クロン削減

電力工学において、クロン削減法はガウス消去法のように手順を繰り返すことなく目的のノードを削減または削除するために使用される方法です。[1]

アメリカの電気技師、 ガブリエル・クロンにちなんで名付けられました。

説明

クロン縮約は、 Yパラメータ行列内の未使用ノードを削除するのに便利なツールです。[2] [3]例えば、両端にポートを持つ直列に接続された3つの線形要素は、Yパラメータの4×4ノードアドミタンス行列として簡単にモデル化できますが、通常、モデリングとシミュレーションでは2つのポートノードのみを考慮する必要があります。クロン縮約は内部ノードを削除するために使用でき、これにより4次Yパラメータ行列が2次Yパラメータ行列に縮約されます。この2次Yパラメータ行列は、必要に応じてZパラメータ行列またはSパラメータ行列に簡単に変換できます。

行列演算

2 つの内部ノードが存在するように構築された線形要素の組み合わせから作成される一般的な Y パラメータ マトリックスを考えます。

Y 4 X 4 = [ Y 1 1 Y 1 2 Y 1 3 Y 1 4 Y 2 1 Y 2 2 Y 2 3 Y 2 4 Y 3 1 Y 3 2 Y 3 3 Y 3 4 Y 4 1 Y 4 2 Y 4 3 Y 4 4 ] {\displaystyle Y{_{4}}{_{X}}{_{4}}={\begin{bmatrix}Y{_{1}}{_{1}}&Y{_{1}}{_{2}}&Y{_{1}}{_{3}}&Y{_{1}}{_{4}}\\Y{_{2}}{_{1}}&Y{_{2}}{_{2}}&Y{_{2}}{_{3}}&Y{_{2}}{_{4}}\\Y{_{3}}{_{1}}&Y{_{3}}{_{2}}&Y{_{3}}{_{3}}&Y{_{3}}{_{4}}\\Y{_{4}}{_{1}}&Y{_{4}}{_{2}}&Y{_{4}}{_{3}}&Y{_{4}}{_{4}}\\\end{bmatrix}}}

シミュレーションで 4X4 マトリックスを使用したり、4X4 S パラメータ マトリックスを作成したりすることも可能ですが、Kron 削減によって 2 つの内部ノードを削除して Y パラメータ マトリックスを 2X2 に削減し、その後 2X2 マトリックスでシミュレーションしたり、2X2 S パラメータ マトリックスまたは Z パラメータ マトリックスに変換したりする方が簡単な場合があります。

Y ′ 2 X 2 = [ Y ′ 1 1 Y ′ 1 2 Y ′ 2 1 Y ′ 2 2 ] W h e r e   Y ′   i s   t h e   K r o n   R e d u c e d   M a t r i x {\displaystyle Y'{_{2}}{_{X}}{_{2}}={\begin{bmatrix}Y'{_{1}}{_{1}}&Y'{_{1}}{_{2}}\\Y'{_{2}}{_{1}}&Y'{_{2}}{_{2}}\end{bmatrix}}\qquad \mathrm {Where\ Y'\ is\ the\ Kron\ Reduced\ Matrix} }

クロン還元を実行するプロセスは次のとおりです。[4]

不要な内部ノードをモデル化するために使用したK行目/列を選択します。以下の式を、K行目とK列目に存在しない他のすべての行列要素に適用します。その後、行列のK行目とK列目を削除するだけで、行列のサイズが1つ小さくなります。

NxN行列のK行/列のKron縮約:

∑ i = 1 N ∑ j = 1 N Y ′ i j = Y i j − Y i k Y j k Y k k , f o r   i ≠ k , , j ≠ k W h e r e   Y ′   i s   T h e   R e p l a c e m e n t   M a t r i x   E n t r y {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}Y'{_{i}}{_{j}}=Y{_{i}}{_{j}}-{\frac {Y{_{i}}{_{k}}Y{_{j}}{_{k}}}{Y{_{k}}{_{k}}}},&\qquad for\ i\neq k,,j\neq k\\&\qquad \mathrm {Where\ Y'\ is\ The\ Replacement\ Matrix\ Entry} \\\end{aligned}}}

受動的な線形要素は常に対称なYパラメータ行列を形成します。つまり、すべての場合において対称行列となります。この対称性を利用することで、以下の式に示すように、Kron縮約の計算回数を削減できます。 Y i j = Y j i {\displaystyle Y{_{i}}{_{j}}=Y{_{j}}{_{i}}}

対称NxN行列のクロン縮約:

∑ i = 1 N ∑ j = i N Y ′ i j = Y i j − Y i k Y j k Y k k , f o r   i ≠ k , j ≠ k Y j i = Y i j , f o r   i ≠ j {\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=i}^{N}Y'{_{i}}{_{j}}=Y{_{i}}{_{j}}-{\frac {Y{_{i}}{_{k}}Y{_{j}}{_{k}}}{Y{_{k}}{_{k}}}},\qquad for\ i\neq k,j\neq k\\&Y{_{j}}{_{i}}=Y{_{i}}{_{j}},\qquad for\ i\neq j\\\end{aligned}}}

クロン縮約方程式によってすべての行列要素が変更されると、K番目の行/列が削除され、行列の次数が1つ減少します。削除したいすべての内部ノードについてこれを繰り返します。

簡略化された理論と導出

Kron縮約の概念は非常にシンプルです。Yパラメータは接地されたノードを用いて測定されますが、未使用ノード、つまりポートを持たないノードは必ずしも接地されているわけではなく、その状態は外部に直接通知されません。したがって、完全なネットワークのYパラメータ行列は、モデル化対象のネットワークのYパラメータを適切に記述せず、ポートを持たないノードが存在する場合、不要なエントリが含まれます。

等しい値の集中素子2つ、例えば抵抗値が等しい2つの抵抗器が直列に接続されている場合を考えてみましょう。両方の抵抗器のアドミタンスが で、直列ネットワークのアドミタンスが だとします。標準的なYパラメータ行列構築手法を用いると、ネットワーク内の3つのノードすべてを考慮した完全なアドミタンス行列は以下のようになります。 Y R {\textstyle Y_{R}} Y R / 2 {\textstyle Y_{R}/2}

Y F U L L = [ 0 − Y R Y R − Y R 2 Y R − Y R Y R − Y R 0 ] {\displaystyle Y_{FULL}={\begin{bmatrix}0&-Y_{R}&Y_{R}\\-Y_{R}&2Y_{R}&-Y_{R}\\Y_{R}&-Y_{R}&0\end{bmatrix}}}

しかし、直列に接続された2つの抵抗器（それぞれに割り当てられたアドミタンスY）の正味アドミタンスは であり、抵抗器は接地に電流を漏らさないため、ネットワークY12はYR11と等しく、かつ逆位相であること、つまりYR12 = -YR11であることが容易に分かります。中間ノードのない2ポートネットワークは、検査によって作成でき、以下に示すようになります。 Y R / 2 {\textstyle Y_{R}/2}

Y P O R T S = [ − Y R / 2 Y R / 2 Y R / 2 − Y R / 2 ] {\displaystyle Y_{PORTS}={\begin{bmatrix}-Y_{R}/2&Y_{R}/2\\Y_{R}/2&-Y_{R}/2\end{bmatrix}}}

行列の 2 行目と 2 列目を削除する必要があるため、2 行目と 2 列目を除いた行列を書き直すことができます。この書き直された行列を と呼びます。 Y F U L L {\textstyle Y_{FULL}} Y F U L L {\textstyle Y_{FULL}} Y F U L L ′ {\textstyle Y'_{FULL}}

Y F U L L ′ = [ 0 Y R Y R 0 ] {\displaystyle Y'_{FULL}={\begin{bmatrix}0&Y_{R}\\Y_{R}&0\end{bmatrix}}}

これで、 の各エントリをの対応するエントリに変換する方程式を見つけることにより、変換方程式を作成するための基礎が得られました。 Y F U L L ′ {\textstyle Y'_{FULL}} Y P O R T S {\textstyle Y_{PORTS}}

[ 0 ⇒ − Y R / 2 Y R ⇒ Y R / 2 Y R ⇒ Y R / 2 0 ⇒ − Y R / 2 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}0\Rightarrow -Y_{R}/2&Y_{R}\Rightarrow Y_{R}/2\\Y_{R}\Rightarrow Y_{R}/2&0\Rightarrow -Y_{R}/2\end{bmatrix}}}

4つの要素それぞれについて、矢印の左側の値からを引くことで、 が変換されることがわかります。は と同一である ため、 の各ケースは一般的な変換方程式に示されている条件を満たします 。 Y R / 2 {\displaystyle Y_{R}/2} Y R / 2 {\displaystyle Y_{R}/2} Y R 2 / ( 2 Y R ) {\displaystyle {Y_{R}}^{2}/(2Y_{R})} Y F U L L ′ {\textstyle Y'_{FULL}} Y i j ′ = Y i j − Y i j Y j i / Y k k {\displaystyle Y'_{ij}=Y_{ij}-Y_{ij}Y_{ji}/Y_{kk}}

任意のアドミタンス（など）の要素や任意のサイズのネットワークにも同じ手順を適用できますが、代数はより複雑になります。重要なのは、元の行列要素を縮約された行列要素に変換する式を推論または計算することです。 Y 11 ≠ − Y 12 , Y i j ≠ Y j i {\displaystyle Y_{11}\neq -Y_{12},Y_{ij}\neq Y_{ji}}

参照

参考文献

  1. ^ Caliskan, Sina Yamac; Tabuada, Paulo (2014). 「一般化電気回路網のKron縮約に向けて」. Automatica . 50 (10): 2586– 2590. doi :10.1016/j.automatica.2014.08.017.
  2. ^ 「電力システム解析の要素」（PDF）。
  3. ^ Granger、Stevenson、John、William (1994). Power System Analysis (Tata ed.). シンガポール: McGraw-Hill. pp.  271– 274. ISBN 0-07-113338-0。
  4. ^ 「電力システム解析」. archive.nptel.ac.in . 2025年4月9日閲覧。


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