ロックスの定理

数論において、ロックスの定理は、典型的な実数の連分数展開の収束率に関する定理である。この定理の証明は、1964年にグスタフ・ロックスによって発表された。^[1]

この定理は、区間 (0,1) 内のほぼすべての実数について、その数の小数展開の最初のn桁を決定するために必要な数の連分数展開の項の数mが、次のように漸近的に振舞うことを示しています。

${\displaystyle \lim _{n\to \infty}{\frac {m}{n}}={\frac {6\ln(2)\ln(10)}{\pi ^{2}}}\approx 0.97027014}$ （ OEISの配列A086819）。^[2]

この限界は1よりわずかに小さいだけなので、「典型的な」実数の連分数表現において、各項を追加するごとに、表現の精度が小数点以下約1桁向上する、と解釈できます。10進法は、各桁が連分数の商1つよりも少ない情報量を持つ最後の位取り法です。11進法（式中の を に変更）にすると、上記の値は1を超えます。 ${\displaystyle \ln(10)}$ ${\displaystyle \ln(11)}$

この限界の逆数は、

${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6\ln(2)\ln(10)}}\approx 1.03064083}$ （ OEISの配列A062542）、

はレヴィ定数の10を底とする対数の2倍です。

3つの典型的な数と黄金比。典型的な数は約45°の直線を描きます。これは、連分数の係数がそれぞれ約1桁の小数点となるためです。一方、黄金比とは、各桁に最も多くの係数を必要とする数です。

この振る舞いを示さない数の顕著な例として、黄金比（「最も無理数」とも呼ばれる）が挙げられます。黄金比の連分数項はすべて1で、標準形において最小のものです。平均すると、小数点1桁あたり約2.39個の連分数項が必要です。^[3]

証拠

証明では連分数の基本的な性質を前提としています。ガウス写像を とします。 ${\displaystyle T:x\mapsto 1/x\mod 1}$

をガウス分布の 確率密度関数とします。これはガウス写像の下で保存されます。${\displaystyle \rho (t)={\frac {1}{(1+t)\ln 2}}}$

確率密度関数は上と下に有界であるため、ガウス分布の 場合に限り、集合はルベーグ測度 に関して無視できます。

補題

補題 .. ${\textstyle {\frac {1}{n}}\ln T^{n}x\to 0}$

証明。であるから、 が成り立つのは、 が成り立つ場合のみである。を満たすすべての数の集合を考えよう。つまり、は連分数展開が を満たす数全体の集合を表すが、他の制約条件は満たさない。ガウス写像はガウス測度を保存するので、 はと同じガウス測度を持ち、これは と同じである。 ${\textstyle T^{n}x\leq 1}$ ${\textstyle {\frac {1}{n}}\ln T^{n}x\to 0}$ $${\displaystyle \liminf {\frac {1}{n}}\ln T^{n}x=0}$$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle \liminf {\frac {1}{n}}\ln T^{n}x<0}$ $${\displaystyle \{x:\exists c>0,\forall N\geq 1,\exists n\geq N,T^{n}x<e^{-cn}\}}$$ $${\displaystyle =\cup _{c>0}\cap _{N\geq 1}\cup _{n\geq N}[0;\mathbb {N} ,\dots ,\mathbb {N} ,a_{n}>e^{cn},\mathbb {N} ,\dots ]}$$ ${\displaystyle [0;\mathbb {N} ,\dots ,\mathbb {N} ,a_{n}>e^{cn},\mathbb {N} ,\dots ]}$ ${\displaystyle a_{n}>e^{cn}}$ $${\displaystyle [0;\mathbb {N} ,\dots ,\mathbb {N} ,a_{n}>e^{cn},\mathbb {N} ,\dots ]}$$ ${\textstyle [0;a_{n}>e^{cn},\mathbb {N} ,\dots ]}$

$${\displaystyle \int _{0}^{e^{-cn}}\rho (t)dt=\log _{2}(1+e^{-cn})\sim {\frac {e^{-cn}}{\ln 2}}}$$ 上の和集合はとなり、極限では 0 になります。 ${\textstyle \cup _{n\geq N}}$ ${\textstyle \sim {\frac {e^{-cN}}{(1-e^{-c})\ln 2}}}$ ${\textstyle N\to \infty }$

したがって、そのような集合のガウス測度はゼロです。 ${\textstyle x}$

見積りを完了する

ここで、基本的な連分数の性質を用いて項を展開します。2番目の項は です。3番目の項は です。どちらも で割ると消えます。したがって、ではレヴィ定数の結果を使用しました。 $${\displaystyle \ln \left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|=\ln {\frac {T^{n}x}{q_{n}(q_{n}+q_{n-1}T^{n}x)}}=-2\ln q_{n}+\ln T^{n}x-\ln \left(1+{\frac {q_{n-1}}{q_{n}}}T^{n}x\right)}$$ ${\textstyle o(n)}$ ${\textstyle \in [\ln 1,\ln 2]}$ ${\displaystyle n}$
$${\displaystyle \lim _{n}{\frac {1}{n}}\ln \left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|=-2\lim _{n}{\frac {1}{n}}\ln q_{n}=-{\frac {\pi ^{2}}{6\ln 2}}}$$

参考文献

1. Lochs、Gustav (1964)、「Vergleich der Genauigkeit von Dezimalbruch und Kettenbruch」、Abhandlungen aus dem Mathematischen セミナー der Universität Hamburg (ドイツ語)、27 ( 1–2 ): 142–144、doi :10.1007/BF02993063、MR  0162753、S2CID  119419559
2. ワイスタイン、エリック W.「ロッホスの定理」。マスワールド。
3. Cooper, Harold (2016年8月17日). 「Continued Fraction Streams」. Exist . 2016年8月30日閲覧。