経済学において、辞書式選好または辞書式順序付けは、エージェントが任意の量の一つの財（X）を別の財（Y）よりも好む比較選好を表します。具体的には、複数の財の束が提示された場合、エージェントはYの量に関わらず、Xが最も多く提供される束を選択します。Xの単位数に関して束の間で同点がある場合にのみ、エージェントは束間でYの単位数を比較し始めます。辞書式選好は、非標準無限小数が実数を拡張するのと同様に、効用理論を拡張します。辞書式選好では、特定の財の効用は他の財と比較して無限小です。
語源
辞書学は辞書の編纂を指し、辞書がアルファベット順に構成されているという事実を想起させるものです。つまり、各単語の最初の文字には常に注目し、同点の場合のみ各単語の 2 番目の文字に注目する、などです。
例
たとえば、特定のバンドル (X;Y;Z) に対して、エージェントが X >> Y >> Z というルールに従って優先順位を付ける場合、バンドル {(5;3;3)、(5;1;6)、(3,5,3)} は優先順位が最も高いものから最も低いものの順に並べられます。
- 5;3;3
- 5;1;6
- 3;5;3
- 最初のオプションに含まれる商品の総数は 2 番目のオプションよりも少ないですが、Y の数が多いため、最初のオプションの方が好まれます。X の数は同じであるため、エージェントは Y を比較していることに注意してください。
- 3 番目のオプションの合計商品数は最初のオプションと同じですが、X が多いため、最初のオプションの方が優先されます。
- 3 番目のオプションには 2 番目のオプションよりも Y がはるかに多く含まれていますが、X が多いため、2 番目のオプションの方が依然として優先されます。
不連続
辞書式選好関係は連続関係ではありません。これは、減少収束列 に対してはが成り立ち、極限(0,0)は(0,1)よりも小さいためです。
効用関数表現
このような辞書式選好の特徴は、エージェントの選好の多変数実数領域が実数値範囲に写像されないことである。つまり、連続関数であろうとなかろうと、効用関数による選好関係の実数値表現は存在しない。[1]辞書式選好は、効用関数で表現できない合理的な選好の典型的な例である。
証明：背理法として、例えば2つの財に対する辞書式選好を表す効用関数Uが存在すると仮定する。このとき、 U( x ,1)>U( x ,0) が成立するはずであり、したがって区間 [ U ( x ,0), U ( x ,1)] の幅は0以外でなければならない。さらに、x < zのときは常に U( x ,1)<U( z ,1)となるため、これらの区間はすべてのxに対して互いに素でなければならない。これは、 x の値が無数集合である場合には不可能である。
商品の数が有限で、量が有理数のみである場合、非標準数を近似するために N が十分に大きい場合、1/N を無限小のサイズとするだけで、効用関数が存在します。
実数値の効用に関して言えば、Y と Z の効用は X と比較して無限小であり、Z の効用はY と比較して無限小であると言えます。したがって、辞書式の設定は、非標準の実数を返す効用関数によって表すことができます。
辞書式選好を持つ経済における均衡
すべてのエージェントが同じ辞書式選好を持つ場合、エージェントは互いに商品を売ろうとしないため（[説明が必要]） 、一般均衡は存在できません（選好度の低い商品の価格がゼロより大きい限り）。しかし、需要の低い商品の価格がゼロの場合、すべてのエージェントはその商品を無限に欲しがります。標準価格では均衡は達成できません。効用は無限小ですが、価格はそうではありません。無限小価格を許容することで、この問題は解決されます。
一般均衡においても辞書式選好は依然として存在する。例えば、
- 人によって辞書式設定の好みは異なり、個人によって項目の価値評価の順序も異なります。
- 一部の人は辞書式表記を好みますが、すべての人がそうではありません。
- 辞書式優先順位は、商品の一定量にのみ適用されます。
非標準（無限小）交換均衡価格は、標準的な均衡手法を用いて辞書式順序で決定できる。ただし、効用と価格の両方の値域として非標準実数を用いる点が異なる。価格と均衡の存在に関するすべての定理は、非標準効用の場合にも拡張される。これは、非標準実数が保存的拡張を形成するためである。つまり、実数に対して成立する定理はすべて非標準実数にも拡張でき、かつ成立し続けることを意味する。
参照
注記
- ^ アマルティア・K・セン（1970[1984]）『集団選択と社会福祉』第3章「集団合理性」34-35頁。解説。
外部リンク
- 辞書式選好関係は効用関数では表現できません。Economics.SEでは
- 辞書式順序付けされたR2に埋め込まれる線形順序を認識する。Math.SEで。
- グロッソーネ法を用いた辞書式多目的線形計画法：理論とアルゴリズム。応用数学と計算
