クロネッカー極限公式

数学において、古典クロネッカー極限公式（クラシカルクロネッカーきょうげんていひょうほう）は、実解析アイゼンシュタイン級数（またはエプシュタインゼータ関数）のs = 1における定数項をデデキント・エータ関数を用いて記述する公式である。この公式は、より複雑なアイゼンシュタイン級数への一般化が数多く存在する。この公式はレオポルド・クロネッカーにちなんで名付けられている。

第一クロネッカー極限公式

（最初の）クロネッカー極限公式は、

${\displaystyle E(\tau ,s)={\pi \over s-1}+2\pi (\gamma -\log(2)-\log({\sqrt {y}}|\eta (\tau )|^{2}))+O(s-1),}$

どこ

• E (τ, s ) は実解析アイゼンシュタイン級数であり、次式で与えられる。

${\displaystyle E(\tau ,s)=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{y^{s} \over |m\tau +n|^{2s}}}$

Re( s )>1の場合には、また複素数 sの他の値に対しては解析接続により成立する。

• γ はオイラー・マスケローニ定数です
• τ = x + iy、ただしy > 0 です。
• ${\displaystyle \eta (\tau )=q^{1/24}\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})}$ q = e ^{2π i τ}はデデキントのイータ関数です。

したがって、アイゼンシュタイン級数は留数 π のs = 1に極を持ち、(最初の)クロネッカー極限の式は、この極における ローラン級数の定数項を与えます。

この式は、格子 に関連付けられた楕円曲線のスペクトル幾何学の観点から解釈できる。すなわち、上の平坦計量に関連付けられたラプラス作用素のゼータ正規化行列式は で与えられるということである。この式は、弦理論においてポリャコフの摂動論的アプローチ における1ループ計算に用いられてきた。${\displaystyle E_{\tau}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} +\mathbb {Z} \tau }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle {\frac {1}{y}}|dz|^{2}}$ ${\displaystyle E_{\tau}}$ ${\displaystyle 4y|\eta (\tau )|^{4}}$

第 2 クロネッカー限界公式

第二クロネッカー極限公式は、

${\displaystyle E_{u,v}(\tau ,1)=-2\pi \log |f(uv\tau ;\tau )q^{v^{2}/2}|,}$

どこ

• uとvは実数であり、両方とも整数ではありません。
• q = e ^{2π i τ}かつq ^a = e ^{2π i a τ}
• p = e ^{2π i z}かつp ^a = e ^{2π i az}
• ${\displaystyle E_{u,v}(\tau ,s)=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}e^{2\pi i(mu+nv)}{y^{s} \over |m\tau +n|^{2s}}}$

Re( s )>1に対しては、複素数sの他の値に対しては解析接続によって定義されます。

• ${\displaystyle f(z,\tau )=q^{1/12}(p^{1/2}-p^{-1/2})\prod _{n\geq 1}(1-q^{n}p)(1-q^{n}/p)。}$

参照

• ヘルグロッツ・ザギエ関数

参考文献

• セルジュ・ラング『楕円関数』ISBN 0-387-96508-4
• CL Siegel、「上級解析数論に関する講義」、タタ研究所、1961 年。