ベクトル場のリー括弧

微分位相 幾何学の数学分野において、ベクトル場のリー括弧（ヤコビ-リー括弧またはベクトル場の交換子とも呼ばれる）は、任意の2つのベクトル場 と滑らかな多様体上に で表される3番目のベクトル場を割り当てる演算子です ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle [X,Y]}$

概念的には、リー括弧はによって生成される流れに沿ったの微分であり、時には「Xに沿ったYのリー微分」と表記されます。これは、によって生成される流れに沿った任意のテンソル場のリー微分に一般化されます。 ${\displaystyle [X,Y]}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y}$ ${\displaystyle X}$

リー括弧はR-双線型演算であり、多様体上のすべての滑らかなベクトル場の集合を（無限次元）リー代数に変換します。 ${\displaystyle M}$

リー括弧は、微分幾何学と微分位相幾何学において、例えばフロベニウスの積分可能性定理において重要な役割を果たしており、非線形制御システムの幾何学理論においても基本的なものです。^[1]

VI アーノルドはこれを「漁師微分」と呼んでいます。これは、漁師が釣り竿を持ってボートに座っているところを想像できるからです。ボートとウキはどちらもベクトル場 に従って流れており、漁師はベクトル場 に従って釣り竿を伸縮させたり回したりします。リー括弧は、周囲の水に対するウキの抵抗量です。^[2]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

定義

リー括弧を定義するには、概念的に異なるが同等なアプローチが3つあります。

微分としてのベクトル場

多様体上の各滑らかなベクトル場は、滑らかな関数 （クラスと）に作用する微分作用素と見なすことができます。これは、 を別の関数 と定義し、その点における値が の方向 における の方向微分となる場合に当てはまります。このように、各滑らかなベクトル場はの微分になります。さらに、 の任意の微分は、一意の滑らかなベクトル場 から生じます。 ${\displaystyle X:M\rightarrow TM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f(p)}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle X(f)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X(p)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle X}$

一般に、任意の2つの微分と の交換子は 、が作用素の合成を表す場合に、再び微分になります。これを使用して、交換子微分に対応するベクトル場としてリー括弧を定義できます。 ${\displaystyle \delta _{1}\circ \delta _{2}-\delta _{2}\circ \delta _{1}}$ ${\displaystyle \delta _{1}}$ ${\displaystyle \delta _{2}}$ ${\displaystyle \circ }$

${\displaystyle [X,Y](f)=X(Y(f))-Y(X(f))\;\;{\text{ for all }}f\in C^{\infty }(M).}$

フローと極限

をベクトル場に関連付けられたフローとし、を接写微分作用素とします。すると、における とのリー括弧は、リー微分として定義できます。 ${\displaystyle \Phi _{t}^{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x\in M}$

${\displaystyle [X,Y]_{x}\ =\ ({\mathcal {L}}_{X}Y)_{x}\ :=\ \lim _{t\to 0}{\frac {(\mathrm {D} \Phi _{-t}^{X})Y_{\Phi _{t}^{X}(x)}\,-\,Y_{x}}{t}}\ =\ \left.{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}(\mathrm {D} \Phi _{-t}^{X})Y_{\Phi _{t}^{X}(x)}.}$

これはまた、連続する方向へのフローが点 に戻らないことを測定し、を とします${\displaystyle X,Y,-X,-Y}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle [X,Y]_{x}\ =\ \left.{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\right|_{t=0}(\Phi _{-t}^{Y}\circ \Phi _{-t}^{X}\circ \Phi _{t}^{Y}\circ \Phi _{t}^{X})(x)\ =\ \left.{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}(\Phi _{\!-{\sqrt {t}}}^{Y}\circ \Phi _{\!-{\sqrt {t}}}^{X}\circ \Phi _{\!{\sqrt {t}}}^{Y}\circ \Phi _{\!{\sqrt {t}}}^{X})(x).}$

座標において

上記のリー括弧の定義は（多様体上の座標の選択とは無関係に）本質的なものです。しかし、実際には、特定の座標系 を用いて括弧を計算したい場合がよくあります。接束の関連する局所基底 を と書くので、一般的なベクトル場はとの滑らかな関数 について書くことができます。すると、リー括弧は次のように計算できます。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \{x^{i}\}}$ ${\displaystyle \partial _{i}={\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}}$ ${\displaystyle \textstyle X=\sum _{i=1}^{n}X^{i}\partial _{i}}$ ${\displaystyle \textstyle Y=\sum _{i=1}^{n}Y^{i}\partial _{i}}$ ${\displaystyle X^{i},Y^{i}:M\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle [X,Y]:=\sum _{i=1}^{n}\left(X(Y^{i})-Y(X^{i})\right)\partial _{i}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left(X^{j}\partial _{j}Y^{i}-Y^{j}\partial _{j}X^{i}\right)\partial _{i}.}$

が（の開部分集合） である場合、ベクトル場とはとの形の滑らかな写像として書くことができ、リー括弧は次のように与えられます。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X:M\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle Y:M\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle [X,Y]:M\to \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle [X,Y]:=J_{Y}X-J_{X}Y}$

ここで、とは列ベクトルと を乗じたヤコビ行列（それぞれインデックス表記を使用して と ）です。 ${\displaystyle J_{Y}}$ ${\displaystyle J_{X}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \partial _{j}Y^{i}}$ ${\displaystyle \partial _{j}X^{i}}$ ${\displaystyle n\times 1}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

特性

ベクトル場のリー括弧は、（つまり、接束の滑らかな切断）上のすべてのベクトル場の実ベクトル空間にリー代数の構造を与えます。つまり、[ • , • ] は次の写像を持ちます。 ${\displaystyle V=\Gamma (TM)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TM\to M}$ ${\displaystyle V\times V\to V}$

• R -双線型性
• 反対称性${\displaystyle [X,Y]=-[Y,X]}$
• ヤコビ恒等式${\displaystyle [X,[Y,Z]]+[Z,[X,Y]]+[Y,[Z,X]]=0.}$

2番目の性質から直接導かれる帰結は、任意のに対してであるということです。 ${\displaystyle [X,X]=0}$ ${\displaystyle X}$

さらに、リー括弧には「積分則」があります。上の滑らかな（スカラー値）関数と上のベクトル場が与えられたとき、各点においてベクトルにスカラーを乗じることで新しいベクトル場が得られます。すると、 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle fY}$ ${\displaystyle Y_{x}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x\in M}$

• ${\displaystyle [X,fY]\ =\ X\!(f)\,Y\,+\,f\,[X,Y],}$

ここで、スカラー関数にベクトル場を、スカラー関数にベクトル場を乗じます。これにより、リー括弧を持つベクトル場はリー代数になります。 ${\displaystyle X(f)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [X,Y]}$

とのリー括弧が消失することは、これらの方向の流れを追うと、 とを座標ベクトル場として に埋め込まれた面が定義されることを意味します。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

定理： との流れが局所的に可換である場合、つまりすべてのと十分に小さいに対して となる場合、 となる場合。 ${\displaystyle [X,Y]=0\,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (\Phi _{t}^{Y}\Phi _{s}^{X})(x)=(\Phi _{s}^{X}\,\Phi _{t}^{Y})(x)}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$

これはフロベニウスの可積分定理の特別な場合です。

例

リー群 の場合、対応するリー代数は単位元 における接空間であり、これは 上の左不変ベクトル場のベクトル空間と同一視できます。2つの左不変ベクトル場のリー括弧も左不変であり、ヤコビ・リー括弧演算 を定義します。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle T_{e}G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [\,\cdot \,,\,\cdot \,]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

要素が行列 である行列リー群の場合、各接空間は行列 として表すことができます。ここで、は行列乗算、 は単位行列です。 に対応する不変ベクトル場はで与えられ、計算により 上のリー括弧が通常の行列の 交換子に対応することがわかります。${\displaystyle g\in G\subset M_{n\times n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle T_{g}G=g\cdot T_{I}G\subset M_{n\times n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}=T_{I}G}$ ${\displaystyle X_{g}=g\cdot X\in T_{g}G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle [X,Y]\ =\ X\cdot Y-Y\cdot X.}$

一般化

前述のように、リー微分はリー括弧の一般化と見なすことができます。リー括弧の別の一般化（ベクトル値微分形式への）は、フレーリッヒャー・ナイエンフイス括弧です。

参考文献

1. Isaiah 2009, pp. 20–21, nonholonomic systems ; Khalil 2002, pp. 523–530, feedback linearization
2. Arnold, VI; Khesin, Boris A. (1999).流体力学における位相幾何学的手法．応用数理科学（Corr. 2. 印刷版）．ニューヨーク・ベルリン・ハイデルベルク：シュプリンガー．p. 6．ISBN   978-0-387-94947-5。

• 「リー括弧」，数学百科事典，EMS Press，2001 [1994]
• Isaiah, Pantelis (2009)，「制御駐車 [専門家に聞く]」，IEEE Con​​trol Systems Magazine，29 (3): 17– 21, 132, doi :10.1109/MCS.2009.932394, S2CID  42908664
• Khalil, HK (2002), 非線形システム（第3版）、アッパーサドルリバー、ニュージャージー州：プレンティスホール、ISBN 0-13-067389-7
• Kolář, I., Michor, P., Slovák, J. (1993), 微分幾何学における自然演算、ベルリン、ハイデルベルク、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 3-540-56235-4リー括弧とリー微分の一般理論に関する広範な議論。
• Lang, S. (1995),微分多様体とリーマン多様体、Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-94338-1無限次元への一般化について。
• Warner, Frank (1983) [1971],微分可能多様体とリー群の基礎、ニューヨーク・ベルリン：Springer-Verlag、ISBN 0-387-90894-3