レーバーテーブル

数学において、レーバー表（1980年代末に集合論の研究に関連して発見したリチャード・レーバーにちなんで名付けられた）は、代数的および組合せ論的に興味深い特定の性質を持つ数の表である。ラックやカンドルの研究で用いられる。

意味

任意の非負整数 nに対して、n番目のレーバー表は、²ⁿ ×2n^の表であり、その表のp行q列（1≤p 、q≤2n ^）のセルのエントリは次のように定義されます^[1]

${\displaystyle L_{n}(p,q):=p\star _{n}q}$

ここで、{1,...,2 ⁿ }上の唯一の二項演算であり、すべてのp、qに対して次の2つの式を満たします。 ${\displaystyle \star _{n}}$

${\displaystyle p\star _{n}1=p+1\mod {2^{n}}}$

1

そして

${\displaystyle p\star _{n}(q\star _{n}r)=(p\star _{n}q)\star _{n}(p\star _{n}r).}$

2

注：式（１ ）では、 ２n^を法としてxに合同な{1,..., ²ⁿ }の唯一の要素を意味する表記法を使用しています。 ${\displaystyle x{\bmod {2}}^{n}}$

式( 2 )は（左）自己分配法則として知られており、この法則を満たす任意の二項演算を含む集合は棚と呼ばれる。したがって、n番目のレーバー表は、式( 1 )を満たす唯一の棚({1,...,2n},)に対する^乗算表である。 ${\displaystyle \star _{n}}$

例: 以下は最初の5つのレーバー表^[2] 、すなわち棚({1,...,2 ⁿ }, )の掛け算表、n = 0, 1, 2, 3, 4である。 ${\displaystyle \star _{n}}$

${\displaystyle \star _{0}}$	1
1	1

${\displaystyle \star _{1}}$	1	2
1	2	2
2	1	2

${\displaystyle \star _{2}}$	1	2	3	4
1	2	4	2	4
2	3	4	3	4
3	4	4	4	4
4	1	2	3	4

${\displaystyle \star _{3}}$	1	2	3	4	5	6	7	8
1	2	4	6	8	2	4	6	8
2	3	4	7	8	3	4	7	8
3	4	8	4	8	4	8	4	8
4	5	6	7	8	5	6	7	8
5	6	8	6	8	6	8	6	8
6	7	8	7	8	7	8	7	8
7	8	8	8	8	8	8	8	8
8	1	2	3	4	5	6	7	8

${\displaystyle \star _{4}}$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
1	2	12	14	16	2	12	14	16	2	12	14	16	2	12	14	16
2	3	12	15	16	3	12	15	16	3	12	15	16	3	12	15	16
3	4	8	12	16	4	8	12	16	4	8	12	16	4	8	12	16
4	5	6	7	8	13	14	15	16	5	6	7	8	13	14	15	16
5	6	8	14	16	6	8	14	16	6	8	14	16	6	8	14	16
6	7	8	15	16	7	8	15	16	7	8	15	16	7	8	15	16
7	8	16	8	16	8	16	8	16	8	16	8	16	8	16	8	16
8	9	10	11	12	13	14	15	16	9	10	11	12	13	14	15	16
9	10	12	14	16	10	12	14	16	10	12	14	16	10	12	14	16
10	11	12	15	16	11	12	15	16	11	12	15	16	11	12	15	16
11	12	16	12	16	12	16	12	16	12	16	12	16	12	16	12	16
12	13	14	15	16	13	14	15	16	13	14	15	16	13	14	15	16
13	14	16	14	16	14	16	14	16	14	16	14	16	14	16	14	16
14	15	16	15	16	15	16	15	16	15	16	15	16	15	16	15	16
15	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16
16	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16

レーバー表のエントリを直接計算する閉形式の式は知られていないが^[3]、パトリック・デホルノイはレーバー表を埋めるための簡単なアルゴリズムを提供している^{[4] 。}

プロパティ

1. {1,...,2 ⁿ }内のすべてのp、qについて: 。${\displaystyle \ \ 2^{n}\star _{n}q=q;\ \ p\star _{n}2^{n}=2^{n};\ \ (2^{n}-1)\star _{n}q=2^{n};\ \ p\star _{n}2^{n-1}=2^{n}{\text{ if }}p\neq 2^{n}}$
2. {1,...,2 ⁿ }内のすべてのpについて:は周期的であり、周期πn ₍ p)は2の累乗に等しくなります。${\displaystyle \ \ (p\star _{n}q)_{q=1,2,3,...}}$
3. {1,...,2 ⁿ } 内のすべてのpについて:は からまで厳密に増加します。${\displaystyle \ \ (p\star _{n}q)_{q=1,2,3,...,\pi _{n}(p)}}$ ${\displaystyle p\star _{n}1=p+1\ }$ ${\displaystyle \ p\star _{n}\pi _{n}(p)=2^{n}}$
4. すべてのp、qについて: ^[1]${\displaystyle \ p\star _{n}q=(p+1)^{(q)},{\text{ where }}x^{(1)}=x,\ x^{(k+1)}=x^{(k)}\star _{n}x.}$

最初の行の期間は無制限ですか?

数学における未解決問題

ZFC 集合論は、レーバー表の最初の行の周期が無制限であることを証明できますか?

数学におけるさらなる未解決問題

n番目の Laver 表の最初の行だけを見ても、 n = 0、1、2、... の場合、各最初の行のエントリは、上記の性質 2 で述べたように、周期が常に 2 の累乗である周期的であることがわかります。最初のいくつかの周期は 1、1、2、4、4、8、8、8、8、16、16、... です ( OEISのシーケンスA098820 )。このシーケンスは非減少であり、1995 年に Richard Laver は、ランクインランク(大きな基数特性)が存在するという仮定の下で、実際には無制限に増加することを証明しました(追加の大きな基数公理なしでZFCでもこれが証明可能かどうかはわかっていません)。^[5]いずれにせよ、それは非常にゆっくりと増加します。ランドール・ドハティは、32がこの数列に現れることは（もし現れるとしても）n > A(9, A(8, A(8, 254))まであり得ないことを示した。ここでAはアッカーマン・ペーター関数を表す。^[6]

参考文献

1. Biane, Philippe (2019). 「Laver表と組み合わせ論」. arXiv : 1810.00548 [math.CO].
2. Dehornoy, Patrick (2014). 「Laver表の2-および3-コサイクル」. arXiv : 1401.2335 [math.KT].
3. Lebed, Victoria (2014)、「Laver Tables: from Set Theory to Braid Theory」、東北大学位相幾何学シンポジウム(PDF)スライド8/33をご覧ください。
4. Dehornoy, Patrick. Laver Tables（スライド26以降）. 2025年5月6日閲覧。
5. レイバー、リチャード (1995)、「ランクのそれ自身への基本埋め込みの代数について」、数学の進歩、110 (2): 334– 346、doi : 10.1006/aima.1995.1014、hdl : 10338.dmlcz/127328、MR  1317621。
6. Dougherty, Randall (1993)、「基本埋め込み代数における臨界点」、Annals of Pure and Applied Logic、65 (3): 211– 241、arXiv : math.LO/9205202、doi :10.1016/0168-0072(93)90012-3、MR  1263319、S2CID  13242324。

さらに読む

• Dehornoy、Patrick ( 2001)、「Das Unendliche als Quelle der Erkenntnis」、Spektrum der Wissenschaft Spezial (1): 86–90。
• デホルノイ、パトリック（2004）、「図表の色彩と応用」（PDF）、東アジア結び目・リンク・関連トピックス学会誌、 37～ 64頁 。
• 棚と無限：https://johncarlosbaez.wordpress.com/2016/05/06/shelves-and-the-infinite/