ルベーグ背骨

数学において、ポテンシャル論の分野において、ルベーグの棘（ルベーグのとげ）は、ディリクレ問題やポテンシャル論の関連問題の解を議論する際に用いられる集合の一種である。ルベーグの棘は、1912年にアンリ・ルベーグによって導入され、ディリクレ問題が必ずしも解を持たないこと、特に境界が領域の内部に突き出た十分に鋭い辺を持つ場合を示すために用いられた。

意味

における典型的なルベーグ背骨は次のように定義される 。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 3,}$

$\displaystyle S=\{(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}:x_{n}>0,x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n-1}^{2}\leq \exp(-1/x_{n}^{2})\}.}$

この集合の重要な特徴は、それが のユークリッド位相で連結かつパス連結であり、原点が集合の極限点であること、そして、記事「微細位相（ポテンシャル理論）」で定義されているように、集合が原点で薄いことです。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

観察

集合 は、の極限点である原点を含まないため、ユークリッド位相では閉じていませんが、 の微細位相では閉じています。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

比較すると、原点で薄い連結セットを構築すること は不可能です。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

参考文献

• JL Doob著『古典的ポテンシャル理論とその確率論的対応物』 Springer-Verlag、ベルリン・ハイデルベルク、ニューヨーク、ISBN 3-540-41206-9。
• LLヘルムズ（1975）『ポテンシャル理論入門』REクリーガーISBN 0-88275-224-3。