ホワイトヘッドリンク

ホワイトヘッドリンク
編み込みの長さ	5
編み込みNo.	3
交差点番号	5
双曲体積	3.663862377
リンク番号	0
解く番号	1
コンウェイ記法	[212]
A-B表記	5^2 1
シスルウェイト	L5a1
最後 / 次へ	L4a1 / L6a1
他の
交互

結び目理論において、JHCホワイトヘッドにちなんで名付けられたホワイトヘッドリンクは、最も基本的なリンクの一つです。円と8の字型のループを重ね合わせ、5つの交差を持つ交互リンクとして描くことができます。

構造

この結び目を記述する一般的な方法は、8の字型のループを、その8の字の交差点を囲む別の円形のループで重ねることによって形成されます。これら2つの非リンク間の上下関係は、交互リンクとして設定され、各ループの連続する交差点が下と上で交互になります。この図には5つの交差点があり、そのうちの1つは8の字曲線の自己交差であり、連結数にはカウントされません。残りの交差点は、各ループで下と上の交差点の数が等しいため、連結数は0です。これは非リンクと同位ではありませんが、非リンク と同位リンクです。

この結び目の構造は、2つのループを互いに異なる方法で扱いますが、2つのループは位相的に対称です。つまり、同じリンクを同じ種類の図に変形し、8の字として描かれたループを円形にしたり、その逆を行ったりすることができます。^[2]また、この結び目を3次元で実現したものもあり、その場合、実現の幾何学的対称性によって2つのループを互いに近づけることができます。^[1]

編組理論の表記では、リンクは次のように書かれる。

${\displaystyle \sigma _{1}^{2}\sigma _{2}^{2}\sigma _{1}^{-1}\sigma _{2}^{-2}.\,}$

そのアレクサンダー多項式は

${\displaystyle \Delta (t)=t^{3/2}-3t^{1/2}+3t^{-1/2}-t^{-3/2},}$

はザイフェルト行列となる可能性があるので、あるいはそのコンウェイ多項式は ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\0&1&-1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \nabla (z)=z^{3}.}$

そのジョーンズ多項式は

${\displaystyle V(t)=t^{-{3 \over 2}}\left(-1+t-2t^{2}+t^{3}-2t^{4}+t^{5}\right).}$

この多項式と は、L10a140 リンクのジョーンズ多項式の2つの因数です。特に、はジョーンズ多項式 を持つリンクの鏡像のジョーンズ多項式です。 ${\displaystyle V(1/t)}$ ${\displaystyle V(1/t)}$ ${\displaystyle V(t)}$

音量

ホワイトヘッドリンクの補集合の双曲的体積はカタラン定数の4倍、約3.66である。ホワイトヘッドリンクの補集合は、体積が最小となる2つの尖端双曲的多様体のうちの1つであり、もう1つはパラメータ(-2, 3, 8)を持つプレッツェルリンクの補集合である。^[3]

ホワイトヘッドリンクの 1 つのコンポーネントに対するデーン充填は、 8 の字結び目の補集合の兄弟多様体を生成でき、両方のコンポーネントに対するデーン充填は、それぞれ 1 つの尖端を持つ最小体積双曲多様体の 1 つと尖端を持たない最小体積双曲多様体の 1 つであるウィークス 多様体を生成できます。

歴史

古代トールのハンマー考古学的遺物

ホワイトヘッドリンクは、1930年代の大半をポアンカレ予想の証明に費やしたJHCホワイトヘッドにちなんで名付けられました。1934年、彼はこのリンクを用いて、現在ホワイトヘッド多様体と名付けられているものを構築し、それ以前に彼が主張していたポアンカレ予想の証明を反駁しました。 ^[4]

参照

• ソロモンの結び目
• 週の多様性
• ホワイトヘッドダブル

参考文献

1. Skopenkov, A. (2020)、「図22：ホワイトヘッドリンクの同位体」、基本的な結び目とリンク理論のユーザーガイド、p. 17、arXiv：2001.01472v1
2. Cundy, H. Martyn ; Rollett, AP (1961), Mathematical models (2nd ed.), Oxford: Clarendon Press, p. 59, MR  0124167
3. Agol, Ian (2010)、「最小体積有向双曲型2尖端3多様体」、アメリカ数学会紀要、138 (10): 3723– 3732、arXiv : 0804.0043、doi :10.1090/S0002-9939-10-10364-5、MR  2661571
4. Gordon, C. McA. (1999)、「1960年までの3次元トポロジー」(PDF)、James, IM (ed.) 『トポロジーの歴史』アムステルダム:北ホラント、pp.  449– 489、doi :10.1016/B978-044482375-5/50016-X、MR  1674921; 480ページ参照

外部リンク

• 「L5a1 結び目理論的リンク」、The Knot Atlas。
• ワイスタイン、エリック W.、「ホワイトヘッドリンク」、MathWorld