コーンワインダー多項式

数学において、マクドナルド・コーンワインダー多項式（コーンワインダー多項式とも呼ばれる）は、コーンワインダー[1]とI.G. マクドナルド[2]によって導入された、多変数の直交多項式の族であり、アスキー・ウィルソン多項式を一般化したものである。これらは、（C∨
n, C n ) を満たし、特にマクドナルド予想の類似物を満たします。[3]さらに、Jan Felipe van Diejen は、任意の古典ルート系に関連付けられたマクドナルド多項式がマクドナルド-コーンワインダー多項式の極限または特殊ケースとして表現できることを示し、それらによって対角化された具体的な可換差分演算子の完全なセットを見つけました。[4]さらに、マクドナルド-コーンワインダー多項式の退化したケースである古典ルート系に関連付けられた多変数直交多項式の興味深い族の大きなクラスがあります。[5]マクドナルド-コーンワインダー多項式は、アフィンヘッケ代数の助けを借りて研究されてきました。[6]

分割λに関連付けられたn変数のマクドナルド・コーンワインダー多項式は、変数の置換と反転に対して唯一のローラン多項式不変量であり、主導単項式 x λを持ち、密度に関して直交する。

∏ 1 ≤ 私 < j ≤ n （ × 私 × j 、 × 私 / × j 、 × j / × 私 、 1 / × 私 × j ; q ） ∞ （ t × 私 × j 、 t × 私 / × j 、 t × j / × 私 、 t / × 私 × j ; q ） ∞ ∏ 1 ≤ 私 ≤ n （ × 私 2 、 1 / × 私 2 ; q ） ∞ （ 1つの × 私 、 1つの / × 私 、 b × 私 、 b / × 私 、 c × 私 、 c / × 私 、 d × 私 、 d / × 私 ; q ） ∞ {\displaystyle \prod _{1\leq i<j\leq n}{\frac {(x_{i}x_{j},x_{i}/x_{j},x_{j}/x_{i},1/x_{i}x_{j};q)_{\infty }}{(tx_{i}x_{j},tx_{i}/x_{j},tx_{j}/x_{i},t/x_{i}x_{j};q)_{\infty }}}\prod _{1\leq i\leq n}{\frac {(x_{i}^{2},1/x_{i}^{2};q)_{\infty }}{(ax_{i},a/x_{i},bx_{i},b/x_{i},cx_{i},c/x_{i},dx_{i},d/x_{i};q)_{\infty }}}}

単位トーラス上

| × 1 | ＝ | × 2 | ＝ ⋯ | × n | ＝ 1 {\displaystyle |x_{1}|=|x_{2}|=\cdots |x_{n}|=1} 、

ここでパラメータは制約を満たす

| 1つの | 、 | b | 、 | c | 、 | d | 、 | q | 、 | t | < 1 、 {\displaystyle |a|,|b|,|c|,|d|,|q|,|t|<1,}

また、 ( x ; q ) ∞ は無限q-ポッホハンマー記号を表します。ここで、主単項式x λ は、係数がゼロでないすべての項 x μについて μ≤λ が成り立つことを意味します。ただし、 μ≤λ は、 μ 1 ≤λ 1、 μ 1 +μ 2 ≤λ 1 +λ 2、…、 μ 1 +…+μ n ≤λ 1 +…+λ nの場合に限ります。q と t が実数であり、 a 、 b 、 c 、 d が実数であるか、複素数の場合は共役対になるというさらなる制約の下では、与えられた密度は正になります。

引用

  1. ^ コーンワインダー 1992.
  2. ^ Macdonald 1987、重要な特殊なケース[全文引用が必要]
  3. ^ ファン・ディージェン 1996;サヒ 1999;マクドナルド、2003 年、第 5.3 章。
  4. ^ ヴァン・ディージェン 1995.
  5. ^ ヴァン・ディージェン 1999.
  6. ^ 能見 1995;サヒ 1999;マクドナルド2003年。

参考文献

  • Koornwinder, Tom H. (1992)、「BC型ルートシステムのAskey-Wilson多項式」、Contemporary Mathematics、138 : 189– 204、doi :10.1090/conm/138/1199128、MR  1199128、S2CID  14028685
  • van Diejen, Jan F. (1996), 「自己双対Koornwinder-Macdonald多項式」, Inventiones Mathematicae , 126 (2): 319– 339, arXiv : q-alg/9507033 , Bibcode :1996InMat.126..319V, doi :10.1007/s002220050102, MR  1411136, S2CID  17405644
  • Sahi, S. (1999)、「非対称Koornwinder多項式と双対性」、Annals of Mathematics、第2シリーズ、150 (1): 267– 282、arXiv : q-alg/9710032、doi :10.2307/121102、JSTOR  121102、MR  1715325、S2CID  8958999
  • van Diejen, Jan F. (1995), 「多項式固有関数による差の可換演算子」, Compositio Mathematica , 95 : 183– 233, arXiv : funct-an/9306002 , MR  1313873
  • van Diejen, Jan F. (1999), 「多変数超幾何直交多項式のいくつかの族の特性」, Trans. Amer. Math. Soc. , 351 : 233– 70, arXiv : q-alg/9604004 , doi : 10.1090/S0002-9947-99-02000-0 , MR  1433128, S2CID  16214156
  • 能見 正之 (1995)、「マクドナルド・コーンワインダー多項式とアフィン・ヘッケ環」、超幾何関数の諸相、数理計算研究所講究録、第919巻、pp.  44– 55、MR  1388325
  • マクドナルド、IG（2003）、アフィン・ヘッケ代数と直交多項式、ケンブリッジ数学論文集、第157巻、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、pp. x+175、ISBN 978-0-521-82472-9、MR  1976581
  • ストックマン、ジャスパー V. (2004)、「Koornwinder多項式に関する講義ノート」、Laredo Lectures on Orthogonal Polynomials and Special Functions、Adv. Theory Spec. Funct. Orthogonal Polynomials、ニューヨーク州ホーポージ：Nova Science Publishers、pp.  145– 207、MR  2085855
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