数学 において、関数はそれが持つ性質によって分類されます。これらの性質は、特定の条件下での関数の挙動を記述します。放物線は関数の一種です。
相対的に集合論
- 単射関数：異なる入力ごとに異なる値を持ちます。単射関数、あるいは一対一関数とも呼ばれます。言い換えれば、関数の終域の各要素は、その定義域の要素のうち最大でも1つの要素の像となります。
- 射影関数: は、 の終域のすべての元に対して逆像を持ちます。つまり、 の終域は逆像に等しくなります。全射関数 または上射関数とも呼ばれます。
- 全単射関数: は単射かつ全射であり、したがって逆関数です。
- アイデンティティ関数: 任意の指定された要素をそれ自身にマッピングします。
- 定数関数: 入力に関係なく固定値を持ちます。
- 空関数: その定義域は空集合に等しい。
- 集合関数: 入力は集合です。
- 選択関数(セレクターまたは均一化関数とも呼ばれます) : 各セットにその要素の 1 つを割り当てます。
これらのプロパティは、関数がその引数に対する算術演算によってどのように影響を受けるかに関係します。
否定との関係：
二項演算と順序に関して：
トポロジーに対する相対的
- 連続関数:開集合の逆像が開いている関数。
- どこでも連続しない関数: その定義域のどの点でも連続しません。たとえば、ディリクレ関数。
- 同相写像: 連続でもある全単射関数であり、その逆関数も連続です。
- オープン関数: オープン セットをオープン セットにマップします。
- 閉じた関数:閉じたセットを閉じたセットにマッピングします。
- コンパクトにサポートされている関数:コンパクト セットの外側では消えます。
- Càdlàg関数 (RCLL 関数、corlol 関数などとも呼ばれます)。右連続、左制限付き。
- 準連続関数: ほぼ、y がx の近くにある場合、一部ではf ( x ) に近いですが、すべてではありません(やや専門的)。
位相と秩序に関して:
順序付けに対する相対的
実数/複雑/超複雑/p-進数
- 実関数: 定義域が実数である関数。
- 複素関数: 定義域が複素数である関数。
- 正則関数:定義域内のあらゆる点で微分可能な複素変数の複素数値関数。
- 有理型関数:極が存在する孤立点を除いて、どこでも正則な複素数値関数。
- 全関数:複素平面全体を定義域とする正則関数。
- 四元数関数: その定義域が四元数である関数。
- 超複素関数: 定義域が超複素である関数(例: 四元数、八元数、十元数、三元数など)
- p進関数: 定義域がp進である関数。
- 線形関数。アフィン関数とも呼ばれる。
- 凸関数：グラフ上の任意の2点を結ぶ線分がグラフより上に位置する関数。凹関数とも呼ばれる。
- 算術関数: 正の整数を複素数に変換する関数。
- 解析関数:収束する べき級数によって局所的に定義できます。
- 準解析関数: 解析的ではないが、ある点における導関数によって局所的に決定される。
- 微分可能関数:導関数を持ちます。
- 連続的に微分可能な関数: 微分可能で、連続導関数を持ちます。
- 滑らかな関数: すべての次数の導関数を持ちます。
- リプシッツ関数、ホルダー関数: 一様連続以上の関数。
- 調和関数：ボールの中心におけるその値は、ボールの表面における平均値に等しい（平均値特性）。また、分数調和関数や超調和関数とも呼ばれる。
- 基本関数:算術演算、指数、対数、定数、代数方程式の解の組み合わせ。
- 特殊関数: その重要性から名前と表記法が確立されている非基本的な関数。
- 三角関数:三角形の角度と辺の長さを関連付けます。
- どこでも微分不可能な関数。ワイエルシュトラス関数とも呼ばれます。どこでも連続ですが、1 点でも微分不可能です。
- 急成長（または急速に増加する）関数。特に、アッカーマン関数。
- 単純関数:ステップ関数に似た、実数直線のサブセット上の実数値関数。
測定可能性に関して
- 測定可能な関数: 各測定可能な集合の逆像は測定可能である。
- ボレル関数: 各ボレル集合の逆像はボレル集合です。
- ベール関数はベール可測関数とも呼ばれ、関数の列の点ごとの極限を形成する操作の超限反復によって連続関数から得られます。
- 特異関数: 連続しており、ほぼすべての場所で導関数はゼロですが、定数ではありません。
測定に相対的
測定と位相に関して:
- 局所的に積分可能な関数: すべての点の周りで積分可能。
関数の定義方法/型理論との関係
- 多項式関数:多項式を評価することによって定義されます。
- 有理関数：2つの多項式関数の比。特に、メビウス変換は線形分数関数とも呼ばれます。
- 代数関数:多項式方程式の根として定義されます。
- 超越関数：解析的だが代数的ではない。超越関数とも呼ばれる。
- 合成関数: 2つの関数fとgを合成し、xをf ( g ( x ) )にマッピングすることで形成されます。
- 逆関数: 特定の関数の「逆を実行する」ことによって宣言されます (例:逆正弦は正弦の逆です)。
- 暗黙的な関数: 引数と値の関係によって暗黙的に定義されます。
- 区分関数: 異なる間隔で異なる式によって定義されます。
- 計算可能関数：アルゴリズムがその関数の役割を果たすことができる。また、半計算可能関数、原始再帰関数、部分再帰関数とも呼ばれる。
一般的に、関数は従属変数の名前と、それが何にマッピングされるかを計算する方法を指定することによって定義されることが多い。この目的のために、記号 またはChurchのがよく用いられる。また、数学者は関数の定義域と余域を例えば のように表記することもある。これらの概念は、それぞれラムダ計算と型理論に直接拡張される。
高階関数
これらは関数を操作したり、他の関数を生成したりする関数です。高階関数を参照してください。例:
圏論との関係
圏論は、特殊関数の概念を矢印または射によって形式化する数学の一分野です。圏とは、（抽象的に）オブジェクトのクラスと、オブジェクトのすべてのペアに対する射の集合から構成される代数的対象です。射に対しては、合成と呼ばれる部分的な（つまり依存的に型付けされた）二項演算が提供され、すべてのオブジェクトには、そのオブジェクト上の恒等射と呼ばれる、それ自体への特別な射が1つあります。合成と恒等射は、特定の関係に従うことが求められます。
いわゆる具象圏では、オブジェクトは集合、マグマ、群、環、位相空間、ベクトル空間、計量空間、半順序、微分可能多様体、一様空間などの数学的構造に関連付けられ、2つのオブジェクト間の射はそれらの間の構造保存関数に関連付けられます。上記の例では、これらはそれぞれ関数、マグマ準同型、群準同型、環準同型、連続関数、線型変換（または行列）、計量写像、単調関数、微分可能関数、一様連続関数となります。
代数理論としての圏論の利点の一つは、最小限の仮定で多くの一般的な結果を証明できることです。数学における多くの一般的な概念（例えば、射影的、単射的、自由対象、基底、有限表現、同型性）は、純粋に圏論的な用語で定義できます（単射性、エピモーフィズムを参照）。
カテゴリー理論は、集合論や型理論と同等の数学の基礎として提案されてきました( topos を参照)。
寓話理論[1]は関数ではなく関係に対してカテゴリー理論に匹敵する一般化を提供する。
その他の機能
- 対称関数：値は引数の順序に依存しない
より一般的なオブジェクトは依然として関数と呼ばれます
- 一般化関数：ディラックのデルタ関数を広く一般化したもので、ホワイトノイズなど
を記述できます。
- ディラックのデルタ関数: 点電荷などの物理現象を記述するのに役立ちます。
- 多値関数: 1 対多の関係。
- ランダム関数:関数セットのランダム要素。
ドメインとコドメインの次元に対する相対的
参照
参考文献
- ^ Peter Freyd, Andre Scedrov (1990). Categories, Allegories. Mathematical Library Vol 39. North-Holland. ISBN 978-0-444-70368-2。
