マイヤー・ヴィエトリス系列

数学、特に代数的位相幾何学とホモロジー理論において、マイヤー・ヴィートリス列は位相空間の代数的不変量の計算を支援する代数的ツールです。この成果は、オーストリアの数学者ヴァルター・マイヤーとレオポルド・ヴィートリスによるものです。この手法は、空間を部分空間に分割することで、ホモロジー群またはコホモロジー群の計算が容易になる場合があります。この列は、空間の（コ）ホモロジー群と部分空間の（コ）ホモロジー群を関連付けます。これは自然な長完全列であり、その要素は空間全体の（コ）ホモロジー群、部分空間の（コ）ホモロジー群の直和、および部分空間の 交差の（コ）ホモロジー群です

マイヤー・ヴィートリス列は、単体ホモロジーや特異コホモロジーなど、さまざまなコホモロジーやホモロジー理論で成り立ちます。一般に、列はアイレンバーグ・スティーンロッド公理を満たす理論で成り立ち、簡約(コ)ホモロジーと相対(コ)ホモロジーの両方でバリエーションを持ちます。ほとんどの空間の(コ)ホモロジーはその定義から直接計算できないため、部分的な情報を得る目的でマイヤー・ヴィートリス列などのツールが使用されます。位相幾何学で遭遇する多くの空間は、非常に単純なパッチをつなぎ合わせることで構築されます。2 つの被覆部分空間を、それらの交差と合わせて空間全体の(コ)ホモロジーよりも単純な(コ)ホモロジーを持つように注意深く選択すると、空間の(コ)ホモロジーを完全に演繹できる場合があります。その点で、マイヤー・ヴィートリス列は基本群のザイフェルト・ファン・カンペンの定理に類似しており、次元 1 のホモロジーに対して正確な関係式が存在します。

背景、動機、そして歴史

空間の基本群や高次ホモトピー群と同様に、ホモロジー群は重要な位相不変量です。一部の（コ）ホモロジー理論は線型代数のツールを用いて計算可能ですが、他の多くの重要な（コ）ホモロジー理論、特に特異（コ）ホモロジーは、非自明な空間に対する定義から直接計算できません。特異（コ）ホモロジーの場合、特異（コ）チェイン群と（コ）サイクル群は直接扱うには大きすぎることがよくあります。より繊細で間接的なアプローチが必要になります。マイヤー・ヴィートリス列はそのようなアプローチであり、任意の空間の（コ）ホモロジー群を、その空間の2つの部分空間とそれらの交差の（コ）ホモロジー群に関連付けることで、部分的な情報を提供します

この関係を表現する最も自然で便利な方法は、代数的な完全列の概念を用いるものです。完全列とは、オブジェクト（この場合は群）とそれらの間の射（この場合は群準同型）の列で、ある射の像が次の射の核と等しいものです。一般に、これでは空間の（コ）ホモロジー群を完全に計算することはできません。しかし、位相幾何学で遭遇する多くの重要な空間は、非常に単純なパッチをつなぎ合わせて構成される位相多様体、単体複体、またはCW複体であるため、MayerとVietorisの定理のような定理は、潜在的に広く深い適用性を持つ可能性があります。

マイヤーは、1926年と1927年にウィーンの地元大学で同僚のヴィエトリスの講義に出席した際に、位相幾何学に触れました。^[1]彼は予想された結果とその解決法について説明を受け、1929年にベッティ数の問題を解きました^。[2]彼はその結果を、2つの円筒の和として考えられるトーラスに適用しました。 ^{[3] [4]}ヴィエトリスは後に1930年にホモロジー群の完全な結果を証明しましたが、それを正確な数列として表現しませんでした。^[5]正確な数列の概念は、1952年にサミュエル・アイレンバーグとノーマン・スティーンロッドが著した『代数的位相幾何学の基礎』^[6]で初めて印刷物に登場し、そこでマイヤーとヴィエトリスの結果は現代的な形で表現されました。^[7]

特異ホモロジーの基本バージョン

を位相空間とし、を内部がを覆う2つの部分空間とする。（との内部は互いに素である必要はない。）三元空間の特異ホモロジーにおけるマイヤー・ヴィエトリス列は、空間、 、 、および交差 の特異ホモロジー群（係数群は整数）を関連付ける長い完全列である。^[8]非縮約版と縮約版がある。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (X,A,B)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\cap B}$

非縮約版

非縮約ホモロジーの場合、マイヤー・ヴィエトリス列は次の列が完全であることを述べている。^[9]

${\displaystyle \cdots \to H_{n+1}(X)\,\xrightarrow {\partial _{*}} \,H_{n}(A\cap B)\,\xrightarrow {\left({\begin{smallmatrix}i_{*}\\j_{*}\end{smallmatrix}}\right)} \,H_{n}(A)\oplus H_{n}(B)\,\xrightarrow {k_{*}-l_{*}} \,H_{n}(X)\,\xrightarrow {\partial _{*}} \,H_{n-1}(A\cap B)\to \cdots }$

${\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \cdots \to H_{0}(A)\oplus H_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{0}(X)\to 0.}$

ここで、、は包含写像 であり、 はアーベル群 の直和を表す。 ${\displaystyle i:A\cap B\hookrightarrow A,j:A\cap B\hookrightarrow B,k:A\hookrightarrow X}$ ${\displaystyle l:B\hookrightarrow X}$ ${\displaystyle \oplus }$

境界写像

トーラス上の境界写像 ∂ _∗の図解。1-閉路x = u + vは、境界がAとBの交差にある2つの 1-鎖の和である

次元を下げる境界写像は次のように定義できます。 ^[10]の元は-サイクルのホモロジー類であり、これはたとえば重心分割によって、2 つの-鎖と の和として表すことができ、その像はそれぞれとに完全に含まれます。したがって、 ∂ x = ∂( u + v ) = ∂ u + ∂ vです。はサイクルなので、 ∂x = 0 であるため、 ∂ u = −∂ vです。これは、これらの境界 ( n − 1)-サイクルの両方の像が交差点A ∩ Bに含まれていることを意味します。次に、 ∂ _∗ ([ x ]) はH _{n −1} ( A ∩ B )における∂ uの類として定義できます。別の分解x = u′ + v′を選択しても [∂ u ]には影響しません。なぜなら、 ∂ u + ∂ v = ∂ x = ∂ u′ + ∂ v′であり、これは ∂ u − ∂ u′ = ∂( v′ − v ) を意味し、したがって ∂ uと ∂ u′は同じホモロジー類に属するからです。また、異なる代表x′を選択しても影響しません。なぜなら、H _{n +1} ( X )内の何らかのφに対してx′ - x = ∂ φとなるからです。Mayer–Vietoris 列の写像は、AとBの順序の選択に依存することに注意してください。特に、AとBが入れ替わると、境界写像の符号が変わります。 ${\displaystyle \partial _{*}}$ ${\displaystyle H_{n}(X)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x}$

縮小版

簡約ホモロジーの場合、 AとB が空でない交差を持つという仮定の下で、Mayer–Vietoris 列も存在します。^[11]この列は正の次元に対して同一であり、次のように終わります

${\displaystyle \cdots \to {\tilde {H}}_{0}(A\cap B)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,{\tilde {H}}_{0}(A)\oplus {\tilde {H}}_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,{\tilde {H}}_{0}(X)\to 0.}$

ザイフェルト・ファン・カンペンの定理との類似性

マイヤー・ヴィートリス列（特に次元1のホモロジー群の場合）とザイフェルト・ファン・カンペンの定理の間には類似点がある。^{[10] [12]が}パス連結であるときはいつでも、縮約されたマイヤー・ヴィートリス列は同型性を与える ${\displaystyle A\cap B}$

${\displaystyle H_{1}(X)\cong (H_{1}(A)\oplus H_{1}(B))/{\text{Ker}}(k_{*}-l_{*})}$

ここで、正確に言えば、

${\displaystyle {\text{Ker}}(k_{*}-l_{*})\cong {\text{Im}}(i_{*},j_{*}).}$

これはまさにザイフェルト・ファン・カンペンの定理のアーベル化された記述である。が経路連結であるとき、が基本群のアーベル化であるという事実と比較せよ。 ^[13]${\displaystyle H_{1}(X)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle X}$

基本的な応用

k球面

X = S ²の分解

k球面 X = S ^kのホモロジーを完全に計算するために、AとBを、交差ホモトピーが( k − 1)次元赤道球面と等しいXの2つの半球面としよう。k次元半球面はk円板に同相であり、 k円板は収縮可能であるため、 AとBのホモロジー群は自明である。すると、 被約ホモロジー群のマイヤー・ヴィエトリス列は次式を与える。

${\displaystyle \cdots \longrightarrow 0\longrightarrow {\tilde {H}}_{n}\!\left(S^{k}\right)\,{\xrightarrow {\overset {}{\partial _{*}}}}\,{\tilde {H}}_{n-1}\!\left(S^{k-1}\right)\longrightarrow 0\longrightarrow \cdots }$

正確性は、写像∂ _*が同型であることを直ちに意味する。0球面（2点）の被約ホモロジーを基本ケースとして使用すると、次の式が成り立つ^。[14]

${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}\!\left(S^{k}\right)\cong \delta _{kn}\,\mathbb {Z} ={\begin{cases}\mathbb {Z} &{\mbox{if }}n=k,\\0&{\mbox{if }}n\neq k,\end{cases}}}$

ここで δ はクロネッカーのデルタです。球面のホモトピー群に関するこのような完全な理解は、球面のホモトピー群に関する現在の知識、特にn > kの場合についてはほとんど知られていない知識とは全く対照的です。^[15]

クラインの壺

クラインの壺（適切な辺の識別を持つ基本多角形）は、2つのメビウスの帯A（青）とB（赤）に分解されます。

マイヤー・ヴィートリス数列のもう少し難しい応用は、クラインの壺 Xのホモロジー群の計算です。Xの分解を 、境界円に沿って接着された2つのメビウスの帯 AとB の和集合として用います（右の図を参照）。すると、A、B、およびそれらの交点A ∩ Bは円とホモトピー同値であるため、数列の非自明な部分は^{[16]となります}

${\displaystyle 0\rightarrow {\tilde {H}}_{2}(X)\rightarrow \mathbb {Z} \ {\xrightarrow {\overset {}{\alpha }}}\ \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \rightarrow \,{\tilde {H}}_{1}(X)\rightarrow 0}$

そして、自明な部分は、2次元より大きい次元ではホモロジーが消滅することを意味します。メビウスの帯の境界円はコア円の周りを2回巻くため、中心写像 α は 1 を (2, −2) に送ります。特に、α は単射なので、2次元のホモロジーも消滅します。最後に、 Z ²の基底として (1, 0) と (1, −1) を選択すると、

${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}\left(X\right)\cong \delta _{1n}\,(\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{2})={\begin{cases}\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{2}&{\mbox{if }}n=1,\\0&{\mbox{if }}n\neq 1.\end{cases}}}$

ウェッジ和

2次元球面KとLのくさび和Xのこの分解は、 Xのすべてのホモロジー群をもたらします。

Xを2つの空間KとLの楔和とし、さらに、同一視された基点が開近傍U⊆KとV⊆Lの変形縮約であると仮定する。A = K∪V、B = U∪Lとすると、A∪B = X、A∩B = U∪Vとなり、これは構成により縮約可能である。この数列の縮約版は（正確に）^{[17]を与える。}

${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(K\vee L)\cong {\tilde {H}}_{n}(K)\oplus {\tilde {H}}_{n}(L)}$

すべての次元nに対して右の図は、Xを2つの2次元球面KとLの和として示している特定のケースでは、上記の2次元球面の結果を用いて、

${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}\left(S^{2}\vee S^{2}\right)\cong \delta _{2n}\,(\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} )=\left\{{\begin{matrix}\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} &{\mbox{if }}n=2,\\0&{\mbox{if }}n\neq 2.\end{matrix}}\right.}$

サスペンション

0次元球面YのサスペンションXのこの分解は、Xのすべてのホモロジー群をもたらします

Xが空間Yの懸架 SYであるとする。AとBをそれぞれ二重円錐の上と下の「頂点」のXにおける補集合とする。すると、 XはA∪Bの和集合であり、AとBは縮約可能である。また、積集合A∩BはYとホモトピー同値である。したがって、マイヤー・ヴィートリス列は、すべてのnに対して、次式を与える。^[18]

${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(SY)\cong {\tilde {H}}_{n-1}(Y).}$

右の図は、1次元球面Xを0次元球面Yの懸架として示しています。一般にk次元球面は ( k − 1) 次元球面の懸架であることに注意すると、上記のように帰納法によってk 次元球面のホモロジー群を導くのは簡単です。

さらなる議論

相対形式

マイヤー・ヴィエトリス列の相対形式も存在します。Y ⊂ Xであり、がC ⊂ AとD ⊂ Bの内部の和集合である場合、正確な列は次のようになります。 ^[19]

${\displaystyle \cdots \to H_{n}(A\cap B,C\cap D)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,H_{n}(A,C)\oplus H_{n}(B,D)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{n}(X,Y)\,{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n-1}(A\cap B,C\cap D)\to \cdots }$

自然性

ホモロジー群は、が連続写像である場合、ホモロジー群の標準的なプッシュフォワード写像が存在し、プッシュフォワードの合成が合成のプッシュフォワードとなるという意味で自然です。つまり、マイヤー・ヴィエトリス列はまた、 ${\displaystyle f:X_{1}\to X_{2}}$ ${\displaystyle f_{*}:H_{k}(X_{1})\to H_{k}(X_{2})}$ ${\displaystyle (g\circ h)_{*}=g_{*}\circ h_{*}.}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X_{1}=A_{1}\cup B_{1}\\X_{2}=A_{2}\cup B_{2}\end{matrix}}\qquad {\text{and}}\qquad {\begin{matrix}f(A_{1})\subset A_{2}\\f(B_{1})\subset B_{2}\end{matrix}}}$ 、

すると、マイヤー・ヴィエトリス列の接続射はと可換である。^[20]つまり、次の図は可換である^[21] （水平写像は通常のものである）。 ${\displaystyle \partial _{*},}$ ${\displaystyle f_{*}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\cdots &H_{n+1}(X_{1})&\longrightarrow &H_{n}(A_{1}\cap B_{1})&\longrightarrow &H_{n}(A_{1})\oplus H_{n}(B_{1})&\longrightarrow &H_{n}(X_{1})&\longrightarrow &H_{n-1}(A_{1}\cap B_{1})&\longrightarrow &\cdots \\&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&f_{*}{\Bigg \downarrow }\\\cdots &H_{n+1}(X_{2})&\longrightarrow &H_{n}(A_{2}\cap B_{2})&\longrightarrow &H_{n}(A_{2})\oplus H_{n}(B_{2})&\longrightarrow &H_{n}(X_{2})&\longrightarrow &H_{n-1}(A_{2}\cap B_{2})&\longrightarrow &\cdots \\\end{matrix}}}$

コホモロジー版

係数群Gを持つ特異コホモロジー群のマイヤー・ヴィエトリス長完全列は、ホモロジー版の双対である。それは以下の通りである。 ^[22]

${\displaystyle \cdots \to H^{n}(X;G)\to H^{n}(A;G)\oplus H^{n}(B;G)\to H^{n}(A\cap B;G)\to H^{n+1}(X;G)\to \cdots }$

ここで、次元保存写像は包含から誘導される制限写像であり、（共）境界写像はホモロジー版と同様の方法で定義される。相対的な定式化もある。

Gが実数 群Rであり、基礎となる位相空間が滑らかな多様体の追加構造を持つ場合の重要な特殊なケースとして、ド・ラーム・コホモロジーのマイヤー・ヴィエトリス列は次のようになる

${\displaystyle \cdots \to H^{n}(X)\,{\xrightarrow {\rho }}\,H^{n}(U)\oplus H^{n}(V)\,{\xrightarrow {\Delta }}\,H^{n}(U\cap V)\,{\xrightarrow {d^{*}}}\,H^{n+1}(X)\to \cdots }$

ここで、{ U , V }はXの開被覆、ρは制限写像、Δは差分です。この写像は上記の写像と同様に定義されます。簡単に説明すると、次のように記述できます。U ∩ Vにおける閉形式ωで表されるコホモロジー類[ ω ]に対して、例えば、開被覆{ U , V }に従属する単位元分割を介して、 ω を形式の差分として表します。外微分dω _Uとdω _{V は}U ∩ Vで一致するため、X上のn + 1形式σを定義します。したがって、d ^∗ ([ ω ]) = [ σ ]となります。 ${\displaystyle d^{*}}$ ${\displaystyle \partial _{*}}$ ${\displaystyle \omega _{U}-\omega _{V}}$

コンパクト台を持つド・ラーム・コホモロジーの場合、上記のシーケンスの「反転」バージョンが存在します。

${\displaystyle \cdots \to H_{c}^{n}(U\cap V)\,\xrightarrow {\delta } \,H_{c}^{n}(U)\oplus H_{c}^{n}(V)\,\xrightarrow {\Sigma } \,H_{c}^{n}(X)\,\xrightarrow {d^{*}} \,H_{c}^{n+1}(U\cap V)\to \cdots }$

ここで、、、は上記と同じであり、はコンパクト台を持つ形式を 上の形式にゼロで拡張する符号付き包含写像であり、は和です。^[23]${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta :\omega \mapsto (i_{*}^{U}\omega ,-i_{*}^{V}\omega )}$ ${\displaystyle i^{U}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \Sigma }$

導出

連鎖群（連鎖複体の構成群） の短完全列に関連する長完全列を考えてみましょう。

${\displaystyle 0\to C_{n}(A\cap B)\,{\xrightarrow {\alpha }}\,C_{n}(A)\oplus C_{n}(B)\,{\xrightarrow {\beta }}\,C_{n}(A+B)\to 0}$ 、

ここで、α( x ) = ( x , −x )、β( x , y ) = x + y、C _n ( A + B ) はAの連鎖とBの連鎖の和からなる連鎖群です。^[9] Xの特異なn単体で、その像がAまたはBのいずれかに含まれるものは、ホモロジー群H _n ( X ) のすべてを生成することは事実です。^[24]言い換えれば、H _n ( A + B ) はH _n ( X )と同型です。これは、特異ホモロジーの Mayer–Vietoris 列を与えます

同じ計算を微分形式のベクトル空間の短完全列に適用​​すると、

${\displaystyle 0\to \Omega ^{n}(X)\to \Omega ^{n}(U)\oplus \Omega ^{n}(V)\to \Omega ^{n}(U\cap V)\to 0}$

は、ド・ラーム・コホモロジーのマイヤー・ヴィートリス列を与える。^[25]

形式的な観点から見ると、マイヤー・ヴィートリス列は、ホモロジーにおける長完全列を用いて、ホモロジー理論のアイレンバーグ・スティーンロッド公理から導くことができる。^[26]

その他のホモロジー理論

アイレンバーグ・スティーンロッド公理からのマイヤー・ヴィートリス列の導出には次元公理は必要ないため、^[27]通常のコホモロジー理論に存在するだけでなく、特別なコホモロジー理論（位相的K理論やコボルディズムなど） でも成立する。

層コホモロジー

層コホモロジーの観点から見ると、マイヤー・ヴィエトリス列はチェフ・コホモロジーと関連している。具体的には、チェフ・コホモロジーを計算するために使用される開被覆が2つの開集合からなる場合、チェフ・コホモロジーと層コホモロジーを関連付けるスペクトル列（マイヤー・ヴィエトリス・スペクトル列と呼ばれることもある）の退化から生じる。[ 28 ^]このスペクトル列は任意のトポイに存在する。^[29]

参照

• 除去定理
• ジグザグ補題

注釈

1. Hirzebruch 1999
2. Mayer 1929
3. Dieudonné 1989, p. 39
4. Mayer 1929, p. 41
5. Vietoris 1930
6. Corry 2004, p. 345
7. Eilenberg & Steenrod 1952, 定理15.3
8. Eilenberg & Steenrod 1952, §15
9. Hatcher 2002, p. 149より引用
10. Hatcher 2002, p. 150
11. Spanier 1966, p. 187
12. Massey 1984, p. 240
13. Hatcher 2002, 定理2A.1, p. 166
14. Hatcher 2002, 例2.46, p. 150
15. Hatcher 2002, p. 384
16. Hatcher 2002, p. 151
17. Hatcher 2002, 158ページの演習31
18. ハッチャー 2002、演習32、158ページ
19. ハッチャー 2002、152ページ
20. マッセイ 1984、208ページ
21. Eilenberg & Steenrod 1952, 定理15.4
22. Hatcher 2002, p. 203
23. Bott, Raoul (1995年5月16日).代数的位相幾何学における微分形式. Tu, Loring W. New York. ISBN 978-0-387-90613-3. OCLC  7597142.
24. Hatcher 2002, 命題2.21, p. 119
25. Bott & Tu 1982, §I.2
26. Hatcher 2002, p. 162
27. Kōno & Tamaki 2006, pp. 25–26
28. Dimca 2004, pp. 35–36
29. Verdier 1972 (SGA 4.V.3)

参考文献

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• スパニエ、エドウィン(1966)、「Algebraic Topology 」 、Springer-Verlag、ISBN 0-387-94426-5。
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さらに詳しく

• ライトベルガー、ハインリッヒ (2002)、「レオポルド・ヴィートリス (1891–2002)」(PDF)、アメリカ数学会誌、49 (20)、ISSN  0002-9920。