論理
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モーダスポネンスを用いた推論の描写
論理学では、可能性の仮定のような有効な推論形式を研究します。

論理学は正しい推論を研究する学問です。形式論理と非形式論理の両方が含まれます。形式論理は、演繹的に妥当な推論、つまり論理的真理を研究する学問です。議論の主題や内容とは無関係に、議論の構造のみに基づいて、前提から結論がどのように導かれるかを考察します。非形式論理は、非形式的誤謬、批判的思考、議論理論と関連しています。非形式論理は自然言語で表現された議論を考察しますが、形式論理は形式言語を使用します。可算名詞として使用される「論理」という用語は、証明体系を明確に表現する特定の論理形式体系を指します。論理学は、哲学、数学、コンピュータサイエンス、言語学など、多くの分野で中心的な役割を果たしています。

論理学では、一連の前提から結論に至る議論を研究します。例えば、「今日は日曜日だ」と「日曜日なら働かなくていい」という前提から、「働かなくていい」という結論に至る議論があります。[ 1 ]前提と結論は、真または偽となり得る命題または主張を表します。命題の重要な特徴はその内部構造です。例えば、複雑な命題は、( and ) や( if.​​..then )などの論理語彙で結び付けられたより単純な命題で構成されています。単純な命題にも、この例の「日曜日」や「仕事」のように、部分があります。命題の真偽は通常、そのすべての部分の意味に依存します。しかし、論理的に正しい命題の場合はそうではありません。それらは、個々の部分の具体的な意味とは無関係な論理構造によってのみ真となります。 ∧{\displaystyle \land}→{\displaystyle \to}

議論は正しいか間違っているかのどちらかである。前提が結論を支持している場合、議論は正しい。演繹的議論は最も強力な支持形式を持ち、前提が真であれば結論も真でなければならない。これは前提にはない真に新しい情報に到達する拡張的議論には当てはまらない。日常会話や科学における多くの議論は拡張的議論である。これらは帰納的議論と帰納的議論に分けられる。帰納的議論は統計的な一般化であり、例えば黒いワタリガラスの多数の個々の観察に基づいてすべてのワタリガラスは黒いと推論するなどである。[ 2 ]帰納的議論は最善の説明への推論であり、例えば医師が患者が特定の病気にかかっており、それが患者の症状を説明できると結論付ける場合などである。[ 3 ]正しい推論の基準に達しない議論は、多くの場合誤謬を体現している。論理体系は議論の正しさを評価するための理論的枠組みである。

論理学は古代から研究されてきました。初期のアプローチには、アリストテレス論理学、ストア論理学、ニヤーヤ学、墨家主義などがあります。アリストテレス論理学は、三段論法の形での推論に重点を置いています。西洋世界では、ゴットロブ・フレーゲなどの19世紀後半の数学者の研究に起源を持つ現代形式論理学に取って代わられるまで、主要な論理体系と考えられていました。今日、最も一般的に使用されている体系は古典論理学です。これは、命題論理と一階述語論理で構成されています。命題論理は、完全な命題間の論理関係のみを考慮します。一階述語論理は、述語や量指定子など、命題の内部部分も考慮します。拡張論理学は、古典論理の背後にある基本的な直観を受け入れ、それを形而上学、倫理学、認識論などの他の分野に適用します。一方、逸脱論理は、特定の古典的な直観を拒否し、論理の基本法則の代替的な説明を提供します。

意味

「論理」という言葉はギリシャ語の「ロゴス」に由来し、推論、談話、言語など様々な訳語があります。[ 4 ]論理学は伝統的に思考法則や正しい推論の研究と定義され、[ 5 ]通常、推論や議論として理解されます。推論とは推論を導く活動です。議論とは推論の外的な表現です。[ 6 ]議論とは、前提と結論の集合です。論理学は、議論が正しいかどうか、つまり前提が結論を支持しているかどうかに関心を持ちます。[ 7 ]これらの一般的な特徴は、最も広い意味での論理学、つまり形式論理と非形式論理の両方に当てはまります。なぜなら、どちらも議論の正しさを評価することに関心があるからです。[ 8 ]形式論理は伝統的に支配的な分野であり、一部の論理学者は論理学を形式論理に限定しています。[ 9 ]

形式論理

形式論理（記号論理とも呼ばれる）は数理論理学において広く用いられている。形式論理は推論を研究するための形式的なアプローチであり、具体的な表現を抽象的な記号に置き換えて、議論の論理形式をその具体的な内容とは独立して検証する。この意味で、形式論理は議論の抽象的な構造のみを対象とし、具体的な内容には関心がないため、トピック中立である。[ 10 ]

形式論理学は、前提が真であれば結論も真となるような演繹的に有効な議論に着目する。つまり、前提が真で結論が偽ということはあり得ない。 [ 11 ]有効な議論の場合、前提から結論に至る論理構造は推論規則と呼ばれるパターンに従う。[ 12 ]例えば、モーダス・ポネンス（modus ponens）は推論規則であり、これによれば「(1) p、(2) pならばq、(3) したがってq 」という形式の議論はすべて 、 pとqの意味に関わらず有効となる。 [ 13 ]この意味で、形式論理学は有効な推論の科学と定義できる。別の定義では、論理学は論理的真理の研究である。[ 14 ]ある命題が論理的に真であるとは、その真理性がその中で用いられる論理語彙のみに依存する場合を言う。これは、あらゆる可能世界において、そして「雨が降っているか降っていないかのどちらかである」という主張のように、その非論理的用語のあらゆる解釈において真であることを意味します。 [ 15 ]形式論理のこれら2つの定義は同一ではありませんが、密接に関連しています。例えば、pからqへの推論が演繹的に妥当であれば、「 pならばq 」という主張は論理的に真理です。[ 16 ]

英語の文章を一階述語論理に翻訳する方法の視覚化
形式論理では、自然言語の議論が妥当かどうかを評価するために、一階述語論理のような形式言語に翻訳する必要があります。この例では、文字「c」はカルメンを表し、「M」と「T」はそれぞれ「メキシコ人」と「先生」を表しています。記号「∧」は「and」の意味を持ちます。

形式論理は、形式言語を用いて議論を表現、分析、明確化します。[ 17 ]通常、形式論理は非常に限られた語彙と厳密な統語規則を持ちます。これらの規則は、記号をどのように組み合わせて文、いわゆる整形式式を構築するかを規定します。[ 18 ]形式論理のこの単純さと正確さにより、形式論理は正確な推論規則を定式化することができます。これらの規則は、与えられた議論が妥当かどうかを判断します。[ 19 ]形式言語に依存しているため、自然言語の議論を直接研究することはできません。その妥当性を評価するには、形式言語に翻訳する必要があります。 [ 20 ]

「論理」という用語は、可算名詞として、少し異なる意味でも用いられる。この意味で、論理とは論理的な形式体系である。論理はそれぞれ、妥当とみなす推論規則と、それらを表現するために用いられる形式言語に関して異なる。[ 21 ] 19世紀後半以降、多くの新しい形式体系が提案されてきた。形式体系を論理とみなす基準については、意見の相違がある。[ 22 ]例えば、一階述語論理のような論理的に完全な体系だけが論理であると示唆されてきた。このような理由から、高階論理が厳密な意味で論理であることを否定する理論家もいる。[ 23 ]

非形式論理

広い意味で理解すると、論理は形式論理と非形式論理の両方を包含する。[ 24 ]非形式論理は、非形式的な基準と標準を用いて議論の正しさを分析・評価する。その主な焦点は日常的な談話である。[ 25 ]非形式論理の発展は、形式論理の洞察を自然言語の議論に適用することの難しさから促された。[ 26 ]この点で、非形式論理は、形式論理だけでは対処できない問題を考察する。[ 27 ]どちらも議論の正しさを評価し、誤謬と区別するための基準を提供する。[ 28 ]

非形式論理には多くの特徴づけが提案されているが、その正確な定義については一般的な合意が得られていない。[ 29 ]最も文字通りのアプローチでは、「形式的」と「非形式的」という用語を、議論を表現するために使用される言語に適用する。この見解では、非形式論理は非形式言語または自然言語で書かれた議論を研究する。[ 30 ]形式論理は議論をまず形式言語に翻訳することによって間接的にしか検討できないのに対し、非形式論理は議論を元の形式で調査する。[ 31 ]この見解では、「鳥は飛ぶ。トゥイーティーは鳥である。したがって、トゥイーティーは飛ぶ。」という議論は自然言語に属し、非形式論理によって検討される。しかし、形式的な翻訳である「(1) ; (2) ; (3) 」は形式論理によって研究される。[ 32 ]自然言語の議論の研究には様々な困難が伴う。例えば、自然言語表現はしばしば曖昧で、漠然としており、文脈に依存する。[ 33 ]別のアプローチでは、非形式論理を広い意味で、議論の基準、判断基準、および手順に関する規範的研究と定義しています。この意味で、非形式論理には合理性、批判的思考、そして議論の心理学の役割に関する問いが含まれます。[ 34 ]た×（B私rd（×）→Fl私es（×））{\displaystyle \forall x(鳥(x)\to ハエ(x))}B私rd（Tわeety）{\displaystyle 鳥(トゥイーティー)}Fl私es（Tわeety）{\displaystyle ハエ(トゥイーティー)}

別の特徴づけとして、非形式論理学は非演繹的議論の研究と同一視される。このように、非形式論理学は形式論理学によって検証される演繹的推論とは対照的である。[ 35 ]非演繹的議論は結論を蓋然的にするが、それが真であることを保証するものではない。一例として、「私がこれまで見たカラスはすべて黒い」という経験的観察から「すべてのカラスは黒い」という結論に至る帰納的議論が挙げられる。 [ 36 ]

さらなるアプローチとして、非形式論理を非形式的誤謬の研究と定義するものがある。[ 37 ]非形式的誤謬とは、議論の内容と文脈に誤りがある誤った議論である。 [ 38 ]例えば、偽のジレンマは、実行可能な選択肢を除外することで内容の誤りを伴う。これは、「あなたは我々に味方するか、我々に敵対するかのどちらかである。我々に味方しない。したがって、あなたは我々に敵対する」という誤謬に当てはまる。[ 39 ]一部の理論家は、形式論理は議論の一般的な形式を研究するのに対し、非形式論理は議論の具体的な事例を研究すると主張する。別のアプローチとして、形式論理は正しい推論における論理定数の役割のみを考慮するのに対し、非形式論理は実質的概念の意味も考慮すると主張するものがある。さらに別のアプローチでは、形式的な装置の有無にかかわらず論理的トピックの議論、および議論の評価における認識論の役割に焦点を当てている。[ 40 ]

基本概念

前提、結論、そして真実

前提と結論

前提と結論は推論や議論の基本的な要素であり、論理において中心的な役割を果たします。有効な推論や正しい議論の場合、結論は前提から導き出されます。言い換えれば、前提は結論を裏付けています。[ 41 ]例えば、「火星は赤い」と「火星は惑星である」という前提は、「火​​星は赤い惑星である」という結論を裏付けています。ほとんどの論理において、前提と結論は真理値を持つ必要があるとされています。[ 41 ] [ a ]これは、前提と結論が真理値を持つことを意味します。つまり、それらは真か偽かのいずれかです。現代哲学では、前提と結論は一般的に命題または文として扱われます。[ 43 ]命題は文の表示であり、通常は抽象的な対象として扱われます。[ 44 ]例えば、英語の文「木は緑色である」はドイツ語の文「木は緑色である」とは異なりますが、どちらも同じ命題を表現しています。[ 45 ]

前提と結論に関する命題理論は、抽象的な対象に依存しているという理由でしばしば批判される。例えば、哲学的自然主義者は通常、抽象的な対象の存在を否定する。命題の同一性基準を特定することに伴う困難に関する議論もある。[ 43 ]これらの反論は、前提と結論を命題としてではなく文、すなわち本のページに表示されている記号のような具体的な言語対象として捉えることで回避される。しかし、このアプローチには新たな問題が伴う。文はしばしば文脈依存的で曖昧であり、議論の妥当性はその部分だけでなく、文脈や解釈方法にも依存することになる。[ 46 ]別のアプローチは、前提と結論を心理学的な観点から思考や判断として理解することである。この立場は心理主義として知られている。20世紀初頭に長々と議論されたが、今日では広く受け入れられていない。[ 47 ]

内部構造

前提と結論は内部構造を持つ。命題または文として、それらは単純または複合のいずれかである。[ 48 ]複合命題は、その構成要素として他の命題を持ち、それらは「そして」や「もし…ならば」といった命題接続詞によって互いに結び付けられている。一方、単純命題は命題部分を持たない。しかし、それらは内部構造を持つと考えることもできる。すなわち、単数名詞や述語といった部分命題部分から構成される。[ 49 ] [ 48 ]例えば、「火星は赤い」という単純命題は、単数名詞「火星」に述語「赤い」を適用することによって形成される。対照的に、「火星は赤く、金星は白い」という複合命題は、命題接続詞「そして」によって結合された2つの単純命題から構成される。[ 49 ]

命題が真であるかどうかは、少なくとも部分的には、その構成要素に依存する。真理関数的命題接続詞を用いて形成される複雑な命題の場合、その真偽は構成要素の真理値のみに依存する。[ 49 ] [ 50 ]しかし、この関係は単純命題とその部分命題部分の場合、より複雑になる。これらの部分命題部分は、オブジェクトやオブジェクトのクラスを参照するなど、独自の意味を持つ。[ 51 ]それらが形成する単純命題が真であるかどうかは、現実との関係、すなわち、それらが参照するオブジェクトがどのようなものであるかに依存する。このテーマは指示理論によって研究される。[ 52 ]

論理的真実

複合命題の中には、その構成要素の実質的意味とは独立して真となるものがある。[ 53 ]例えば、古典論理学では、「火星は赤いか、赤くないかのどちらかである」という複合命題は、「火星は赤い」という単純命題のような構成要素が真であるか偽であるかに関わらず真である。このような場合、その真理は論理的真理と呼ばれる。命題が論理的に真であるとは、その真理がその中で用いられる論理的語彙のみに依存することを意味する。[ 54 ]これは、その命題が、その非論理的用語のあらゆる解釈において真であることを意味する。一部の様相論理学では、これは命題があらゆる可能世界において真であることを意味する。[ 55 ]一部の理論家は、論理を論理的真理の研究と定義している。[ 16 ]

真理値表

真理値表は、論理接続詞がどのように機能するか、あるいは複雑な命題の真理値がその構成要素によってどのように変化するかを示すために使用できます。真理値表には、入力変数ごとに1つの列があります。各行は、これらの変数が取り得る真理値の組み合わせの1つに対応しています。英語文献で提示される真理値表では、「T」と「F」、または「1」と「0」という記号が、真理値「真」と「偽」の略語として一般的に使用されています。[ 56 ]最初の列には、入力変数のすべての可能な真理値の組み合わせが示されています。他の列には、入力値によって決定される対応する式の真理値が示されています。例えば、式「」p∧q{\displaystyle p\land q}は論理接続詞（および）を使用しています。これは、「昨日は日曜日で、天気は良かった」のような文を表すのに使用できます。この文は、入力変数（「昨日は日曜日だった」）と（「天気は良かった」）の両方が真の場合にのみ真となります。それ以外の場合、式全体は偽となります。その他の重要な論理接続詞には、( not )、( or )、( if...then )、( Sheffer stroke ) などがあります。[ 57 ]条件命題 が与えられれば、その逆命題、その逆命題( )、その対偶命題( )の真理値表を作成できます。また、複数の命題接続詞を使用するより複雑な式に対しても真理値表を定義することができます。[ 58 ]∧{\displaystyle \land}p{\displaystyle p}q{\displaystyle q}¬{\displaystyle \lnot }∨{\displaystyle \lor}→{\displaystyle \to}↑{\displaystyle \uparrow}p→q{\displaystyle p\to q}q→p{\displaystyle q\to p}¬p→¬q{\displaystyle \lnot p\to \lnot q}¬q→¬p{\displaystyle \lnot q\to \lnot p}

様々な表現の真理値表
pqp∧q​​p ∨ qp → q¬p → ¬qp q↑{\displaystyle \uparrow}
TTTTTTF
TFFTFTT
FTFTTFT
FFFFTTT

議論と推論

論理学は一般的に、議論や推論の観点から、それらの正しさを研究するものと定義されます。[ 59 ]議論とは、一連の前提と結論です。[ 60 ]推論とは、これらの前提から結論へと推論する過程です。[ 43 ]しかし、論理学ではこれらの用語はしばしば互換的に使用されます。議論が正しいか間違っているかは、その前提が結論を支持しているかどうかによって決まります。一方、前提と結論は、現実と一致しているかどうかによって真か偽かが決まります。形式論理学では、健全な議論とは、正しく、かつ真の前提のみを持つ議論のことです。[ 61 ]単純な議論と複雑な議論を区別する場合もあります。複雑な議論は、単純な議論の連鎖で構成されています。つまり、1つの議論の結論が、後の議論の前提として機能するということです。複雑な議論が成功するためには、連鎖の各リンクが成功していなければなりません。[ 43 ]

論理学で使用される議論用語の図
論理学で使用される議論用語

議論や推論は正しいか間違っているかのどちらかである。正しい場合、その前提が結論を裏付けている。間違っている場合、この裏付けが欠けている。裏付けは推論の種類に応じて異なる形をとることがある。[ 62 ]最も強力な裏付けの形は演繹的推論に対応する。しかし、演繹的に妥当でない議論であっても、その前提が結論を非演繹的に裏付けているため、依然として良い議論となる場合がある。このような場合、増幅的推論または帰納的推論という用語が使用される。[ 63 ]演繹的議論は形式論理に関連付けられ、増幅的議論と非形式論理の関係とは対照的である。[ 64 ]

演繹的

演繹的に妥当な議論とは、その前提が結論の真偽を保証する議論である。[ 11 ]例えば、「(1) すべてのカエルは両生類である。(2) 猫は両生類ではない。(3) したがって、猫はカエルではない」という議論は演繹的に妥当である。演繹的妥当性においては、前提または結論が実際に真であるかどうかは問題ではない。したがって、「(1) すべてのカエルは哺乳類である。(2) 猫は哺乳類ではない。(3) したがって、猫はカエルではない」という議論も、結論が前提から必然的に導かれるため妥当である。[ 65 ]

アルフレッド・タルスキの影響力のある見解によれば、演繹的議論には3つの重要な特徴がある。(1) 形式的である、すなわち前提と結論の形式のみに依存する。(2) 先験的である、すなわち成立するかどうかを判断するのに感覚経験は必要ない。(3) 様相的である、すなわち与えられた命題に対して論理的必然性によって成立し、他の状況とは無関係である。 [ 66 ]

演繹的推論は、形式性を重視するという第一の特徴から、通常は推論規則と同一視されます。[ 67 ]推論規則は前提と結論の形式、すなわち推論が有効であるためには前提と結論がどのように構成されている必要があるかを指定します。推論規則に従わない議論は演繹的に無効です。[ 68 ]推論規則の一つに、前置法（ modus ponens）があります。これは「 p ; もしpならばq ; ゆえにq」という形式をとります。 [ 69 ]雨が降ったばかり（）こと、そして雨が降った後、道路が濡れている（）ことを知っていれば、前置法を用いて道路が濡れている（）と推論することができます。[ 70 ]p{\displaystyle p}p→q{\displaystyle p\to q}q{\displaystyle q}

3つ目の特徴は、演繹的に妥当な推論は真理保存的であるという点によって表現できる。つまり、前提が真で結論が偽ということはあり得ない。[ 71 ]この特徴のため、前提に存在しない新しい情報に結論が到達できないため、演繹的推論は無情報であるとしばしば主張される。[ 72 ]しかし、この点は必ずしも受け入れられるわけではない。なぜなら、例えば、数学の大部分は無情報であることを意味するからである。別の特徴づけとして、表層情報と深層情報を区別するものがある。文の表面情報とは、文が明示的に提示する情報である。深層情報とは、文に含まれる明示的および暗黙的に含まれる情報の総体である。この見解によれば、演繹的推論は深層レベルでは無情報である。しかし、暗黙的情報を明示することで、表層レベルでは非常に有益な情報となり得る。これは例えば、数学の証明において見られる。[ 73 ]

増幅型

増幅的議論とは、その結論に前提にはない追加情報が含まれる議論である。この点で、それらはより興味深い。なぜなら、それらは深いレベルの情報を含み、思考者が真に新しい何かを学べるかもしれないからである。しかし、この特徴には一定の犠牲が伴う。前提は結論を支持するが、その意味では結論の真性を高めるが、その真性を保証するわけではない。[ 74 ]これは、増幅的議論の結論は、その前提がすべて真であっても誤りである可能性があることを意味する。この特徴は、非単調性および否認可能性と密接に関連している。すなわち、新しい情報を受け取ったとき、または新たに導かれた推論に照らして、以前の結論を撤回する必要があるかもしれない。[ 75 ]増幅的推論は、日常会話や科学における多くの議論において中心的な役割を果たしている。増幅的議論は自動的に間違っているわけではない。むしろ、それらは正しさの基準が異なるだけである。それらが結論に提供する支持には、通常、程度がある。これは、強い増幅的議論はその結論を非常に確からしくするが、弱いものはそれほど確実ではないことを意味する。その結果、前提が弱いながらも無視できない根拠を示している場合など、正しい議論と誤った議論の境界線が曖昧になる場合があります。これは、有効か無効かのどちらかしかなく、中間がない演繹的議論とは対照的です。[ 76 ]

増幅的議論を分類する用語法には一貫性がない。ジェームズ・ホーソーンのような著者は、「帰納法」という用語を、演繹的ではない議論のあらゆる形態を包含するものとして用いている。[ 77 ]しかし、より狭義には、帰納法はアブダクション的議論と並んで増幅的議論の一種に過ぎない。[ 78 ]レオ・グロアークのような哲学者も、伝導的議論[ b ]を別の種類として認めている。 [ 79 ]この狭義には、帰納法は統計的一般化の一形態として定義されることが多い。[ 80 ]この場合、帰納的議論の前提は、すべてが特定のパターンを示す多数の個々の観察である。したがって、結論は、このパターンが常に成り立つという一般法則である。[ 81 ]この意味では、過去の象の色に関する観察に基づいて、「すべての象は灰色である」と推論することができる。[ 78 ]帰納的推論によく似た形態では、結論として一般法則ではなく、より具体的な例が挙げられます。例えば、まだ見たことのない象も灰色であると推論する場合などです。[ 81 ]イゴール・ドゥーヴェンのような理論家は、帰納的推論は統計的考察のみに基づいていると主張しています。このように、帰納的推論は帰納的推論とアブダクション的推論を区別することができます。[ 78 ]

アブダクション推論では、統計的観察が考慮される場合と考慮されない場合があります。いずれの場合も、前提は結論を支持します。なぜなら、結論は前提が真である理由を最もよく説明しているからです。 [ 82 ]この意味で、アブダクションは最善の説明への推論とも呼ばれます。[ 83 ]例えば、早朝にキッチンにパンくずの付いた皿があるという前提が与えられた場合、ハウスメイトが夜食を食べて疲れていてテーブルを拭けなかったという結論を推論することができます。この結論は、キッチンの現在の状態を最もよく説明しているため、正当化されます。[ 78 ]アブダクションでは、結論が前提を説明するだけでは十分ではありません。例えば、昨夜泥棒が家に侵入し、仕事中にお腹が空いたので夜食を食べたという結論も、キッチンの状態を説明できます。しかし、この結論は最善または最も可能性の高い説明ではないため、正当化されません。[ 82 ] [ 83 ]

誤謬

すべての議論が正しい推論の基準を満たしているわけではありません。満たしていない場合、それらは通常、誤謬と呼ばれます。その中心的な側面は、結論が間違っていることではなく、その結論に至る推論に何らかの欠陥があることです。[ 84 ]例えば、「今日は晴れている。したがって、クモは8本の足を持っている」という議論は、結論が正しいとしても誤謬です。ジョン・スチュアート・ミルのような理論家は、誤謬がより厳密に定義されており、さらに、誤謬が正しいように見えることも条件としています。[ 85 ]このように、真の誤謬は、不注意による単なる推論の誤りと区別することができます。これは、人々が誤謬を犯しやすい理由を説明しています。誤謬には、人々を誘惑し、誤謬を犯して受け入れさせる魅力的な要素があるからです。[ 86 ]しかし、この「見かけ」への言及は、論理学ではなく心理学の分野に属し、また、人によって見かけが異なる可能性があるため、議論の的となっています。[ 87 ]

1901年のポスター
若いアメリカのジレンマ：賢く偉大になるべきか、それとも裕福で権力者になるべきか？（1901年のポスター）。これは誤ったジレンマ、つまり実行可能な選択肢を排除する選言的前提を用いた非形式的誤謬の一例です。

誤謬は通常、形式的誤謬と非形式的誤謬に分けられます。[ 38 ]形式的誤謬の場合、誤りの原因は議論の形式にあります。例えば、「オセロが独身であれば、彼は男性である。オセロは独身ではない。したがって、オセロは男性ではない」のように、前提を否定することは形式的誤謬の一種です。 [ 88 ]しかし、ほとんどの誤謬は非形式的誤謬のカテゴリーに分類され、学術文献では多種多様な非形式的誤謬が議論されています。誤りの原因は通常、議論の内容または文脈にあります。 [ 89 ]非形式的誤謬は、曖昧性の誤謬、推定の誤謬、関連性の誤謬に分類されることがあります。曖昧性の誤謬の場合、自然言語の曖昧さと不明瞭さがその欠陥の原因です。例えば、「羽は軽い。軽いものは暗くなるはずがない。したがって、羽は暗くなるはずがない」のように。[ 90 ]推定の誤謬は誤った、あるいは不当な前提に基づいていますが、それ以外では妥当である可能性があります。[ 91 ]関連性の誤謬の場合、前提は結論に関連しないため、結論を支持しません。[ 92 ]

定義と戦略のルール

ほとんどの論理学者の主な研究対象は、議論が正しいか間違っているかを判断する基準を研究することです。これらの基準に違反すると誤謬となります。形式論理学では、これらは推論規則として知られています。[ 93 ]これらは定義的規則であり、推論が正しいか、またはどのような推論が許されるかを決定します。定義的規則は戦略的規則とは対照的です。戦略的規則は、一連の前提に基づいて、与えられた結論に到達するために必要な推論の動きを指定します。この区別は論理だけでなくゲームにも当てはまります。例えばチェスでは、定義的規則はビショップが斜めにしか動けないことを規定します。一方、戦略的規則は、例えばセンターをコントロールしたり、キングを守ったりすることで、ゲームに勝つために許可された動きをどのように使用できるかを規定します。 [ 94 ]戦略的規則は効果的な推論に非常に関連しているため、論理学者は戦略的規則をより重視すべきだと主張されてきました。[ 93 ]

形式システム

形式論理体系は、形式言語、公理の集合、そしてこれらの公理から推論を導くための証明体系から構成される。 [ 95 ]論理学において、公理とは証明なしに受け入れられる命題である。公理は他の命題を正当化するために用いられる。[ 96 ]一部の理論家は、形式言語の表現が現実の物体とどのように関係するかを規定する意味論も形式論理体系に含める。 [ 97 ] 19世紀後半以降、多くの新しい形式論理体系が提案されてきた。[ 98 ]

形式言語はアルファベットと統語規則から構成される。アルファベットとは、式で使用される基本記号の集合である。統語規則は、これらの記号をどのように配置すれば整形式の式になるかを決定する。[ 99 ]例えば、命題論理の統語規則は、 「」P∧質問{\displaystyle P\land Q}は整形式の式であるが、「」∧質問{\displaystyle \land Q}は論理積が両辺に項を必要とするため、整形式の式ではないと決定する。 [ 100 ]∧{\displaystyle \land}

証明体系とは、形式的な証明を構築するための規則の集合である。これは、公理の集合から結論を導き出すためのツールである。証明体系における規則は、式の具体的な内容とは独立して、式の構文形式に基づいて定義される。例えば、古典的な連言導入規則は、前提とから が導かれることを述べている。このような規則は順次適用することができ、前提から結論を生成する機械的な手順を与える。証明体系には、自然演繹やシーケント計算など、様々な種類がある。[ 101 ]P∧質問{\displaystyle P\land Q}P{\displaystyle P}質問{\displaystyle Q}

意味論とは、形式言語の表現をその表記にマッピングする体系である。多くの論理体系において、表記は真理値である。例えば、古典的な命題論理の意味論では、とが真であるときはいつでも、論理式に「真」という表記を割り当てる。意味論的観点から見ると、前提が真であるとき常に結論が真であるならば、前提は結論を含意する。[ 102 ]P∧質問{\displaystyle P\land Q}P{\displaystyle P}質問{\displaystyle Q}

論理体系が健全であるとは、その証明体系が前提の集合から結論を導き出す際に、その前提が意味的に含意しない限り、その結論を導き出すことができない場合を言う。言い換えれば、その証明体系は意味論によって定義される誤った結論を導くことはできない。論理体系が完全であるとは、その証明体系が前提によって意味的に含意されるすべての結論を導き出すことができる場合を言う。言い換えれば、その証明体系は意味論によって定義されるあらゆる真の結論を導くことができる。このように、健全性と完全性は、妥当性と含意の概念が完全に一致する論理体系を記述する。[ 103 ]

論理体系

論理体系とは、推論や議論の正しさを評価するための理論的枠組みである。2000年以上にわたり、西洋世界ではアリストテレス論理学が論理学の正典とされてきた[ 104 ]が、この分野における近代的発展は、論理体系の急増をもたらした[ 105 ] 。現代の形式論理体系は、古典論理、拡張論理、逸脱論理の3つに大きく分けられる。[ 106 ]

アリストテレス派

アリストテレス論理学は多岐にわたる主題を網羅しています。存在論的範疇に関する形而上学的テーゼや科学的説明の問題などが含まれます。しかし、より狭義には、ターム論理学や三段論法と同一です。三段論法とは、2つの前提と1つの結論という3つの命題からなる議論の一形態です。それぞれの命題は、主語、述語、そして主語と述語を繋ぐコピュラという3つの本質的な部分から構成されています。 [ 107 ]例えば、「ソクラテスは賢い」という命題は、「ソクラテス」という主語、述語「賢い」、そしてコピュラ「である」から構成されています。[ 108 ]主語と述語は命題の項です。アリストテレス論理学には、単純な命題から構成される複雑な命題は存在しません。この点において、任意の2つの命題を「and」などの論理接続詞で結び付けて新たな複雑な命題を形成できる命題論理学とは異なります。[ 109 ]

反対の正方形の図
対立の四角形は、アリストテレス論理における4つの基本的な定言命題の関係を視覚化するためによく用いられます。例えば、「すべてのSはPである」という命題と「一部のSはPではない」という命題は矛盾しており、どちらか一方が真であればもう一方は偽であることを示します。

アリストテレス論理学において、主語は普遍的、個別的、不定的、または単数的である。例えば、「すべての人間」という語は、「すべての人間は死ぬ」という命題における普遍的主語である。これを「一部の人間」という特定的語、不定的語「一人の人間」、あるいは単数的語「ソクラテス」に置き換えることで、同様の命題を構成できる。[ 110 ]

アリストテレス論理学は、実体の単純な性質に対応する述語のみを含む。しかし、実体間の関係に対応する述語は欠いている。 [ 111 ]述語は、主語を肯定するか否定するかの2つの方法で主語に結び付けられる。[ 112 ]例えば、「ソクラテスは猫ではない」という命題は、主語「ソクラテス」に対する述語「猫」の否定を含む。主語と述語の組み合わせを用いることで、多種多様な命題や三段論法を形成することができる。三段論法は、前提がそれぞれ1つの項を共有することで互いに、そして結論に結び付けられているという特徴を持つ。[ 113 ]したがって、これら3つの命題は、主項、副項、中間項と呼ばれる3つの項を含む。[ 114 ]アリストテレス論理学の中心的な側面は、あらゆる可能な三段論法を、命題がどのように構成されているかに基づいて、有効な論証と無効な論証に分類することである。[ 112 ] [ 115 ]例えば、「すべての人間は死ぬ。ソクラテスは人間である。ゆえにソクラテスは死ぬ」という三段論法は有効である。一方、「すべての猫は死ぬ。ソクラテスは死ぬ。ゆえにソクラテスは猫である」という三段論法は無効である。[ 116 ]

クラシック

古典論理は、伝統的論理やアリストテレス論理とは異なります。古典論理は命題論理と一階述語論理を包含します。古典論理が「古​​典的」であるのは、ほとんどの論理学者が共有する基本的な論理的直観に基づいているという意味でです。[ 117 ]これらの直観には、排中律、二重否定消去、爆発原理、真理の二価性などが含まれます。 [ 118 ]古典論理はもともと数学的議論を分析するために開発され、後に他の分野にも応用されました。このように数学に重点を置いているため、他の多くの哲学的に重要なテーマに関連する論理語彙は含まれていません。古典論理が見落としている概念の例としては、必然性と可能性の対比や倫理的義務と許可の問題などが挙げられます。同様に、過去、現在、未来の関係についても扱いません。[ 119 ]このような問題は拡張論理によって扱われます。拡張論理は古典論理の基本的な直観を基盤とし、新しい論理語彙を導入することで古典論理を拡張します。このようにして、厳密な論理的アプローチは、数学の範囲を超えた倫理学や認識論などの分野に適用される。 [ 120 ]

命題論理

命題論理は、論理接続詞を用いて原子命題から論理式を構築する形式体系から構成される。例えば、命題論理は、 2つの原子命題と の連言を複雑な論理式 として表現する。項と述語が最小単位である述語論理とは異なり、命題論理は真理値を持つ完全な命題を最も基本的な構成要素とする。[ 121 ]したがって、命題論理は、単純な命題から複雑な命題が構築される方法から生じる論理関係のみを表現できる。命題の内部構造から生じる推論を表現することはできない。[ 122 ]P{\displaystyle P}質問{\displaystyle Q}P∧質問{\displaystyle P\land Q}

一階論理

ゴットロープ・フレーゲが全称量化子として導入した記号
ゴットロープ・フレーゲの『Begriffsschrift』では、グラフ表記法で量指定子の概念が導入されており、ここでは真である判断を表しています。た×。F（×）{\displaystyle \forall xF(x)}

第一階論理は命題論理と同じ命題接続詞を含みますが、命題論理とは異なり、命題の内部構造を明確に表現します。これは、特定の対象を指す単数名詞、性質や関係を指す述語、そして「一部」や「すべて」といった概念を扱う量指定子といった技法を通して行われます。 [ 123 ]例えば、「このカラスは黒い」という命題を表現するには、「黒い」という性質を表す述語と、カラスを指す単数名詞を用いて、式 を形成します。いくつかの対象が黒いことを表現するには、存在量指定子と変数を組み合わせて命題 を形成します。第一階論理には、このように表現された表現がどのように有効な議論を形成できるかを決定する様々な推論規則が含まれており、例えばから推論できる議論があります。[ 124 ]B{\displaystyle B}r{\displaystyle r}B（r）{\displaystyle B(r)}∃{\displaystyle \exists }×{\displaystyle x}∃×B（×）{\displaystyle \exists xB(x)}∃×B（×）{\displaystyle \exists xB(x)}B（r）{\displaystyle B(r)}

拡張

拡張論理学は、古典論理学の基本原理を受け入れた論理体系である。拡張論理学は、形而上学、倫理学、認識論といった分野に適用するために、追加の記号や原理を導入する。[ 125 ]

様相論理は古典論理の拡張です。その本来の形態は「アレティック様相論理」と呼ばれることもあり、2つの新しい記号を導入します。 は何かが可能であることを表し、 は何かが必然的であることを表します。[ 126 ]例えば、式が「ソクラテスは銀行家である」という文を表す場合、式は「ソクラテスが銀行家である可能性がある」という文を明瞭に表現します。[ 127 ]これらの記号を論理形式主義に含めるために、様相論理は推論においてこれらの記号がどのような役割を果たすかを規定する新しい推論規則を導入します。推論規則の1つは、「何かが必然的であるならば、それはまた可能である」というものです。これは、が から従うことを意味します。もう1つの原理は、命題が必然的であるならば、その否定は不可能であり、その逆もまた成り立つというものです。これは、が と同等であることを意味します。[ 128 ]◊{\displaystyle \Diamond }◻{\displaystyle \Box}B（s）{\displaystyle B(s)}◊B（s）{\displaystyle \Diamond B(s)}◊あ{\displaystyle \Diamond A}◻あ{\displaystyle \Box A}◻あ{\displaystyle \Box A}¬◊¬あ{\displaystyle \lnot \Diamond \lnot A}

他の形式の様相論理では、類似の記号が導入されていますが、様相論理を他の分野に適用するために、それらに異なる意味が関連付けられています。たとえば、義務論理は倫理の分野に関係し、義務と許可の概念を表現する記号を導入します。つまり、行為者が特定の行為を行わなければならないか、またはそれを行うことが許されているかを記述します。[ 129 ]時間様相論理における様相演算子は、時間的な関係を明確に表現します。たとえば、何かが一度に起こったことや、何かが常に起こっていることを表現するために使用できます。[ 129 ]認識論では、認識論的様相論理は、単にそれが事実であると信じるのではなく、何かを知るという考えを表現するために使用されます。 [ 130 ]

高階論理

高階論理は、様相演算子を用いるのではなく、新しい形式の量化を導入することで古典論理を拡張します。[ 131 ]量化子は「すべて」や「いくつか」といった用語に対応します。古典的一階論理では、量化子は個体にのみ適用されます。式「」∃×（あpple（×）∧Sわeet（×））{\displaystyle \exists x(Apple(x)\land Sweet(x))}（いくつかのリンゴは甘い）は、個体変数「」に存在量化子「∃{\displaystyle \exists }」を適用した例です。高階論理では、述語にも量化が許されます。これにより、高階論理の表現力が向上します。例えば、メアリーとジョンがいくつかの性質を共有しているという考えを表現するには、「」という式を使用できます。この場合、存在量化子は述語変数「」に適用されます。[ 132 ]この追加された表現力は、数学理論をより簡潔に定式化できるため、特に数学において有用です。[ 43 ]しかし、メタ論理的性質と存在論的含意に関して欠点があり、それが一階論理が依然としてより一般的に使用されている理由です。[ 133 ]×{\displaystyle x}∃質問（質問（M1つのry）∧質問（John））{\displaystyle \exists Q(Q(Mary)\land Q(John))}Q{\displaystyle Q}

逸脱者

逸脱論理とは、古典論理の基本的な直観の一部を否定する論理体系である。そのため、逸脱論理は通常、古典論理の補足としてではなく、むしろ対抗するものとして捉えられる。逸脱論理体系は、異なる古典論理の直観を否定するか、あるいは同じ問題に対して異なる代替案を提示するかのいずれかの点で、互いに異なる。[ 134 ]

直観主義論理は古典論理の限定版である。[ 135 ]同じ記号を使うが、いくつかの推論規則を除外する。例えば、二重否定の消去法則によれば、文が真でなければ真である。これは、が から従うことを意味する。これは古典論理では有効な推論規則であるが、直観主義論理では無効である。直観主義論理に含まれないもう1つの古典的な原理は排中律である。これは、すべての文について、その文またはその否定のいずれかが真であると述べている。これは、 形式のすべての命題が真であることを意味する。[ 135 ]古典論理からのこれらの逸脱は、真理は証明を用いた検証によって確立されるという考えに基づいている。直観主義論理は、特定の例を見つけるか構築する必要性を強調する構成数学の分野で特に顕著である。[ 136 ]A{\displaystyle A}¬¬A{\displaystyle \lnot \lnot A}A∨¬A{\displaystyle A\lor \lnot A}

多値論理は、すべての命題が真か偽かのいずれかであることを要求する二価性原理を否定することで、古典論理から逸脱しています。例えば、ヤン・ウカシェヴィチとスティーブン・コール・クリーネは、文の真理値が不確定であることを表す第三の真理値を持つ三値論理を提唱しました。 [ 137 ]これらの論理は言語学の分野で応用されています。ファジー論理は、 0から1までの実数で表される無限の「真理の度合い」を持つ多値論理です。[ 138 ]

矛盾論理とは、矛盾を扱うことができる論理体系である。矛盾論理は爆発原理を回避するように定式化されており、矛盾から何かが導かれることはない。[ 139 ]矛盾論理はしばしば二元論、すなわち矛盾は現実である、あるいは現実そのものが矛盾しているという見解に動機付けられている。グラハム・プリーストはこの立場の影響力ある現代の提唱者であり、同様の見解はゲオルク・ヴィルヘルム・フリードリヒ・ヘーゲルにも帰せられている。[ 140 ]

非公式

非形式論理は通常、それほど体系的ではない方法で行われます。特定の種類の誤謬の調査や議論の特定の側面の研究など、より具体的な問題に焦点を当てることがよくあります。しかしながら、議論の正しさを体系的に特徴づけようとする非形式論理の枠組みもいくつか提示されています。[ 141 ]

非形式論理に対する実用主義的あるいは対話的アプローチでは、議論は結論を伴う単なる一連の前提ではなく、言語行為とみなされる。 [ 142 ]言語行為として、議論は対話のような特定の文脈で発生し、それが正しい議論と間違った議論の基準に影響を与える。[ 143 ]ダグラス・N・ウォルトンによる著名なバージョンでは、対話を2人のプレーヤー間のゲームと理解している。各プレーヤーの初期位置は、彼らがコミットしている命題と証明しようとしている結論によって特徴付けられる。対話は説得のゲームである。各プレーヤーは、自分の結論で相手を説得するという目標を持つ。[ 144 ]これは議論を行うことによって達成される。議論はゲームの動きである。[ 145 ]議論はプレーヤーがどの命題にコミットしているかに影響を与える。勝利の動きとは、相手のコミットメントを前提として、そこから自分の結論がどのように導かれるかを示す成功した議論である。これは通常すぐには不可能である。このため、通常は、中間段階として一連の議論を定式化し、それぞれの議論が相手を自分の意図する結論に少しずつ近づけていくことが必要である。勝利に近づく肯定的な議論の他に、相手の結論を否定することで勝利を妨げる否定的な議論もある。[ 144 ]議論が正しいかどうかは、それが対話の進展を促進するかどうかによって決まる。一方、誤謬は、適切な議論のルールの基準に違反するものである。[ 146 ]これらの基準は、対話の種類によっても異なる。例えば、科学的な議論を規定する基準は、ビジネス交渉における基準とは異なる。[ 147 ]

一方、非形式論理への認識論的アプローチは、議論の認識論的役割に焦点を当てている。 [ 148 ]これは、議論の目的が知識を増やすことであるという考えに基づいている。議論は、正当化された信念をまだ正当化されていない信念に結び付けることによってこれを達成する。[ 149 ]正しい議論は知識を拡張することに成功するが、誤謬は認識論的な失敗である。つまり、結論における信念を正当化しない。[ 150 ]例えば、論点先取の誤謬は、たとえ演繹的には妥当であっても、結論に対する独立した正当化を提供できないため、誤謬である。 [ 151 ]この意味で、論理的規範性は認識論的成功または合理性にある。[ 149 ]ベイズ的アプローチは認識論的アプローチの一例である。[ 152 ]ベイズ主義の中心となるのは、行為者が何かを信じているかどうかだけでなく、それを信じている程度、いわゆる信憑性である。信念の度合いは、信じられている命題における主観的確率、すなわち、行為者がその命題が真であるとどれほど確信しているかとして捉えられる。 [ 153 ]この見解では、推論とは、しばしば新たな情報への反応として、自身の信念を変化させるプロセスとして解釈することができる。[ 154 ]正しい推論とそれに基づく議論は、例えば条件付けの原理といった確率の法則に従う。一方、誤った推論や非合理的な推論は、これらの法則に違反する。[ 155 ]

研究分野

論理学は様々な分野で研究されています。多くの場合、その形式手法を倫理学やコンピュータサイエンスといった論理学の専門分野外の特定のトピックに適用することで研究が進められます。[ 156 ]また、論理学自体が他の分野の研究対象となる場合もあります。これは様々な方法で行われ、例えば、論理学者が用いる基本概念に関連する哲学的前提の調査などが挙げられます。他にも、数学的構造を通して論理を解釈・分析したり、形式論理体系の抽象的な性質を研究・比較したりといった方法があります。[ 157 ]

論理哲学と哲学的論理

論理哲学は、論理の範囲と性質を研究する哲学的学問である。[ 59 ]論理学では、論理の基本概念やそれに関連する形而上学的仮定をどのように定義するかなど、論理学に内在する多くの前提を考察する。[ 158 ]また、論理体系をどのように分類するかにも関心を持ち、それらがもたらす存在論的コミットメントを考察する。 [ 159 ]哲学論理学は、論理哲学の一分野である。形而上学、倫理学、認識論などの分野における哲学的問題への論理的手法の適用を研究する。[ 160 ]この適用は通常、拡張された論理体系または逸脱した論理体系の形で行われる。[ 161 ]

メタロジック

メタ論理学は、形式論理体系の特性を研究する分野です。例えば、新しい形式体系が開発されると、メタ論理学者は、その体系においてどの式が証明可能かを判断するために研究します。また、各式の証明を見つけるためのアルゴリズムが開発可能かどうか、そしてその体系における証明可能な式がすべてトートロジーであるかどうかを研究することもあります。最後に、メタ論理学者は、その体系を他の論理体系と比較することで、その体系の独自の特徴を理解することもあります。メタ論理学における重要な問題は、統語論と意味論の関係です。形式体系の統語規則は、前提から結論を導き出す方法、つまり証明をどのように定式化するかを決定します。形式体系の意味論は、どの文が真で、どの文が偽であるかを決定します。これは、有効な議論において、前提が真で結論が偽であるということはあり得ないため、議論の妥当性を決定します。統語論と意味論の関係は、すべての有効な議論が証明可能かどうか、そしてすべての証明可能な議論が妥当かどうかといった問題に関係します。メタ論理学者はまた、論理体系が完全で、健全で、一貫性があるかどうかも研究します。彼らは、システムが決定可能かどうか、そしてどのような表現力を持っているかに関心を持っています。メタ論理学者は、メタ論理的証明を検討し定式化する際に、通常、抽象的な数学的推論に大きく依存します。このようにして、彼らはこれらの主題に関して正確かつ一般的な結論に到達することを目指します。[ 162 ]

数理論理学

バートランド・ラッセルの写真
バートランド・ラッセルは数理論理学に様々な貢献をした。[ 163 ]

「数理論理学」という用語は、「形式論理学」の同義語として使われることもあります。しかし、より限定的な意味では、数学における論理学の研究を指します。主要な分野としては、モデル理論、証明理論、集合論、計算可能性理論などがあります。[ 164 ]数理論理学の研究は、一般的に論理の形式体系の数学的特性を扱います。しかし、論理を用いて数学的推論を分析したり、論理に基づく数学の基礎を確立したりする試みも含まれる場合があります。[ 165 ]後者は、ゴットロープ・フレーゲ、アルフレッド・ノース・ホワイトヘッド、バートランド・ラッセルといった哲学者論理学者によって開拓された論理主義のプログラムを追求した20世紀初頭の数理論理学における主要な関心事でした。数学理論は論理的トートロジーであると考えられており、そのプログラムは数学を論理に還元することによってそれを示すことでした。この計画を実現しようとする多くの試みは、ラッセルのパラドックスによってフレーゲの基本原理の計画が損なわれたことや、ゲーデルの不完全性定理によってヒルベルトの計画が打ち負かされたことなど、失敗に終わった。[ 166 ]

集合論はゲオルク・カントールによる無限の研究に端を発し、数理論理学における最も難解かつ重要な問題の多くを生み出してきた。カントールの定理、選択公理の地位、連続体仮説の独立性の問題、そして大基数公理に関する現代の議論などが挙げられる。[ 167 ]

計算可能性理論は、計算問題を解くための効果的な手順を研究する数理論理学の一分野です。その主要な目標の一つは、与えられた問題をアルゴリズムを用いて解くことが可能かどうかを理解することです。例えば、正の整数に関するある主張が与えられたとき、その主張が真であるかどうかを判断するアルゴリズムが見つかるかどうかを検証します。計算可能性理論は、チューリングマシンなどの様々な理論的ツールやモデルを用いて、この種の問題を探求します。[ 168 ]

計算論理

トランジスタを使用したANDゲートの図
論理積（AND）はブール論理の基本演算の一つです。論理積は、例えば2つのトランジスタを使うなど、いくつかの方法で電子的に実装できます。

計算論理は、数学的推論や論理形式をコンピュータを使用して実装する方法を研究する論理およびコンピュータサイエンスの一分野です。これには、例えば、推論規則を使用して一連の前提から意図した結論まで段階的に証明を人間の介入なしに構築する自動定理証明器が含まれます。 [ 169 ]論理プログラミング言語は、論理式を使用して事実を表現し、これらの事実から推論を導くために特別に設計されています。例えば、Prologは述語論理に基づく論理プログラミング言語です。[ 170 ]コンピュータ科学者は、論理の概念をコンピューティングの問題にも適用します。この点で、クロード・シャノンの研究が影響力を持ちました。彼は、ブール論理を使用してコンピュータ回路を理解し実装する方法を示しました。[ 171 ]これは、電子論理ゲート、つまり1つ以上の入力と通常は1つの出力を持つ電子回路を使用して実現できます。命題の真理値は電圧レベルによって表されます。このようにして、回路の入力に適切な電圧を印加し、出力の電圧を測定することで関数の値を決定することで、論理関数をシミュレートすることができます。[ 172 ]

自然言語の形式意味論

形式意味論は、論理学、言語学、そして言語哲学の一分野です。意味論は言語の意味を研究する学問です。形式意味論は、記号論理学と数学の分野における形式的なツールを用いて、自然言語表現の意味に関する正確な理論を提示します。形式意味論は、意味を通常、真理条件との関係で理解します。つまり、文がどのような状況で真か偽かを検討します。その中心的な方法論的前提の一つは、構成性原理です。これは、複雑な表現の意味は、その構成要素の意味とそれらがどのように組み合わされているかによって決定されるというものです。例えば、「walk and sing（歩いて歌う）」という動詞句の意味は、「walk（歩く）」と「sing（歌う）」という個々の表現の意味に依存します。形式意味論の多くの理論はモデル理論に基づいています。つまり、集合論を用いてモデルを構築し、そのモデル内の要素との関係において表現の意味を解釈するのです。例えば、「walk（歩く）」という語は、モデル内の「walking（歩く）」という性質を共有するすべての個体の集合として解釈することができます。この分野で初期の影響力のある理論家はリチャード・モンタギューとバーバラ・パルティーであり、彼らは英語に焦点を当てて分析を行った。[ 173 ]

論理の認識論

論理学の認識論は、議論が有効であることや命題が論理的に真であることをどのようにして知るかを研究する。[ 174 ]これには、 modus ponensが有効な推論規則であることや、矛盾が偽であることをどのように正当化するかといった問題が含まれる。 [ 175 ]伝統的に支配的な見解は、この形式の論理的理解は先験的知識に属するというものである。[ 176 ]この点に関して、心には純粋な観念間の関係を調べる特別な能力があり、この能力は論理的真理を把握する役割も担っているとよく主張される。 [ 177 ]同様のアプローチでは、論理の規則を言語慣習の観点から理解する。この見解では、論理の法則は定義により真であるため自明であり、論理語彙の意味を表現しているに過ぎない。[ 178 ]

ヒラリー・パトナムやペネロピ・マディのような一部の理論家は、論理は先験的に知ることができるという見解に異議を唱える。彼らは、論理的真理は経験的世界に依存すると主張する。これは通常、論理の法則は世界の構造的特徴に見られる普遍的な規則性を表現するという主張と組み合わされる。この見解によれば、論理の法則は基礎科学の一般的なパターンを研究することによって探求できる可能性がある。例えば、量子力学の特定の洞察は、式がと同等であるとする古典論理の分配法則を反駁すると主張されてきた。この主張は、量子論理が正しい論理体系であり、古典論理に取って代わるべきであるというテーゼの経験的議論として用いることができる。[ 179 ]A∧(B∨C){\displaystyle A\land (B\lor C)}(A∧B)∨(A∧C){\displaystyle (A\land B)\lor (A\land C)}

歴史

アリストテレスの胸像
アヴィセンナの肖像
ウィリアム・オッカムの肖像
ゴットロープ・フレーゲの胸像
上段：西洋哲学の正典を確立したアリストテレス[ 108 ]と、イスラムの言説においてアリストテレス論理学に取って代わったアヴィセンナ[ 180 ]。下段：中世の学問思想の主要人物であるウィリアム・オッカム[ 181 ]と、近代記号論理学の創始者の一人であるゴットロープ・フレーゲ[ 182 ] 。

古代には、いくつかの文化で論理学が独自に発展しました。初期の主要貢献者の一人はアリストテレスで、彼は『オルガノン』と『分析論』で項論理を展開しました。[ 183 ]​​ 彼は仮説的三段論法[ 184 ]と時間的様相論理 [185] の導入に貢献しました。さらに、帰納論理[ 186 ]や、項、述語、三段論法、命題といった新しい論理概念の議論も革新的に行われました。アリストテレス論理学は、古典期および中世において、ヨーロッパと中東の両方で高く評価されていました。西洋では19世紀初頭まで広く用いられていました。[ 187 ]現在では、後世の研究に取って代わられていますが、その重要な洞察の多くは現代の論理体系にも残っています。[ 188 ]

イブン・シーナー（アヴィセンナ）は、イスラム世界でアリストテレス論理学に取って代わり支配的な論理体系となったアヴィセンナ論理学の創始者です。[ 189 ]これは、アルバートゥス・マグヌスやウィリアム・オッカムなどの西洋中世の著述家に影響を与えました。[ 190 ]イブン・シーナーは仮説的三段論法[ 191 ]と命題論理について著作を残しました。[ 192 ]彼は、時間論理と様相論理を含む、独自の「時間的に様相化された」三段論法を考案しました。[ 193 ]彼はまた、一致、相違、随伴変化などの科学的方法に不可欠な帰納論理も活用しました。[ 191 ]ファフル・ッディーン・アル・ラーズィーも影響力のあるイスラム論理学者の一人です。彼はアリストテレス三段論法を批判し、ジョン・スチュアート・ミルによって開発された帰納論理学の体系を予見する初期の帰納論理学の体系を策定した。[ 194 ]

中世には、アリストテレス論理学の翻訳と解釈が数多くなされました。特にボエティウスの著作は影響力が大きかった。彼はアリストテレスの著作をラテン語に翻訳しただけでなく、論理学の教科書も出版した。 [ 195 ]その後、イブン・シーナーやイブン・ルシュド（アヴェロエス）といったイスラム哲学者の著作も参考にされるようになった。これにより、中世のキリスト教学者が利用できる古代の著作の範囲が広がった。これは、ラテン語の注釈書に保存されていたギリシャ語の著作がイスラム学者にとってより多く利用可能になったためである。1323年には、ウィリアム・オッカムの影響力ある『論理学大全』が出版された。これは論理学の包括的な論文であり、多くの論理の基本概念を論じ、命題の種類とその真理条件を体系的に解説している。[ 196 ]

中国哲学においては、名家と墨家が特に影響力を持っていました。名家は言語の使用と逆説に焦点を当てていました。例えば、公孫龍は「白馬は馬ではない」という命題を擁護する「白馬逆説」を提唱しました。墨家もまた、論理における言語の重要性を認め、これらの分野の思想を倫理の領域に関連付けようとしました。[ 197 ]

インドにおいて、論理学の研究は主にニヤーヤ学派、仏教、ジャイナ教によって進められました。ニヤーヤ学派では、論理学は独立した学問分野として扱われることはなく、そのテーマに関する議論は通常、認識論や対話・議論の理論の文脈で行われました。[ 198 ]ニヤーヤでは、推論は知識の源泉（プラマーナ）として理解されています。推論は対象の知覚に従い、例えばその対象の原因について結論を導き出そうとします。[ 199 ]認識論との関連性を同様に重視する考え方は、仏教やジャイナ教の論理学派にも見られ、そこでは推論は他の情報源から得られた知識を拡張するために用いられます。[ 200 ]ニヤーヤ後期の理論の中には、ナヴィヤ・ニヤーヤ学派に属するものがあり、ゴットロープ・フレーゲの意味と指示の区別や数の定義など、現代の論理形式に類似しています。[ 201 ]

アリストテレスが開発した三段論法は、19世紀半ばまで西洋で主流でしたが、そのころ数学の基礎への関心が近代記号論理学の発展を刺激しました。[ 202 ]多くの人は、ゴットロブ・フレーゲのBegriffsschrift を近代論理学の発祥地と見ています。ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツの普遍形式言語の考えは、しばしば先駆者と見なされています。他の先駆者としては、ブール代数を数学的論理体系として発明したジョージ・ブールや、相対論理を開発したチャールズ・パースがいます。アルフレッド・ノース・ホワイトヘッドとバートランド・ラッセルは、これらの洞察の多くを彼らの著書『プリンキピア・マテマティカ』に凝縮しました。近代論理学は、関数、量指定子、関係述語などの新しい概念を導入しました。近代記号論理の特徴は、その洞察を正確に成文化するために形式言語を使用することです。この点で、それは主に自然言語に依存していた初期の論理学者とは一線を画している。[ 203 ]特に影響を与えたのは、現代論理学の標準体系として一般的に扱われる一階述語論理の発展である。[ 204 ]その分析的一般性は数学の形式化を可能にし、集合論の研究を促した。また、アルフレッド・タルスキのモデル理論へのアプローチを可能にし、現代数理論理学の基礎を築いた。[ 205 ]

参照

参考文献

注記

  1. ^しかし、命令型論理のような論理形式によっては、そうではない場合もある。 [ 42 ]
  2. ^誘導的議論は、結論を決定的に支持するほど十分な理由を主張することなく、結論を支持する理由を提示します。

引用

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