クンマーの定理

数学において、クンマーの定理は、与えられた二項係数を割り切る素数 pの最大のべき乗の指数を求める公式です。言い換えれば、二項係数のp進値を与えます。この定理は、1852年に証明した エルンスト・クンマーにちなんで名付けられました（Kummer 1852）。

声明

クンマーの定理は、与えられた整数 n  ≥  m  ≥ 0 と素数pに対して、二項係数のp進値は、 pを底とするn  −  mにmを加えたときの繰り上がりの数に等しいことを述べています ${\displaystyle \nu _{p}\!{\tbinom {n}{m}}}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{m}}}$  

この定理の同等な構成は次のようになります。

整数の基数展開を と書き、 を基数の桁の和と定義する。すると ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=n_{0}+n_{1}p+n_{2}p^{2}+\cdots +n_{r}p^{r}}$ ${\displaystyle S_{p}(n):=n_{0}+n_{1}+\cdots +n_{r}}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \nu _{p}\!{\binom {n}{m}}={\dfrac {S_{p}(m)+S_{p}(n-m)-S_{p}(n)}{p-1}}.}$

この定理は、ルジャンドルの公式を用いて と書き表すことで証明できる。^[1]${\displaystyle {\tbinom {n}{m}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {n!}{m!(n-m)!}}}$

例

二項係数を2で割って2の最大の累乗を計算するには、基数p = 2でm = 3、 n − m = 7を3 = 11 _2、7 = 111 ₂と書きます。基数2で11 ₂ + 111 ₂ = 1010 ₂の加算を実行するには、3回の繰り上がりが必要です ${\displaystyle {\tbinom {10}{3}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}&_{1}&_{1}&_{1}\\&&&1&1\,_{2}\\+&&1&1&1\,_{2}\\\hline &1&0&1&0\,_{2}\end{array}}}$

したがって、2 を割り切れる最大の累乗は 3 です。 ${\displaystyle {\tbinom {10}{3}}=120=2^{3}\cdot 15}$

あるいは、桁の和を含む形式を使うこともできます。2進法における3、7、10の桁の和はそれぞれ、、、です。そして ${\displaystyle S_{2}(3)=1+1=2}$ ${\displaystyle S_{2}(7)=1+1+1=3}$ ${\displaystyle S_{2}(10)=1+0+1+0=2}$

${\displaystyle \nu _{2}\!{\binom {10}{3}}={\dfrac {S_{2}(3)+S_{2}(7)-S_{2}(10)}{2-1}}={\dfrac {2+3-2}{2-1}}=3.}$

多項式係数の一般化

クンマーの定理は、次のように 多項式係数に一般化できます ${\displaystyle {\tbinom {n}{m_{1},\ldots ,m_{k}}}={\tfrac {n!}{m_{1}!\cdots m_{k}!}}}$

${\displaystyle \nu _{p}\!{\binom {n}{m_{1},\ldots ,m_{k}}}={\dfrac {1}{p-1}}\left(\left(\sum _{i=1}^{k}S_{p}(m_{i})\right)-S_{p}(n)\right).}$

参照

• ルーカスの定理

参考文献

1. Mihet, Dorel (2010年12月). 「ルジャンドルとクンマーの定理再び」 . Resonance . 15 (12): 1111– 1121. doi :10.1007/s12045-010-0123-4

• クンマー、エルンスト (1852)。 「Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reciprocitätsgesetzen」。数学に関するジャーナル。1852 (44): 93–146 . doi :10.1515/crll.1852.44.93。
• PlanetMathにおける Kummer の定理。