質量行列

解析力学において、質量行列は、系の一般化座標ベクトルqの時間微分とその系の運動エネルギーTとの関係を次の式で 表す対称行列 Mである。 ${\displaystyle \mathbf {\dot {q}} }$

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\mathbf {\dot {q}} ^{\textsf {T}}\mathbf {M} \mathbf {\dot {q}} }$

ここでベクトルの転置を表す。^{[1]この式は、質量}mと速度vを持つ粒子の運動エネルギーの式に類似しており、 ${\displaystyle \mathbf {\dot {q}} ^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {\dot {q}} }$

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m|\mathbf {v} |^{2}={\frac {1}{2}}\mathbf {v} \cdot m\mathbf {v} }$

そして、システムの各粒子の位置をqで表すことによって、これを導くことができます。

一般に、質量行列M は状態qに依存するため、時間とともに変化します。

ラグランジュ力学は、系内のあらゆる粒子の位置を完全に定義する任意の一般座標ベクトルを用いて系の発展を記述する常微分方程式（実際には連立微分方程式）を与えます。上記の運動エネルギーの式は、この方程式の一項であり、すべての粒子の全運動エネルギーを表しています。

例

二体一次元系

1 つの空間次元における質量のシステム。

例えば、直線軌道上に閉じ込められた2つの点状質量からなる系を考えてみましょう。この系の状態は、2つの一般化座標、すなわち軌道に沿った2つの粒子の位置のベクトルqで記述できます。

${\displaystyle \mathbf {q} ={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$

粒子の質量がm ₁、m ₂であるとすると、系の運動エネルギーは

${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{2}{\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {x_{i}}}^{2}}$

この式は次のようにも書ける。

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}{\dot {\mathbf {q} }}^{\textsf {T}}\mathbf {M} {\dot {\mathbf {q} }}}$

どこ

${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{bmatrix}m_{1}&0\\0&m_{2}\end{bmatrix}}}$

N体系

より一般的には、インデックスi = 1, 2, …, Nでラベル付けされたN個の粒子の系を考える。ここで、粒子番号iの位置はn _{i 個の}自由直交座標（ただしn _i = 1, 2, 3）で定義される。qをこれらの座標をすべて含む列ベクトルとする。質量行列Mは対角ブロック行列であり、各ブロックの対角要素は対応する粒子の質量である。^[2]

${\displaystyle \mathbf {M} =\operatorname {diag} \left[m_{1}\mathbf {I} _{n_{1}},\,m_{2}\mathbf {I} _{n_{2}},\,\ldots ,\,m_{N}\mathbf {I} _{n_{N}}\right]}$

ここで、I _{n i}はn _i × n _i 単位行列、またはより完全には次のように表されます。

${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{bmatrix}m_{1}&\cdots &0&0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &m_{1}&0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\0&\cdots &0&m_{2}&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&\cdots &m_{2}&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&\cdots &0&\cdots &m_{N}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &m_{N}\\\end{bmatrix}}}$

回転ダンベル

回転するダンベル。

より単純な例として、質量m ₁、m ₂を持つ2つの点状物体が、長さ2 Rの質量のない剛体の棒の両端に取り付けられており、この棒は固定された平面上で自由に回転およびスライドできるとする。この系の状態は、一般化座標ベクトルによって記述できる。

${\displaystyle \mathbf {q} ={\begin{bmatrix}x&y&\alpha \end{bmatrix}}}$

ここで、x, yは棒の中心点の直交座標であり、αは任意の基準方向からの棒の角度である。2つの粒子の位置と速度は

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=(x,y)+R(\cos \alpha ,\sin \alpha )&v_{1}&=\left({\dot {x}},{\dot {y}}\right)+R{\dot {\alpha }}(-\sin \alpha ,\cos \alpha )\\x_{2}&=(x,y)-R(\cos \alpha ,\sin \alpha )&v_{2}&=\left({\dot {x}},{\dot {y}}\right)-R{\dot {\alpha }}(-\sin \alpha ,\cos \alpha )\end{aligned}}}$

そしてそれらの総運動エネルギーは

${\displaystyle 2T=m{\dot {x}}^{2}+m{\dot {y}}^{2}+mR^{2}{\dot {\alpha }}^{2}-2Rd\sin(\alpha ){\dot {x}}{\dot {\alpha }}+2Rd\cos(\alpha ){\dot {y}}{\dot {\alpha }}}$

ここで、 である。この式は行列形式で次のように表すことができる。 ${\displaystyle m=m_{1}+m_{2}}$ ${\displaystyle d=m_{1}-m_{2}}$

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}{\dot {\mathbf {q} }}^{\textsf {T}}\mathbf {M} {\dot {\mathbf {q} }}}$

どこ

${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{bmatrix}m&0&-Rd\sin \alpha \\0&m&Rd\cos \alpha \\-Rd\sin \alpha &Rd\cos \alpha &R^{2}m\end{bmatrix}}}$

行列はバーの 現在の角度αに依存することに注意してください。

連続体力学

有限要素法のような連続体力学の離散近似では、求められる計算精度と性能に応じて、質量行列を構築する方法が複数存在する場合があります。例えば、各要素の変形を無視する集中質量法では、対角質量行列が作成され、変形した要素にわたって質量を積分する必要がなくなります。

参照

• 慣性モーメント
• 応力エネルギーテンソル
• 剛性マトリックス
• 強膜性

参考文献

1. 物理学と工学のための数学的手法、KFライリー、MPホブソン、SJベンス、ケンブリッジ大学出版局、2010年、ISBN 978-0-521-86153-3
2. 解析力学、LN Hand、JD Finch、ケンブリッジ大学出版局、2008年、ISBN 978 0 521 57572 0