レヴィ過程

確率論において、フランスの数学者ポール・レヴィにちなんで名付けられたレヴィ過程は、独立した定常増分を持つ確率過程である。これは、連続する変位がランダム な点の運動を表し、互いに素な時間間隔における変位は独立であり、同じ長さの異なる時間間隔における変位は同一の確率分布を持つ。したがって、レヴィ過程はランダムウォークの連続時間版と見なすことができる。

レヴィ過程の最もよく知られた例は 、ウィーナー過程（しばしばブラウン運動過程と呼ばれる）とポアソン過程である。さらに重要な例としては、ガンマ過程、パスカル過程、メイクスナー過程などが挙げられる。ドリフトを伴うブラウン運動を除く、他のすべての固有（つまり決定論的ではない）レヴィ過程は不連続経路を持つ^[要出典]。すべてのレヴィ過程は加法過程である^[1]。

数学的な定義

レヴィ過程は、次の特性を満たす 確率過程です。 ${\displaystyle X=\{X_{t}:t\geq 0\}}$

1. ${\displaystyle X_{0}=0\,}$ ほぼ確実に;
2. 増分の独立性:任意の に対して、は相互に独立しています。${\displaystyle 0\leq t_{1} <t_{2} <\cdots <t_{n} <\infty }$ ${\displaystyle X_{t_{2}}-X_{t_{1}},X_{t_{3}}-X_{t_{2}},\dots ,X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}}}$
3. 定常増分：任意の に対して、は分布において等しい${\displaystyle s<t\,}$ ${\displaystyle X_{t}-X_{s}\,}$ ${\displaystyle X_{ts};\,}$
4. 確率の連続性：任意のと、${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}P(|X_{t+h}-X_{t}|>\varepsilon)=0.}$

がレヴィ過程である場合、がほぼ確実に右連続で左極限 を持つようなのバージョンを構築できます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t\mapsto X_{t}}$

プロパティ

独立した増分

連続時間確率過程は、確率変数 X _{t を}時間における各点t ≥ 0 に割り当てます。実質的には、これはtのランダム関数です。このような過程の増分は、異なる時間t < sにおける値の差X _s − X _tです。過程の増分が独立であると言うことは、2つの時間間隔が重ならない場合は常に増分X _s − X _tとX _u − X _vが独立した確率変数であり、より一般的には、重なり合わない2つの時間間隔に割り当てられた有限個の増分は相互に（2つだけではなく）独立であることを意味します。

定常増分

増分が定常であると言うことは、任意の増分X _t − X _sの確率分布が時間間隔の長さt  −  sのみに依存することを意味します。つまり、同じ長さの時間間隔の増分は同じように分布します。

がウィーナー過程である場合、 X _t  −  X _sの確率分布は、期待値が0で分散がt  −  s の正規分布になります。 ${\displaystyle X}$

がポアソン過程である場合、 X _t  −  X _sの確率分布は期待値 λ( t  −  s ) を持つポアソン分布です。ここで、λ > 0 は過程の「強度」または「速度」です。 ${\displaystyle X}$

がコーシー過程である場合、 X _t  −  X _sの確率分布は密度のコーシー分布です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x;t)={1 \over \pi }\left[{\gamma \over x^{2}+\gamma ^{2}}\right]}$ ${\displaystyle \gamma =ts}$

無限に割り切れる

レヴィ過程の分布は、無限に割り切れるという性質があります。つまり、任意の整数nが与えられると、時刻 t におけるレヴィ過程の法則は、長さt / nの時間間隔にわたるレヴィ過程の増分とまったく同じ、独立かつ仮定 2 および 3 により同一に分布するn 個の独立したランダム変数の合計の法則として表すことができます。逆に、無限に割り切れる確率分布 ごとに、の法則がで与えられるようなレヴィ過程が存在します。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle F}$

瞬間

有限モーメントを持つ任意のレヴィ過程において、n番目のモーメントはtの多項式関数です。これらの関数は二項式の恒等式を満たします。 ${\displaystyle \mu_{n}(t)=E(X_{t}^{n})}$

${\displaystyle \mu _{n}(t+s)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\mu _{k}(t)\mu _{nk}(s).}$

レヴィ・ヒンチン表現

レヴィ過程の分布はその特性関数によって特徴付けられ、これはレヴィ・ヒンチンの公式（すべての無限に割り切れる分布に対して一般）によって与えられる：^[2]

がレヴィ過程である場合、その特性関数は次のように与えられる。 ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle \varphi _{X}(\theta )}$

${\displaystyle \varphi_{X}(\theta)(t):=\mathbb{E}\left[e^{i\theta X(t)}\right]=\exp{\left(t\left(ai\theta -{\frac{1}{2}}\sigma^{2}\theta^{2}+\int_{\mathbb{R}\setminus\{0\}}{\left(e^{i\theta x}-1-i\theta x\mathbf{1}_{|x|<1}\right)\,\Pi(dx)}\right)\right)}}$

ここで、、、は、 のレヴィ測度と呼ばれるσ有限測度であり、次の性質を満たす。 ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \sigma \geq 0}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} \setminus \{0\}}{\min(1,x^{2})\,\Pi (dx)\infty .}$

上記において、は指示関数である。特性関数はその基礎となる確率分布を一意に決定するため、各レヴィ過程は「レヴィ・ヒンチン三重項」 によって一意に決定される。この三重項の項は、レヴィ過程が3つの独立した要素、すなわち線形ドリフト、ブラウン運動、そして後述するレヴィジャンプ過程 を持つとみなせることを示唆している。このことから、唯一の（非決定論的）連続レヴィ過程はドリフトを伴うブラウン運動であることが直ちに分かる。同様に、すべてのレヴィ過程はセミマルチンゲールである。^[3]${\displaystyle \mathbf {1} }$ ${\displaystyle (a,\sigma ^{2},\Pi )}$

レヴィ・伊藤分解

独立確率変数の特性関数は乗算されるため、レヴィ＝ヒンチン定理によれば、すべてのレヴィ過程はドリフトを伴うブラウン運動と、別の独立確率変数であるレヴィジャンプ過程の和である。レヴィ＝伊藤分解は、後者を独立ポアソン確率変数の（確率的）和として記述する。

を に制限し、確率測度に正規化するとします。同様に、 とします（ただし、再スケールは行いません）。すると、 ${\displaystyle \nu ={\frac {\Pi |_{\mathbb {R} \setminus (-1,1)}}{\Pi (\mathbb {R} \setminus (-1,1))}}}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus (-1,1)}$ ${\displaystyle \mu =\Pi |_{(-1,1)\setminus \{0\}}}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} \setminus \{0\}}{\left(e^{i\theta x}-1-i\theta x\mathbf {1} _{|x|<1}\right)\,\Pi (dx)}=\Pi (\mathbb {R} \setminus (-1,1))\int _{\mathbb {R} }{(e^{i\theta x}-1)\,\nu (dx)}+\int _{\mathbb {R} }{(e^{i\theta x}-1-i\theta x)\,\mu (dx)}.}$

前者は、強度分布と子分布を持つ複合ポアソン過程の特性関数である。後者は、補償された一般化ポアソン過程（CGPP）の特性関数である。CGPPとは、 の区間ごとに可算数のジャンプ不連続性を持つが、それらの不連続性の絶対値は 未満である過程である。ならば、CGPPは純粋なジャンプ過程である。^{[4] [5]}したがって、過程の観点からは、次のように 分解することができる。${\displaystyle \Pi (\mathbb {R} \setminus (-1,1))}$ ${\displaystyle \nu}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }{|x|\,\mu (dx)\infty }$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X_{t}=\sigma B_{t}+at+Y_{t}+Z_{t},t\geq 0,}$

ここで、 は絶対値よりも大きいジャンプを持つ複合ポアソン過程であり、は前述の補正された一般化ポアソン過程であり、これも平均ゼロのマルチンゲールです。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle Z_{t}}$

一般化

レヴィ確率場はレヴィ過程の多次元一般化である。^{[6] [7]} さらに一般的なのは分解可能過程である。^[8]

参照

• 独立かつ同一分布の確率変数
• ウィーナー過程
• ポアソン過程
• ガンマ過程
• マルコフ過程
• レヴィ飛行
• ジャンプ拡散

参考文献

1. 佐藤健一 (1999).レヴィ過程と無限に割り切れる分布. ケンブリッジ大学出版局. pp.  31– 68. ISBN 9780521553025。
2. Zolotarev, Vladimir M. 「1次元安定分布」第65巻、アメリカ数学会、1986年。
3. Protter PE 「確率積分と微分方程式」 Springer、2005年。
4. Kyprianou, Andreas E. (2014)、「レヴィ・伊藤分解と経路構造」、レヴィ過程の変動とその応用、Universitext、Springer Berlin Heidelberg、pp.  35– 69、doi :10.1007/978-3-642-37632-0_2、ISBN 9783642376313
5. Lawler, Gregory (2014). 「確率微積分：応用入門」(PDF) .シカゴ大学数学部. 2018年3月29日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2018年10月3日閲覧。
6. Wolpert, Robert L.; I​​ckstadt, Katja (1998)、「レヴィ確率場シミュレーション」、実践的ノンパラメトリックおよびセミパラメトリックベイズ統計、統計学講義ノート、Springer、ニューヨーク、doi :10.1007/978-1-4612-1732-9_12、ISBN 978-1-4612-1732-9
7. Wolpert, Robert L. (2016). 「レヴィ確率場」(PDF) .統計科学部 (デューク大学) .
8. フェルドマン、ジェイコブ (1971). 「分解可能過程と確率空間の連続積」.関数解析ジャーナル. 8 (1): 1– 51. doi :10.1016/0022-1236(71)90017-6. ISSN  0022-1236.

• Applebaum, David (2004年12月). 「レヴィ過程 ― 確率から金融と量子群へ」(PDF) .アメリカ数学会報. 51 (11): 1336– 1347. ISSN  1088-9477.
• コント、ラマ、タンコフ、ピーター（2003年）『ジャンププロセスによる財務モデリング』CRCプレス、ISBN 978-1584884132。。
• 佐藤健一（2011）『レヴィ過程と無限に可分な分布』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0521553025。。
• Kyprianou, Andreas E. (2014).レヴィ過程の変動とその応用．入門講義．第2版．Springer．ISBN 978-3642376313。。