面積よりも0.3％小さくなっています。[1]

Tetrastix、ウィア・フェラン構造における正四面体セルの対面鎖をモデル化

正十二面体セルは、六角形の面に沿って面と面を合わせた鎖状に連結され、3つの垂直方向に鎖を形成している。ウィア・フェラン構造と組み合わせ的に等価な構造は、単位立方体を同様に面と面を合わせて無限の四角柱状に並べ、テトラスティックスと呼ばれる連結したプリズムの構造を形成することで空間をタイリングすることで作成できる。これらのプリズムは、立方体のタイリングのセルの4分の1を構成する立方体の空隙を囲む。残りの4分の3のセルは、プリズムの壁に沿った整数グリッドから半単位だけオフセットされた状態でプリズムを埋める。同様に、テトラスティックス構造と同じ対称性を持つウィア・フェラン構造自体においても、セルの1/4は正十二面体、3/4は正十二面体である。[10]

ウィアー・フェラン構造（面を平坦化し、辺を直線化することで得られる）に関連する多面体ハニカム構造は、ウィアー・フェラン構造とも呼ばれる。ウィアー・フェラン構造はウィアー・フェラン構造が発見されるずっと前から知られていたが、ケルビン問題への応用は見過ごされていた。 [11]

アプリケーション

物理システムでは

規則正しい液体の泡の成長に使用される金型のクローズアップ。

実験では、好ましい境界条件のもとで、等体積の気泡が自発的にウィア・フェラン構造に自己組織化することが示されている。 [12] [13]

関連する多面体ハニカム構造は、化学における2つの関連する結晶構造に見られる。結晶の構成要素が多面体の中心に位置する場合、フランク・カスパー相の一つであるA15相を形成する。[14]

結晶の構成要素が多面体の頂点に位置する構造は「タイプIクラスレート構造」として知られています。低温でメタン、プロパン、二酸化炭素から形成されるガスハイドレートは、水分子がウィア・フェラン構造の節に位置して水素結合し、より大きなガス分子が多面体のケージに閉じ込められた構造をとります。[11]一部のアルカリ金属水素 化物、 シリサイド、ゲルマニウム化物もこの構造を形成し、シリコンまたはゲルマニウムが節に位置し、アルカリ金属がケージ内に存在します。[1] [15] [16] ケイ酸塩鉱物であるメラノフロジャイトもこの構造に結晶化します。

建築において

北京国家水泳センター

ウィア・フェラン構造は、トリストラム・カーフレーによる2008年夏季オリンピックの北京国家水泳センター「ウォーターキューブ」の設計のインスピレーションとなった。[17]

参照

参考文献

  1. ^ abcde Weaire, D. ; Phelan, R. (1994), 「極小曲面に関するケルビン予想の反例」Phil. Mag. Lett. , 69 (2): 107– 110, Bibcode :1994PMagL..69..107W, doi :10.1080/09500839408241577。
  2. ^ Hales, TC (2001)、「ハニカム予想」、離散幾何学と計算幾何学、25 (1): 1– 22、doi : 10.1007/s004540010071、hdl : 2027.42/42423、MR  1797293
  3. ^ ab Lord Kelvin (Sir William Thomson) (1887)、「On the Division of Space with Minimum Partitional Area」(PDF)、Philosophical Magazine、24 (151): 503、doi :10.1080/14786448708628135、 2021年11月26日にオリジナル(PDF)からアーカイブ、 2012年6月15日取得。
  4. ^ ウィアとフェラン（1994）は、ケルビンの原著論文では「直接述べられているのではなく、暗黙的に述べられている」と述べている。
  5. ^ サリバン、ジョン・M. (1999)、「泡と泡沫の幾何学」『泡沫とエマルジョン』（カルジェーズ、1997年）、NATO先端科学研究所シリーズE：応用科学、第354巻、クルーワー、pp.  379– 402、MR  1688327
  6. ^ ガブリエリ、ルッジェロ（2009年8月1日）「極小面に関するケルビン予想に対する新たな反例」『哲学雑誌レターズ』89（8）：483–491、Bibcode：2009PMagL..89..483G、doi：10.1080/09500830903022651、ISSN：  0950-0839、S2CID：  137653272
  7. ^ フライバーガー、マリアンヌ（2009年9月24日）「ケルビンのバブルが再び破裂」、プラスマガジン、ケンブリッジ大学、 2017年7月4日閲覧。
  8. ^ Oudet, Édouard (2011)、「Γ収束による最小周長の分割の近似：ケルビン予想の周辺」、実験数学、20 (3): 260– 270、doi :10.1080/10586458.2011.565233、MR  2836251、S2CID  2945749
  9. ^ モーガン、フランク（2009年）「第14章 二重バブル予想の証明」『幾何学測度論：初心者ガイド』（第4版）、アカデミック・プレス。
  10. ^ コンウェイ、ジョン・H.、バーギエル、ハイディ、グッドマン＝ストラウス、チャイム（2008年）「アイルランドのバブルを理解する」『物事の対称性』 、マサチューセッツ州ウェルズリー：AKピーターズ、351ページ、ISBN 978-1-56881-220-5、MR  2410150
  11. ^ ab ポーリング、ライナス（1960年）、化学結合の性質（第3版）、コーネル大学出版局、p.471
  12. ^ Gabbrielli, R.; Meagher, AJ; Weaire, D.; Brakke, KA; Hutzler, S. (2012)「単分散液体泡におけるWeaire-Phelan構造の実験的実現」（PDF）Phil. Mag. Lett.、92 (1): 1– 6、Bibcode :2012PMagL..92....1G、doi :10.1080/09500839.2011.645898、S2CID  25427974。
  13. ^ ボール、フィリップ（2011）「科学者が『完璧な』泡を作る：理論上の低エネルギー泡が現実のものとなる」ネイチャー、doi：10.1038/nature.2011.9504、S2CID  136626668。
  14. ^ Frank, FC; Kasper, JS (1958)、「球状充填物とみなされる複雑な合金構造。I. 定義と基本原理」（PDF）、Acta Crystallogr.、11 (3): 184– 190、Bibcode :1958AcCry..11..184F、doi : 10.1107/s0365110x58000487Frank , FC; Kasper, JS (1959)、「球状充填物とみなされる複雑な合金構造。II. 代表的構造の分析と分類」、Acta Crystallogr.、12 (7): 483– 499、Bibcode :1959AcCry..12..483F、doi : 10.1107/s0365110x59001499。
  15. ^ カスパー、JS;ハーゲンミュラー、P.プーチャード、M. Cros, C. (1965 年 12 月)、「シリコン Na 8 Si 46および Na x Si 136 (x < 11)のクラスレート構造」、 Science、150 (3704): 1713–1714、Bibcode :1965Sci...150.1713K、doi :10.1126/science.150.3704.1713、PMID  17768869、S2CID  21291705
  16. ^ クロス、クリスチャン;プーシャール、ミシェル。 Hagenmuller、Paul (1970 年 12 月)、「Sur une nouvelle famille de clathrates minéraux isotypes des 水和物と液状体、interprétation des résultats obtenus」、Journal of Solid State Chemistry、2 (4): 570–581、Bibcode :1970JSSCh...2..570C、土井:10.1016/0022-4596(70)90053-8
  17. ^ ファウンテン、ヘンリー（2008年8月5日）「泡の問題がオリンピックのデザインを形作る」ニューヨーク・タイムズ
  • ウィア・フェラン、ケルビン、P42a構造の3Dモデル
  • ウィア・フェラン泡のページには、イラストと、印刷してモデルを作るための「ネット」が無料でダウンロードできます。
  • 「ウィア・フェラン・スマート・モジュラー宇宙居住地」、アレクサンドル・ピンテア、2017年、NASAエイムズ宇宙居住地コンテスト個人最優秀賞：
「https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Weaire–Phelan_structure&oldid=1320412267#History_and_the_Kelvin_problem」より取得