マルコフ定数

数値のマルコフ定数
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ドメイン、コドメイン、イメージ
ドメイン	無理数
コドメイン	ラグランジュスペクトルと${\displaystyle \infty }$
基本機能
パリティ	平
期間	1
特定の値
マキシマ	${\displaystyle +\infty }$
最小値	√5​
価値 ${\displaystyle \phi }$	√5​
√2の値	2√2​​
この関数は有理数では定義されていないため、連続ではありません。

数論、特にディオファントス近似理論において、無理数のマルコフ定数は 、ディリクレの近似定理を に対して改善できる因子です。 ${\displaystyle M(\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

歴史と動機

特定の数は特定の有理数でよく近似できます。具体的には、連分数の収束数は、分母が一定限度より小さい有理数による最良の近似値です。たとえば、近似値は、分母が 56 までの有理数の中では最良の有理近似値です。^[1]また、数によっては他の数よりも容易に近似できるものもあります。ディリクレは1840 年に、最も容易に近似できない数は有理数であることを証明しました。これは、すべての無理数に対して、それをある程度の精度で近似する有理数が無限に存在するという意味でです。有理数に対しては、そのような有理数近似値は有限個しか存在しないということです。具体的には、任意の数に対して、 が無理数である場合に限り、となるような互いに素な数のペアが無限個存在することを証明しました。 ${\displaystyle \pi \approx {\frac {22}{7}}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}}$ ${\displaystyle \alpha }$

51年後、ハーヴィッツはディリクレの近似定理を√5倍に改良し[ ^2] 、無理数 に対して右辺をからに改良した。${\displaystyle 1/q^{2}}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {5}}q^{2}}$

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}q^{2}}}.}$

黄金比は${\displaystyle \phi }$ 無理数なので、上記の結果は最善ですが、上記の式で√5をそれより大きな数に置き換えると、不等式を満たす有理数は有限個しか見つけられなくなります。 ${\displaystyle \alpha =\phi }$

さらに彼は、無理数の中で最も近似しにくい数は という形式の数であり、 は黄金比、 であることを示した。[ 3 ] （これら^{の数は と}同等であると言われている。）ディリクレの定理で有理数を省略したのと同じように、これらの数を省略すると、数√ 5を 2 √ 2に増やすことができます。この新しい境界も、新しい設定で最適ですが、今回は数√ 2とそれと同等の数が境界を制限します。^[3]これらの数を許可しない場合は、不等式の右辺の数を 2 √ 2から√ 221 /5に増やすことができます。 ^[3]この場合、 と同等の数が境界を制限します。生成された数は、これらの数がどれだけよく近似できるかを示しています。これは、実数の特性として考えることができます。 ${\displaystyle {\frac {a\phi +b}{c\phi +d}}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle ad-bc=\pm 1}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {221}}}{10}}}$

しかし、フルヴィッツの定理（および上記の拡張）を、特定の特殊数を除く実数の性質として考えるのではなく、除外された各数の性質として考えることができます。したがって、この定理は「、√2 、または と等価な数は、最も近似しにくい無理数に分類される」と解釈できます。これは、各数が有理数によってどれほど正確に近似できるか、具体的には、その特定の数についてディリクレの近似定理の係数を1からどれだけ大きくできるかを考えることにつながります。 ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {221}}}{10}}}$

意味

数学的には、無理数のマルコフ定数は と定義されます。^[4]集合に上限がない場合は と定義します。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle M(\alpha )=\sup \left\{\lambda \in \mathbb {R} :\left\vert \alpha -{\frac {p}{q}}\right\vert <{\frac {1}{\lambda q^{2}}}{\text{ has infinitely many solutions for }}p,q\in \mathbb {N} \right\}}$ ${\displaystyle M(\alpha )=\infty }$

あるいは、 と定義することもできます。ここで、 は に最も近い整数として定義されます。 ${\displaystyle \limsup _{k\to \infty }{\frac {1}{k^{2}\left\vert \alpha -{\frac {f(k)}{k}}\right\vert }}}$ ${\displaystyle f(k)}$ ${\displaystyle \alpha k}$

特性と結果

ハーウィッツの定理によれば、すべての に対してとなります。 ${\displaystyle M(\alpha )\geq {\sqrt {5}}}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} -\mathbb {Q} }$

が連分数展開である場合、 となる。^[4]${\displaystyle \alpha =[a_{0};a_{1},a_{2},...]}$ ${\displaystyle M(\alpha )=\limsup _{k\to \infty }{([a_{k+1};a_{k+2},a_{k+3},...]+[0;a_{k},a_{k-1},...,a_{2},a_{1}])}}$

上記より、 ならば となる。これは、が有界でない場合に限り となることを意味する。特に、が二次無理数である場合は となる。実際、 の下限はまで強化することができ、これは可能な限り厳密である。^[5]${\displaystyle p=\limsup _{k\to \infty }{a_{k}}}$ ${\displaystyle p<M(\alpha )<p+2}$ ${\displaystyle M(\alpha )=\infty }$ ${\displaystyle (a_{k})}$ ${\displaystyle M(\alpha )<\infty }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle M(\alpha )}$ ${\displaystyle M(\alpha )\geq {\sqrt {p^{2}+4}}}$

の値は、周期が同じ（ただしオフセットが異なる）二次無理数の族であり、これらの値の値はラグランジュ数に限定されます。の値は無数に存在し、そのうち2つが同じ末尾を持つことはありません。例えば、 のそれぞれの数 に対して、となります。^[4]${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle M(\alpha )<3}$ ${\displaystyle M(\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle M(\alpha )=3}$ ${\displaystyle \alpha =[\underbrace {1;1,...,1} _{r_{1}},2,2,\underbrace {1,1,...,1} _{r_{2}},2,2,\underbrace {1,1,...,1} _{r_{3}},2,2,...]}$ ${\displaystyle r_{1}<r_{2}<r_{3}<\cdots }$ ${\displaystyle M(\alpha )=3}$

もしならば。^[6]特に ならば。[ ⁷ ]${\displaystyle \beta ={\frac {p\alpha +q}{r\alpha +s}}}$ ${\displaystyle p,q,r,s\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle M(\beta )\geq {\frac {M(\alpha )}{\left\vert ps-rq\right\vert }}}$ ${\displaystyle \left\vert ps-rq\right\vert =1}$ ${\displaystyle M(\beta )=M(\alpha )}$

集合はラグランジュスペクトルを形成する。これは、 Fがフライマン定数である区間を含む。 ^[7]したがって、 の場合、マルコフ定数が である無理数が存在する。 ${\displaystyle L=\{M(\alpha )\mid \alpha \in \mathbb {R} -\mathbb {Q} \}}$ ${\displaystyle [F,\infty ]}$ ${\displaystyle m>F\approx 4.52783}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle m}$

マルコフ定数が3未満の数

バーガーら（2002）^[8]は、マルコフ定数がn^番目のラグランジュ数である二次無理数を表す式を提供している。 ${\displaystyle \alpha _{n}}$

${\displaystyle \alpha _{n}={\frac {2u-3m_{n}+{\sqrt {9m_{n}^{2}-4}}}{2m_{n}}}}$ ここでは n^番目のマルコフ数、はとなる最小の正の整数です。 ${\displaystyle m_{n}}$ ${\displaystyle m_{n}\mid u^{2}+1}$

ニコルズ（1978）^[9]は、これについて（互いに接する円に基づいて）幾何学的な証明を提供し、これらの数を体系的に見つけることができる方法を提供しています。

例

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以下の例で述べられているように、√10 /2はマルコフ定数√10 を持つということを証明します。このプロットはy ( k ) = ⁠をグラフ化したものです。1/k ² | α - ⁠f( αk )/け⁠ |⁠ log( k ) （ kの自然対数）に対して、 f ( x )はxに最も近い整数です。上部の点は、x軸の値0.7、2.5、4.3、6.1（k=2、12、74、456）に対応し、√10の極限に近づく点です。

2つの数値のマルコフ定数

以来、 ${\displaystyle {\frac {\sqrt {10}}{2}}=[1;{\overline {1,1,2}}]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}M\left({\frac {\sqrt {10}}{2}}\right)&=\max([1;{\overline {2,1,1}}]+[0;{\overline {1,2,1}}],[1;{\overline {1,2,1}}]+[0;{\overline {2,1,1}}],[2;{\overline {1,1,2}}]+[0;{\overline {1,1,2}}])\\&=\max \left({\frac {2{\sqrt {10}}}{3}},{\frac {2{\sqrt {10}}}{3}},{\sqrt {10}}\right)\\&={\sqrt {10}}.\end{aligned}}}$

eの連分数表現は無限大であるためです。 ${\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,\ldots ,1,2n,1,\ldots ],M(e)=\infty }$

数字α_nマルコフ定数が3未満である

考えてみましょう。すると、試行錯誤の結果、次のことがわかります。すると、 ${\displaystyle n=6}$ ${\displaystyle m_{n}=34}$ ${\displaystyle u=13}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{6}&={\frac {2u-3m_{6}+{\sqrt {9m_{6}^{2}-4}}}{2m_{6}}}\\[6pt]&={\frac {-76+{\sqrt {10400}}}{68}}\\[6pt]&={\frac {-19+5{\sqrt {26}}}{17}}\\[6pt]&=[0;{\overline {2,1,1,1,1,1,1,2}}].\end{aligned}}}$

参照

• 非合理性の尺度
• ラグランジュ数
• 連分数
• ラグランジュスペクトル

参考文献

1. Fernando, Suren L. (2001年7月27日). 「A063673 (分母が増加する円周率の近似値{3/1, 13/4, 16/5, 19/6, 22/7, 179/57, 201/64, 223/71, 245/78, 267/85, 289/92, 311/99, 333/106, ... }の分母。各近似値は、その前の近似値よりも改善されている。)」.オンライン整数列百科事典. 2019年12月2日閲覧。
2. ハーウィッツ、A. (1891)。 「Ueber die angenäherte Darstellung der Irrationalzahlen durchrationale Brüche (有理数による無理数の近似表現について)」。Mathematische Annalen (ドイツ語)。39 (2): 279–284。土井:10.1007/BF01206656。JFM  23.0222.02。S2CID  119535189。実際の証明はドイツ語で記載されています。
3. Weisstein, Eric W. (2019年11月25日). 「ハーウィッツの無理数定理」. Wolfram Mathworld . 2019年12月2日閲覧。
4. ウィリアム・ルヴェック (1977). 『数論の基礎』 . アディソン・ウェズリー出版社. pp.  251– 254. ISBN 0-201-04287-8。
5. ハンクル、ヤロスラフ（2016年1月）「フルヴィッツの第二基本定理」リトアニア数学ジャーナル. 56 : 72–76 . doi :10.1007/s10986-016-9305-4. S2CID  124639896.
6. ペラントヴァ、エディタ;スタロスタ、シュテパン;ミロスラフのズノジル（2016）。 「マルコフ定数と量子不安定性」。Journal of Physs A: 数学と理論。49 (15) 155201.arXiv : 1510.02407。ビブコード:2016JPhA...49o5201P。土井：10.1088/1751-8113/49/15/155201。S2CID  119161523。
7. Hazewinkel, Michiel (1990). Encyclopaedia of Mathematics . Springer Science & Business Media. p. 106. ISBN 978-1-55608-005-0。
8. Burger, Edward B.; Folsom, Amanda; Pekker, Alexander; Roengpitya, Rungporn; Snyder, Julia (2002). 「ラグランジュスペクトルの定量的改良について」. Acta Arithmetica . 102 (1): 59– 60. Bibcode :2002AcAri.102...55B. doi : 10.4064/aa102-1-5 .
9. Nicholls, Peter (1978). 「モジュラー群によるディオファントス近似」.ロンドン数学会誌. 第2シリーズ. 17 : 11– 17. doi :10.1112/jlms/s2-17.1.11.