マシュー群M11

群論として知られる現代代数学の分野において、マシュー群 M _11は、次数の散在単純群である。

   7,920 = 11  · 10  · 9  · 8 = 2 ^{· 4}  · 3 · ²  · 5  · 11。

歴史と特性

M _{11は26個の散在群の一つであり、}マシュー(1861, 1873)によって導入された 。これは最小の散在群であり、他の4つのマシュー群とともに最初に発見された群である。シューア乗数と外自己同型群はどちらも自明である。

M _{11 は、11個の対象に対する}4-推移的な 置換群である。この群は、GAP数式処理システムで使用される置換のペア(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11)、(3,7,11,8)、(4,10,5,6)など、多くの置換生成集合を許容する。

表現

M _{11 は}11点上の4-推移的置換表現を持つ。点安定群はM ₁₀と表記されることもあり、A ₆ .2（位数2の群を交代群A _{6で拡大したもの）の非分割拡大である。この作用は}シュタイナー系S(4,5,11)の自己同型群である。順序付けられていない点の対への誘導作用は、55点上の 階数3の作用を与える。

M _{11 は、点安定集合PSL 2} (11)を持つ12点上の3-推移的置換表現を持つ。11点と12点上の置換表現は、どちらもマシュー群M ₁₂内で、 M _11をM ₁₂に外部自己同型で交換した 2つの異なる埋め込みとして見ることができる。

11点上の置換表現は、10次元の複素既約表現を与える。これは忠実な複素表現の最小次元であるが、10次元には他に2つの同様の表現があり、複素共役対を形成する。

M _{11 は}、3元体上の5次元既約表現を2つ持ち、これはM _{12の二重被覆の6次元表現の制約と関連している。これらは、任意の体上の}M ₁₁の忠実な線型表現の中で最も次元が小さい。

最大部分群

M ₁₁の最大部分群の共役類は次の 5 つがあります。

M ₁₁の最大部分群

いいえ。	構造	注文	索引	コメント
1	M 10 ≅ A 6 ^· 2	720 = 2 ^4 ·3 ^2 ·5	11	11次表現における1点安定子
2	L 2 (11)	660 = 2 ^2 ·3·5·11	12 = 2 ^2 ·3	12次表現における1点安定子
3	M 9 :2 ≅ 3 2 : Q 8 .2	144 = 2 ^4 ·3 ^2	55 = 5·11	9と2のパーティションの安定装置
4	S5​	120 = 2 ^3 ·3·5	66 = 2·3·11	軌道サイズは5と6。S(4,5,11)シュタイナー系におけるブロックの安定因子。
5	問8：S 3 ≅ GL 2 (3)	48 = 2 ^4 ·3	165 = 3·5·11	軌道の大きさは8と3である。四重転置の中心化子である。

共役類

M ₁₁のどの要素の最大次数も11 です。サイクル構造は、次数 11 と 12 の両方の表現に対して表示されます。

注文	要素数	11度	12度
1 = 1	1 = 1	1 ^11 ·	1 ^12 ·
2 = 2	165 = 3 · 5 · 11	1 ^3 ·2 ^4	1 ^4 ·2 ^4
3 = 3	440 = 2 ^3 · 5 · 11	1 ^2 ·3 ^3	1 ^3 ·3 ^3
4 = 2 ^2	990 = 2 · 3 ^2 · 5 · 11	1 ^3 ·4 ^2	2 ^2 ·4 ^2
5 = 5	1584 = 2 ^4 · 3 ^2 · 11	1·5 ^2	1 ^2 ·5 ^2
6 = 2 · 3	1320 = 2 ^3 · 3 · 5 · 11	2·3·6	1·2·3·6
8 = 2 ^3	990 = 2 · 3 ^2 · 5 · 11	1·2·8	4·8	電力換算値
	990 = 2 · 3 ^2 · 5 · 11	1·2·8	4·8
11 = 11	720 = 2 ^4 · 3 ^2 · 5	11	1·11	電力換算値
	720 = 2 ^4 · 3 ^2 · 5	11	1·11

参考文献

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外部リンク

• MathWorld: マシュー群
• 有限群表現アトラス：M11