ランバート和

数学的解析学と解析的数論において、ランベルト和は、解析的数論に特に関連する ランベルト級数に関連する無限級数を和ぐための和算法です

定義

ランバート核を で定義します。のとき、 はの 関数として減少することに注意してください。と表記されるとき、和はにランバート和可能です${\displaystyle L(x)=\log(1/x){\frac {x}{1-x}}}$ ${\displaystyle L(1)=1}$ ${\displaystyle L(x^{n})>0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0<x<1}$ ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}L(x^{n})=A}$ ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=A\,\,(\mathrm {L} )}$

アーベル定理とタウバー定理

アーベル定理: 級数が に収束する場合、それは にランベルト和可能です。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

タウバー定理： がにランベルト和算可能であると仮定する。すると は にアーベル和算可能である。特に、がにランベルト和算可能であり、が に収束する場合。 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle na_{n}\geq -C}$ ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle A}$

タウバー定理はGHハーディとジョン・エデンサー・リトルウッドによって初めて証明されましたが、数論とは独立していませんでした。実際、彼らは素数定理自体よりもいくらか強い数論的推定を用いていました。ランバート・タウバー定理をめぐる不満足な状況は、ノーバート・ウィーナーによって解決されました。

例

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}{\frac {\mu (n)}{n}}=0\,(\mathrm {L} )}$ ここで、μはメビウス関数です。したがって、この級数が収束するとしても、それはゼロに収束します。この数列はタウバー条件を満たすことに注意してください。したがって、タウバー定理は通常の意味で を意味します。これは素数定理と同等です${\displaystyle {\frac {\mu (n)}{n}}}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}{\frac {\mu (n)}{n}}=0}$
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}{\frac {\Lambda (n)-1}{n}}=-2\gamma \,\,(\mathrm {L} )}$ ここで、 はフォン・マンゴルト関数、はオイラー定数です。タウバー定理により、通常の和は に収束し、特に に収束します。これは と等価です。ここで、は第二チェビシェフ関数です。${\displaystyle \Lambda}$ ${\displaystyle \gamma}$ ${\displaystyle -2\gamma}$ ${\displaystyle \psi (x)\sim x}$ ${\displaystyle \psi}$

参照

• ランベルト級数
• アーベル・プラーナの公式
• アーベル定理とタウバー定理

参考文献

• ヤコブ・コレヴァール (2004).タウバー理論. 1世紀の発展. 数学科学の基礎. 第329巻.シュプリンガー出版社. p. 18. ISBN 3-540-21058-X。
• ヒュー・L・モンゴメリー、ロバート・C・ヴォーン(2007).乗法数論 I. 古典理論. ケンブリッジ高等数学小論文集. 第97巻. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. pp.  159– 160. ISBN 978-0-521-84903-6。
• ノーバート・ウィーナー(1932). 「タウバーの定理」. Annals of Math . 33 (1). The Annals of Mathematics, Vol. 33, No. 1: 1– 100. doi :10.2307/1968102. JSTOR  1968102