主要指数

数学（特に組合せ論）において、順列の主指数は順列の降下位置の和である。記号において、順列wの主指数は

${\displaystyle \operatorname {maj} (w)=\sum _{w(i)>w(i+1)}i.}$

たとえば、w が1 行表記でw = 351624 と表される場合(つまり、wは {1、2、3、4、5、6} の順列で、w (1) = 3、w (2) = 5 などとなる)、wには位置 2 (5 から 1) と 4 (6 から 2) で下降があり、maj( w ) = 2 + 4 = 6 となります。

この統計は、1913 年に、固定長のすべての順列における主指数の分布は反転の分布と同じであることを示したパーシー・アレクサンダー・マクマホン少佐にちなんで名付けられました。つまり、長さnでk回の反転を伴う順列の数は、長さnで主指数がkに等しい順列の数と同じです。(これらの数は、やはりマクマホンにちなんでマホニアン数と呼ばれています。 ^[1] ) 実際、より強い結果が成り立ちます。主指数がkで反転がiである長さnの順列の数は、主指数がiで反転がkである長さnの順列の数と同じです。つまり、2 つの統計は等分布しています。たとえば、長さ 4 で指定された主指数と反転数の順列の数は、下の表に示されています。

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccccccc}&0&1&2&3&4&5&6\\\hline 0&1&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&1&1&0&0&0\\2&0&1&2&1&1&0&0\\3&0&1&1&2&1&1&0&0\\4&0&0&1&2&1&0&5&0&0&1&1&1&0&6&0&0&0&0&0&0&1\end{array}}}$

参考文献

1. M. Bóna, 順列の組合せ論, 2004年, 43ページ以降, ISBN 1-58488-434-7。

• MacMahon, PA (1913). 「順列の指標と、そこから導かれる、任意の物体集合の順列に関連する単一変数関数の導出」Amer. J. Math . 35 (3): 281– 322. doi :10.2307/2370312. JSTOR  2370312.。