キーパート円錐曲線

三角形幾何学において、キーペルト円錐曲線は、基準三角形に関連付けられた2つの特別な円錐曲線です。1つは双曲線で、キーペルト双曲線と呼ばれ、もう1つは放物線で、キーペルト放物線と呼ばれます。キーペルト円錐曲線は以下のように定義されます。

三角形の辺を底辺として構成される3つの三角形、、 が相似で、二等辺三角形であり、相似な位置にある場合、三角形と は透視図で描かれます。二等辺三角形の底角は と の間で変化するため、三角形と の透視図の中心の軌跡はキーパート双曲線と 呼ばれる双曲線となり、透視図の軸の包絡線はキーパート放物線と呼ばれる放物線となります。${\displaystyle A^{\prime }BC}$ ${\displaystyle AB^{\prime }C}$ ${\displaystyle ABC^{\prime}}$ ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle A^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }}$ ${\displaystyle -\pi /2}$ ${\displaystyle \pi /2}$ ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle A^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }}$

キーペルト双曲線は基準三角形の頂点、重心、垂心を通る双曲線であり、キーペルト放物線はオイラー線を準線、三角形の中心X _110を焦点とする基準三角形に内接する放物線であることが証明されている。^[1] RH EddyとR. Fritschの論文からの次の引用は、三角形幾何学の研究におけるキーペルト円錐曲線の重要性を証明するのに十分な証拠である。[ ^2]

もし火星からの訪問者が三角形の幾何学を学びたいと望んでいるものの、地球の比較的密度の高い大気圏に滞在できるのはたった一度のレッスンのためだけだとしたら、地球上の数学者たちは間違いなくこの要求に応えるのに苦労するだろう。本論文では、この問題に対する最適な解決策を提示できると考えている。キーパート円錐曲線は…

キーパート双曲線

キーペルト双曲線は、1868年にエミール・ルモワーヌが提唱した「辺上に構築された正三角形の頂点が与えられた場合に、三角形を作図せよ」という問題の解を研究していたルートヴィヒ・キーペルトによって発見されました。この問題の解は1869年にルートヴィヒ・キーペルトによって発表され、その解には、前述のキーペルト双曲線の軌跡定義を効果的に述べた記述が含まれていました。^[2]

基本的な事実

基準三角形の辺の長さを 、頂点の角をとします。 ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle A,B,C}$ ${\displaystyle ABC}$

方程式

重心座標におけるキーパート双曲線の方程式は ${\displaystyle x:y:z}$

${\displaystyle {\frac {b^{2}-c^{2}}{x}}+{\frac {c^{2}-a^{2}}{y}}+{\frac {a^{2}-b^{2}}{z}}=0.}$

中心、漸近線

• キーパート双曲線の中心は三角形の中心X(115)である。中心の重心座標は

${\displaystyle (b^{2}-c^{2})^{2}:(c^{2}-a^{2})^{2}:(a^{2}-b^{2})^{2}}$ 。

• キーパート双曲線の漸近線は、ブロカール軸と外接円の交点のシムソン線です。
• キーパート双曲線は長方形双曲線なので、離心率は です。${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

プロパティ

1. キーパート双曲線の中心は、9点円上にあります。この中心は、三角形の等角中心（三角形の中心百科事典では三角形の中心X(13)とX(14)）を結ぶ線分の中点です。${\displaystyle ABC}$
2. 等角変換によるキーパート双曲線の像は三角形のブロカール軸、つまり対称点と外心を結ぶ線です。${\displaystyle ABC}$
3. を非正三角形の平面上の点とし、をに関するの三線極とする。のオイラー直線に垂直な点の軌跡は、キーパート双曲線である。${\displaystyle P}$ ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle ABC}$

キーパート放物線

キーペルトの放物線は、1888年にドイツの数学教師アウグストゥス・アルツトによって「学校プログラム」の中で初めて研究されました。^{[2] [3]}

基本的な事実

• 重心座標におけるキーパート放物線の方程式は${\displaystyle x:y:z}$

${\displaystyle f^{2}x^{2}+g^{2}y^{2}+h^{2}z^{2}-2fgxy-2ghyz-2hfzx=0}$
どこ。
${\displaystyle f=(b^{2}-c^{2})/a,g=(c^{2}-a^{2})/b,h=(a^{2}-b^{2})/c}$

• キーパート放物線の焦点は三角形の中心X(110)である。焦点の重心座標は

${\displaystyle a^{2}/(b^{2}-c^{2}):b^{2}/(c^{2}-a^{2}):c^{2}/(a^{2}-b^{2})}$

• キーパート放物線の準線は三角形のオイラー線です。${\displaystyle ABC}$

画像

• 
  三角形 ABC と A'B'C' の遠近法の中心を示す Kiepert 双曲線
• 
  垂心、内心、および垂直漸近線を示すキーパート双曲線
• 
  三角形ABCの​​キーパート放物線。図には、キーパート放物線を包絡線とする直線族の1つ（直線LMN）も示されている。
• 
  焦点と準線を示すキーパート放物線

参照

• 三角形の円錐
• 現代の三角形の幾何学

外部リンク

• ワイススタイン、エリック・W.「キーパート双曲線」。MathWorld - Wolfram Webリソース。 2022年2月5日閲覧。
• Weisstein, Eric W. 「Kiepert Parabola」. MathWorld - Wolfram Web Resource . 2022年2月5日閲覧。

参考文献

1. Kimberling, C. 「X(110)=キーパート放物線の焦点」.三角形の中心百科事典. 2022年2月4日閲覧。
2. Eddy, RH; Fritsch, R. (1994). 「ルートヴィヒ・キーペルトの円錐曲線：三角形の幾何学の包括的レッスン」. Math. Mag . 67 (3): 188– 205. doi :10.1080/0025570X.1994.11996212.
3. シャープ、J. (2015)。 「アルツトの三角形の放物線」。数学官報。99 (546): 444–463。土井:10.1017/mag.2015.81。S2CID  123814409。