マシューグループM23

Sporadic simple group

群論として知られる現代代数学の分野において、マシュー群M _23は散在的な単純群であり、

10,200,960 = 2 ⁷ · 3 ² · 5 · 7 · 11 · 23

≈ 1 × 10 ⁷。

歴史と特性

M _{23は26個の散在群の一つであり、}マシュー(1861, 1873)によって導入された。23個の対象上の 4重推移的置換群である。シューア乗数と外自己同型群はどちらも自明である。

ミルグラム (2000) は積分コホモロジーを計算し、特に M ₂₃には最初の 4 つの積分ホモロジー群がすべて消えるという珍しい特性があることを示した。

逆ガロア問題はM ₂₃については未解決のようです。言い換えれば、Z[ x ] の多項式のうち、 M _23をガロア群とするものは知られていないようです。逆ガロア問題は、他のすべての散在単純群については解かれています。

有限体を用いた構成

$F 2 11 を$ 2 ^{11個の元を持つ}有限体とする。その単位群の位数は $2$ $11$ − 1 = 2047 = 23 · 89 であるので、位数23の巡回部分群 $C$ を持つ。

マシュー群 M _23は、 $C$ を安定化する $F$ $2$ $11$ の $F 2$ 線型自己同型群と同一視できる。より正確には、この自己同型群の $C$ への作用は、 M ₂₃の 23 オブジェクトへの4重推移的作用と同一視できる。

表現

M _{23 は、}マシュー群 M24の 24 点への作用の点安定子であり、点安定子としてマシュー群 M22 を持つ 23 点の4 推移的置換表現を与えます。

M _{23 は}253点に対して2つの異なるランク3作用を持つ。1つは軌道サイズが1+42+210で安定点M ₂₁ .2を持つ非順序対に対する作用であり、もう1つは軌道サイズが1+112+140で安定点M 24 ^.A 7_を持つヘプタドに対する作用である。

23点への置換作用に対応する積分表現は、自明表現と22次元表現に分解される。22次元表現は、標数が2または23以外の任意の体上で既約である。

位数 2 の体上では、2 つの 11 次元表現、つまりマシュー群 M24の対応する表現の制限が存在します。

最大部分群

M ₂₃の最大部分群の共役類は次の 7 つがあります。

M ₂₃の最大部分群
いいえ。	構造	注文	索引	コメント
1	M ₂₂	443,520 = 2 ⁷ ·3 ² ·5·7·11	23	ポイントスタビライザー
2	L ₃ (4):2	40,320 = 2 ⁷ ·3 ² ·5·7	253 = 11·23	軌道の大きさは21と2
3	2 ⁴ :A ₇	40,320 = 2 ⁷ ·3 ² ·5·7	253 = 11·23	軌道サイズは7と16。W ₂₃ブロックの安定器。
4	A8	20,160 = 2 ⁶ ·3 ² ·5·7	506 = 2·11·23	軌道サイズは8と15である
5	M ₁₁	7,920 = 2 ⁴ ·3 ² ·5·11	1,288 = 2 ³ ·7·23	軌道のサイズは11と12である
6	(2 ⁴ :A ₅ ):S ₃ ≅ M ₂₀ :S ₃	5,760 = 2 ⁷ ·3 ² ·5	1,771 = 7·11·23	サイズ3と20の軌道（4のブロックが5つ）を持ち、六重項群の一点安定子である。
7	23:11	253 = 11·23	40,320 = 2 ⁷ ·3 ² ·5·7	単純推移的

共役類

注文	要素数	サイクル構造
1 = 1	1	1 ²³
2 = 2	3795 = 3 · 5 · 11 · 23	1 ⁷ 2 ⁸
3 = 3	56672 = 2 ⁵ · 7 · 11 · 23	1 ⁵ 3 ⁶
4 = 2 ²	318780 = 2 ² · 3 ² · 5 · 7 · 11 · 23	1 ³ 2 ² 4 ⁴
5 = 5	680064 = 2 ⁷ · 3 · 7 · 11 · 23	1 ³ 5 ⁴
6 = 2 · 3	850080 = 2 ⁵ · 3 · 5 · 7 · 11 · 23	1·2 ² 3 ² 6 ²
7 = 7	728640 = 2 ⁶ · 3 ² · 5 · 11 · 23	1 ² 7 ³	電力換算値
7 = 7	728640 = 2 ⁶ · 3 ² · 5 · 11 · 23	1 ² 7 ³	電力換算値
8 = 2 ³	1275120 = 2 ⁴ · 3 ² · 5 · 7 · 11 · 23	1·2·4·8 ²
11 = 11	927360=2 ⁷ · 3 ² · 5 · 7 · 23	1·11 ²	電力換算値
11 = 11	927360=2 ⁷ · 3 ² · 5 · 7 · 23	1·11 ²	電力換算値
14 = 2 · 7	728640= 2 ⁶ · 3 ² · 5 · 11 · 23	2·7·14	電力換算値
14 = 2 · 7	728640= 2 ⁶ · 3 ² · 5 · 11 · 23	2·7·14	電力換算値
15 = 3 · 5	680064=2 ⁷ · 3 · 7 · 11 · 23	3·5·15	電力換算値
15 = 3 · 5	680064=2 ⁷ · 3 · 7 · 11 · 23	3·5·15	電力換算値
23 = 23	443520= 2 ⁷ · 3 ² · 5 · 7 · 11	23	電力換算値
23 = 23	443520= 2 ⁷ · 3 ² · 5 · 7 · 11	23	電力換算値

参考文献

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外部リンク

MathWorld: マシュー群
有限群表現のアトラス：M23