等角半径

数学において、共形半径とは、単連結な平面領域Dをその中の点zから見た場合の大きさを測る方法である。ユークリッド距離を用いる概念（例えば、中心zを持つ最大の内接円板の半径）とは対照的に、この概念は複素解析、特に共形写像や共形幾何学において用いるのに適している。

密接に関連する概念は、コンパクト単連結集合Dの超限直径または（対数）容量であり、これは無限遠から見た補集合E = D cの共形半径の逆数として考えることができます。

意味

単連結な領域D ⊂ Cと点z ∈ Dが与えられたとき、リーマン写像定理により、単位円板（通常は均一化写像と呼ばれる）への唯一の共形写像f : D → Dが存在し、f ( z ) = 0 ∈ Dかつf ′( z ) ∈ R +となる。D のzからの共形半径は次のように定義される 。

rad ⁡ ( z , D ) := 1 f ′ ( z ) . {\displaystyle \operatorname {rad} (z,D):={\frac {1}{f'(z)}}\,.}

最も単純な例は、半径rの円板をその中心から見た共形半径もrであり、これは均一化写像x ↦ x / rで示される。その他の例については以下を参照のこと。

この概念が有用な理由の 1 つは、共形写像の下でうまく動作するということです。つまり、 φ: D → D ′ が共形一対一で、z がD内にある場合、 となります。 rad ⁡ ( φ ( z ) , D ′ ) = | φ ′ ( z ) | rad ⁡ ( z , D ) {\displaystyle \operatorname {rad} (\varphi (z),D')=|\varphi '(z)|\operatorname {rad} (z,D)}

共形半径は と表すこともできます。ここではから までの調和拡張です。 exp ⁡ ( ξ x ( x ) ) {\displaystyle \exp(\xi _{x}(x))} ξ x ( y ) {\displaystyle \xi _{x}(y)} log ⁡ ( | x − y | ) {\displaystyle \log(|x-y|)} ∂ D {\displaystyle \partial D} D {\displaystyle D}

特殊なケース：上半分の平面

K ⊂ Hを上半平面の部分集合とし、 D := H \ Kが連結かつ単連結であるとする。また、 z ∈ D を点とする。（これは、例えばシュラム・レーヴナー展開においてよくあるシナリオである。）リーマン写像定理により、共形写像g : D → Hが存在する。すると、任意のそのような写像gに対して、簡単な計算で次の式が得られる。

rad ⁡ ( z , D ) = 2 Im ⁡ ( g ( z ) ) | g ′ ( z ) | . {\displaystyle \operatorname {rad} (z,D)={\frac {2\operatorname {Im} (g(z))}{|g'(z)|}}\,.}

例えば、K = ∅ かつz = iのとき、gは恒等写像となり、rad( i , H ) = 2となる。これが元の定義と一致することを確認すると、均一化写像f  : H → Dは

f ( z ) = i z − i z + i , {\displaystyle f(z)=i{\frac {z-i}{z+i}},}

そして導関数は簡単に計算できます。

内接円との関係

これが半径の良い尺度であることは、シュワルツの補題とケーベの1/4定理から次の直接的な帰結によって示される：z∈D⊂Cの場合、

rad ⁡ ( z , D ) 4 ≤ dist ⁡ ( z , ∂ D ) ≤ rad ⁡ ( z , D ) , {\displaystyle {\frac {\operatorname {rad} (z,D)}{4}}\leq \operatorname {dist} (z,\partial D)\leq \operatorname {rad} (z,D),}

ここで、dist( z , ∂ D ) は、 zとDの境界間のユークリッド距離、つまり、中心zを持つ最大の内接円の半径を表します。

どちらの不等式も最善です。

D = Dおよびz = 0とすると、上限は明らかに達成されます。
下限は、次の「スリット領域」によって達成されます：D = C \ R +、z = − r ∈ R −。平方根写像 φ は、D を上半平面H上に写し、導関数 を持ちます。上半平面の上記の式は を与え、等角写像による変換の式は rad(− r , D ) = 4 rを与えます。もちろん、dist(− r , ∂ D ) = rです。 φ ( − r ) = i r {\displaystyle \varphi (-r)=i{\sqrt {r}}} | φ ′ ( − r ) | = 1 2 r {\displaystyle |\varphi '(-r)|={\frac {1}{2{\sqrt {r}}}}} rad ⁡ ( i r , H ) = 2 r {\displaystyle \operatorname {rad} (i{\sqrt {r}},\mathbb {H} )=2{\sqrt {r}}}

無限からのバージョン：超限直径と対数容量

D ⊂ Cが連結かつ単連結なコンパクト集合であるとき、その補集合E = D cはリーマン球面上の連結かつ単連結な領域で、∞を含む[引用が必要]であり、次のように定義できる。

rad ⁡ ( ∞ , D ) := 1 rad ⁡ ( ∞ , E ) := lim z → ∞ f ( z ) z , {\displaystyle \operatorname {rad} (\infty ,D):={\frac {1}{\operatorname {rad} (\infty ,E)}}:=\lim _{z\to \infty }{\frac {f(z)}{z}},}

ここでf  : C \ D → Eは f(∞) = ∞ を満たす唯一の全単射共形写像であり、その極限は正の実数である。つまり、次の形の共形写像である。

f ( z ) = c 1 z + c 0 + c − 1 z − 1 + ⋯ , c 1 ∈ R + . {\displaystyle f(z)=c_{1}z+c_{0}+c_{-1}z^{-1}+\cdots ,\qquad c_{1}\in \mathbf {R} _{+}.}

係数c 1 = rad(∞, D )はDの超限直径と（対数）容量に等しい。Pommerenke（1975）[1]とKuz′mina（2002）[2]の第11章を参照。

係数c 0はDの共形中心と呼ばれる。これはDの凸包に含まれることが示され、さらに、

D ⊆ { z : | z − c 0 | ≤ 2 c 1 } , {\displaystyle D\subseteq \{z:|z-c_{0}|\leq 2c_{1}\}\,,}

ここで、半径2c1は長さ4c1の直線部分に対して鋭角である。Pommerenke (1975)の12～13ページおよび第11章を参照。[1]

フェケテ定数、チェビシェフ定数、修正チェビシェフ定数

超限直径と等しい他の3つの量を定義しますが、これらは全く異なる観点から定義されています。

d ( z 1 , … , z k ) := ∏ 1 ≤ i < j ≤ k | z i − z j | {\displaystyle d(z_{1},\ldots ,z_{k}):=\prod _{1\leq i<j\leq k}|z_{i}-z_{j}|}

点のペアワイズ距離の積を表し、コンパクトセットD⊂Cに対して次の量を定義します。 z 1 , … , z k {\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{k}}

d n ( D ) := sup z 1 , … , z n ∈ D d ( z 1 , … , z n ) 1 / ( n 2 ) {\displaystyle d_{n}(D):=\sup _{z_{1},\ldots ,z_{n}\in D}d(z_{1},\ldots ,z_{n})^{1\left/{\binom {n}{2}}\right.}}

言い換えれば、はD内のn点の対距離の幾何平均の上限です。D はコンパクトであるため、この上限は実際には点の集合によって達成されます。このようなn点集合はフェケテ集合と呼ばれます。 d n ( D ) {\displaystyle d_{n}(D)}

限界は存在し、それはフェケテ定数と呼ばれます。 d ( D ) := lim n → ∞ d n ( D ) {\displaystyle d(D):=\lim _{n\to \infty }d_{n}(D)}

ここで、C [ x ]のn次の単項式全体の集合を とし、Dのすべてゼロの多項式全体の集合をとし、次のように定義する。 P n {\displaystyle {\mathcal {P}}_{n}} Q n {\displaystyle {\mathcal {Q}}_{n}} P n {\displaystyle {\mathcal {P}}_{n}}

μ n ( D ) := inf p ∈ P n sup z ∈ D | p ( z ) | {\displaystyle \mu _{n}(D):=\inf _{p\in {\mathcal {P}}_{n}}\sup _{z\in D}|p(z)|} そして μ ~ n ( D ) := inf p ∈ Q n sup z ∈ D | p ( z ) | {\displaystyle {\tilde {\mu }}_{n}(D):=\inf _{p\in {\mathcal {Q}}_{n}}\sup _{z\in D}|p(z)|}

そして限界

μ ( D ) := lim n → ∞ μ n ( D ) 1 / n {\displaystyle \mu (D):=\lim _{n\to \infty }\mu _{n}(D)^{1/n}} そして μ ( D ) := lim n → ∞ μ ~ n ( D ) 1 / n {\displaystyle \mu (D):=\lim _{n\to \infty }{\tilde {\mu }}_{n}(D)^{1/n}}

存在し、それぞれチェビシェフ定数と修正チェビシェフ定数と呼ばれます。マイケル・フェケテとガボール・セゲーは、これらの定数が等しいことを証明しました。[要出典]

アプリケーション

共形半径は、例えばシュラム・レーヴナー展開を扱う際に非常に有用なツールです。その好例は、Lawler, Schramm & Werner (2002) に見ることができます。[3]

参考文献

  1. ^ ab ポメレンケ、クリスチャン(1975)。一価関数。 Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher。 Vol.バンドXXV。 Gerd Jensen による二次微分に関する章付き。ゲッティンゲン：ファンデンフック＆ループレヒト。Zbl  0298.30014。
  2. ^ Kuz′mina, GV (2002) [1994]、「領域の共形半径」、数学百科事典、EMSプレス
  3. ^ Lawler, Gregory; Schramm, Oded; Werner, Wendelin (2002-01-01). 「臨界2次元パーコレーションにおける片腕指数」. Electronic Journal of Probability . 7 (none). doi : 10.1214/EJP.v7-101 . ISSN  1083-6489.

さらに読む

  • プー、チャールズ、等角半径MathWorldより— Eric W. Weisstein が作成した Wolfram Web リソース。
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