ホップリンク

編み込みの長さ	2
編み込みNo.	2
交差点番号	2
双曲体積	0
リンク番号	1
スティック番号	6
解く番号	1
コンウェイ記法	[2]
A-B表記	22 ; 1
シスルウェイト	L2a1
最後 / 次へ	L0 / L4a1
他の
	交互、トーラス、繊維状

最も単純な非自明な結び目リンク

数学的な結び目理論において、ホップリンクは、複数の要素を持つ最も単純な非自明なリンクです。 ^{[1]ホップリンクは、2つの}円がちょうど1つずつリンクされた構造で、^[2]ハインツ・ホップにちなんで名付けられています。^[3]

幾何学的実現

具体的なモデルは、互いに直交する平面上にある2つの単位円で構成され、それぞれがもう1つの円の中心を通過します。^[2]このモデルはリンクのロープの長さを最小化し、2002年まではホップリンクがロープの長さが分かっている唯一のリンクでした。^{[4]これら2つの円}の凸包は、オロイドと呼ばれる形状を形成します。^[5]

プロパティ

2つの成分の相対的な向きに応じて、ホップリンクのリンク数は±1になります。 ^[6]

ホップリンクは、（2,2）トーラスリンク^[7]と編組語^{[8]を組み合わせたものである。}

\sigma _{1}^{2}.\,

ホップリンクの結び目補集合は R × S 1 × S 1 であり、トーラス上の円筒^である。^[ 9 ]この空間は^局所ユークリッド幾何学を持つため、ホップリンクは双曲的結び目ではない。ホップリンクの結び目群（その補集合の基本群）はZ ²（ 2つの生成元上の自由アーベル群）であり、2つの生成元上の自由群をその群とするリンクされていないループのペアとは区別される。^[10]

ホップリンクは3色で色分けできません。つまり、図のストランドを3色で塗り分けることは不可能であり、少なくとも2色を使用し、すべての交差に1色または3色が存在するようにする必要があります。各リンクには1本のストランドしかなく、両方のストランドに同じ色が割り当てられている場合は1色のみが使用されますが、異なる色が割り当てられている場合は交差に2色が使用されます。

ホップバンドル

ホップファイブレーションは、 3次元球面（4次元ユークリッド空間における3次元面）からより馴染みのある2次元球面への連続関数であり、2次元球面上の各点の逆像が円になるという性質を持つ。したがって、これらの像は3次元球面を連続した円の族に分解し、それぞれの2つの異なる円はホップリンクを形成する。これがホップがホップリンクを研究した動機である。2本のファイバーがそれぞれリンクされているため、ホップファイブレーションは非自明なファイブレーションである。この例から、球面のホモトピー群の研究が始まった。^[11]

生物学

ホップ結合は一部のタンパク質にも存在します。^[12]^{[13]ホップ結合は、}タンパク質骨格の断片がジスルフィド結合で閉じた2つの共有結合ループで構成されています。ホップ結合のトポロジーはタンパク質において高度に保存されており、タンパク質の安定性を高めています。^[12]

歴史

ホップリンクは、1931年にホップファイバの研究の一環としてこの考えを考えた位相学者ハインツ・ホップにちなんで名付けられました。^[14]しかし、数学の世界では、ホップの研究以前にカール・フリードリヒ・ガウスがこれを知っていました。 ^[3]また、数学以外でも長く使われており、例えば16世紀に創建された日本の仏教宗派である豊山派の紋章として使われています。

参照

ボロミアンリング、3つの閉じたループを持つリンク
カテナン、2つの連結したループを持つ分子
ソロモンの結び目、二重に連結された2つの輪

参考文献

^ アダムス、コリン・コンラッド（2004年）、結び目の本：結び目の数学理論への初歩的な入門、アメリカ数学会、p. 151、ISBN 9780821836781。
^ ab Kusner, Robert B.; Sullivan, John M. (1998), "On deformation and thick of knots", Topology and geometry in polymer science (Minneapolis, MN, 1996) , IMA Vol. Math. Appl., vol. 103, New York: Springer, pp. 67– 78, doi :10.1007/978-1-4612-1712-1_7, MR 1655037 特に77ページを参照してください。
^ ab Prasolov, VV; Sossinsky, AB (1997), 結び目、リンク、組紐、3次元多様体：低次元位相幾何学における新しい不変量への入門、数学モノグラフの翻訳、第154巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、p. 6、ISBN 0-8218-0588-6、MR 1414898。
^ カンタレッラ, ジェイソン; クズナー, ロバート B.;サリバン, ジョン M. (2002)「結び目とリンクの最小ロープ長さについて」Inventions Mathematicae , 150 (2): 257– 286, arXiv : math/0103224 , Bibcode :2002InMat.150..257C, doi :10.1007/s00222-002-0234-y, MR 1933586, S2CID 730891 。
^ Dirnböck, Hans; Stachel, Hellmuth (1997)、「オロイドの開発」(PDF)、Journal for Geometry and Graphics、1 (2): 105– 118、MR 1622664。
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^ カウフマン、ルイス・H.（1987年）、結び目について、数学研究年報、第115巻、プリンストン大学出版局、373ページ、ISBN 9780691084350。
^ Adams (2004)、演習5.22、p.133。
^ Turaev, Vladimir G. (2010)、「結び目と3次元多様体の量子不変量」、De Gruyter studies in math、第18巻、Walter de Gruyter、p. 194、ISBN 9783110221831。
^ ハッチャー、アレン（2002）、代数的位相学、p.24、ISBN 9787302105886。
^ シャストリ、アナント・R.（2013）、基本代数的位相学、CRCプレス、p.368、ISBN 9781466562431。
^ ab Dabrowski-Tumanski, Pawel; Sulkowska, Joanna I. (2017-03-28)、「タンパク質におけるトポロジカルノットとリンク」、米国科学アカデミー紀要、114 (13): 3415– 3420、Bibcode :2017PNAS..114.3415D、doi : 10.1073/pnas.1615862114、ISSN 0027-8424、PMC 5380043、PMID 28280100
^ Dabrowski-Tumanski, Pawel; Jarmolinska, Aleksandra I.; Niemyska, Wanda; Rawdon, Eric J.; Millett, Kenneth C.; Sulkowska, Joanna I. (2017-01-04)「LinkProt：生物学的リンクに関する情報を収集するデータベース」、Nucleic Acids Research、45 (D1): D243 – D249、doi :10.1093/nar/gkw976、ISSN 0305-1048、PMC 5210653、PMID 27794552
^ Hopf、Heinz (1931)、「Über die Abbildungen der dreiDimensionen Sphäre auf die Kugelfläche」、Mathematische Annalen、104 (1)、ベルリン: Springer : 637–665、doi :10.1007/BF01457962、S2CID 123533891 。

外部リンク

ワイスタイン、エリック W.、「ホップリンク」、MathWorld
「ホップリンク」、The Knot Atlas。
「LinkProt」 - 既知のタンパク質リンクのデータベース。

[1] アダムス、コリン・コンラッド（2004年）、結び目の本：結び目の数学理論への初歩的な入門、アメリカ数学会、p. 151、ISBN 9780821836781。

[ks98-2] Kusner, Robert B.; Sullivan, John M. (1998), "On deformation and thick of knots", Topology and geometry in polymer science (Minneapolis, MN, 1996) , IMA Vol. Math. Appl., vol. 103, New York: Springer, pp. 67– 78, doi :10.1007/978-1-4612-1712-1_7, MR 1655037 特に77ページを参照してください。

[ps97-3] Prasolov, VV; Sossinsky, AB (1997), 結び目、リンク、組紐、3次元多様体：低次元位相幾何学における新しい不変量への入門、数学モノグラフの翻訳、第154巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、p. 6、ISBN 0-8218-0588-6、MR 1414898。

[4] カンタレッラ, ジェイソン; クズナー, ロバート B.;サリバン, ジョン M. (2002)「結び目とリンクの最小ロープ長さについて」Inventions Mathematicae , 150 (2): 257– 286, arXiv : math/0103224 , Bibcode :2002InMat.150..257C, doi :10.1007/s00222-002-0234-y, MR 1933586, S2CID 730891 。

[5] Dirnböck, Hans; Stachel, Hellmuth (1997)、「オロイドの開発」(PDF)、Journal for Geometry and Graphics、1 (2): 105– 118、MR 1622664。

[6] アダムス（2004）、21ページ。

[7] カウフマン、ルイス・H.（1987年）、結び目について、数学研究年報、第115巻、プリンストン大学出版局、373ページ、ISBN 9780691084350。

[8] Adams (2004)、演習5.22、p.133。

[9] Turaev, Vladimir G. (2010)、「結び目と3次元多様体の量子不変量」、De Gruyter studies in math、第18巻、Walter de Gruyter、p. 194、ISBN 9783110221831。

[10] ハッチャー、アレン（2002）、代数的位相学、p.24、ISBN 9787302105886。

[11] シャストリ、アナント・R.（2013）、基本代数的位相学、CRCプレス、p.368、ISBN 9781466562431。

[:0-12] Dabrowski-Tumanski, Pawel; Sulkowska, Joanna I. (2017-03-28)、「タンパク質におけるトポロジカルノットとリンク」、米国科学アカデミー紀要、114 (13): 3415– 3420、Bibcode :2017PNAS..114.3415D、doi : 10.1073/pnas.1615862114、ISSN 0027-8424、PMC 5380043、PMID 28280100

[13] Dabrowski-Tumanski, Pawel; Jarmolinska, Aleksandra I.; Niemyska, Wanda; Rawdon, Eric J.; Millett, Kenneth C.; Sulkowska, Joanna I. (2017-01-04)「LinkProt：生物学的リンクに関する情報を収集するデータベース」、Nucleic Acids Research、45 (D1): D243 – D249、doi :10.1093/nar/gkw976、ISSN 0305-1048、PMC 5210653、PMID 27794552

[14] Hopf、Heinz (1931)、「Über die Abbildungen der dreiDimensionen Sphäre auf die Kugelfläche」、Mathematische Annalen、104 (1)、ベルリン: Springer : 637–665、doi :10.1007/BF01457962、S2CID 123533891 。