レフシェッツゼータ関数

数学において、レフシェッツ ゼータ関数は位相的な周期理論、不動点理論、および力学系で使用されるツールです。連続写像 が与えられた場合、ゼータ関数は形式級数として定義されます ${\displaystyle f\colon X\to X}$

${\displaystyle \zeta_{f}(t)=\exp\left(\sum_{n=1}^{\infty}L(f^{n}){\frac{t^{n}}{n}}\right),}$

ここで、 の-回目の反復におけるレフシェッツ数です。このゼータ関数は、 のすべての反復に関する情報を含む単一の不変量であるため、位相周期点理論において注目に値します。 ${\displaystyle L(f^{n})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

例

上の恒等写像はレフシェッツゼータ関数を持つ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\frac {1}{(1-t)^{\chi (X)}}},}$

ここではのオイラー特性、すなわち恒等写像のレフシェッツ数で ある${\displaystyle \χ (X)}$ ${\displaystyle X}$

もう少し分かりやすい例として、 を単位円とし、 をx軸の鏡映写像、つまり とします。すると はレフシェッツ数2を持ち、 は恒等写像でレフシェッツ数0を持ちます。同様に、すべての奇数反復はレフシェッツ数2を持ち、すべての偶数反復はレフシェッツ数0を持ちます。したがって、 のゼータ関数は ${\displaystyle X=S^{1}}$ ${\displaystyle f\colon S^{1}\to S^{1}}$ ${\displaystyle f(\theta )=-\theta }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{2}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta_{f}(t)&=\exp \left(\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{2t^{2n+1}}{2n+1}}\right)\\&=\exp \left(\left\{2\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{t^{n}}{n}}\right\}-\left\{2\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{t^{2n}}{2n}}\right\}\right)\\&=\exp \left(-2\log(1-t)+\log(1-t^{2})\right)\\&={\frac{1-t^{2}}{(1-t)^{2}}}\\&={\frac {1+t}{1-t}}\end{aligned}}}$

公式

f がn次元のコンパクト多様体X （またはより一般的には任意のコンパクト多面体）上の連続写像である場合、ゼータ関数は次の式で与えられます

$\displaystyle \zeta_{f}(t)=\prod_{i=0}^{n}\det(1-tf_{\ast}|H_{i}(X,\mathbf{Q}))^{(-1)^{i+1}}.}$

したがって、これは有理関数である。分子と分母に現れる多項式は、本質的には、様々なホモロジー空間上の fによって誘導される写像の特性多項式である。

接続

この生成関数は本質的にアルティン・マズールゼータ関数の代数形式であり、 fの固定点と周期点に関する幾何学的情報を与えます

参照

• レフシェッツの不動点定理
• アルティン・マズールのゼータ関数
• リュエルゼータ関数

参考文献

• フェルシュティン、アレクサンダー (2000)、「動的ゼータ関数、ニールセン理論、ライデマイスター捩れ」、アメリカ数学会報、147 (699)、arXiv : chao-dyn/9603017、MR  1697460