マッカンバー関係

マッカンバー関係（またはマッカンバー理論）は、固体レーザーの物理学における光の吸収と放出の有効断面積の関係である。[1] [2]この関係は1964年に提唱したディーン・マッカンバーにちなんで名付けられた。

意味

有効吸収断面積を 、有効放射断面積を、媒体の有効温度を とします。マッカンバー関係式 は σ a ( ω ) {\displaystyle \sigma _{\rm {a}}(\omega )} σ e ( ω ) {\displaystyle \sigma _{\rm {e}}(\omega )} ω {\displaystyle \omega }   T   {\displaystyle ~T~}

（1） σ e ( ω ) σ a ( ω ) exp ( ℏ ω k B T ) = ( N 1 N 2 ) T = exp ( ℏ ω z k B T ) {\displaystyle {\frac {\sigma _{\rm {e}}(\omega )}{\sigma _{\rm {a}}(\omega )}}\exp \!\left({\frac {\hbar \omega }{k_{\rm {B}}T}}\right)=\left({\frac {N_{1}}{N_{2}}}\right)_{T}=\exp \!\left({\frac {\hbar \omega _{\rm {z}}}{k_{\rm {B}}T}}\right)}

ここで 、 は熱定常状態における個体群比、は「零線」周波数と呼ばれる。[3] [4]はプランク定数、 はボルツマン定数である。式(1)の右辺は に依存しない点に注意されたい。 ( N 1 N 2 ) T {\displaystyle \left({\frac {N_{1}}{N_{2}}}\right)_{T}} ω z {\displaystyle \omega _{\rm {z}}} ℏ {\displaystyle \hbar } k B {\displaystyle k_{\rm {B}}}   ω   {\displaystyle ~\omega ~}

得

媒質のレーザー発振特性は、励起レーザー準位の温度と密度によって決まり、励起方法には依存しないのが一般的です。この場合、ある 周波数における吸収断面積 と発光断面積は、 レーザーの利得と相関関係にあり、この周波数における利得は以下のように決定できます。 σ a ( ω ) {\displaystyle \sigma _{\rm {a}}(\omega )} σ e ( ω ) {\displaystyle \sigma _{\rm {e}}(\omega )}   ω   {\displaystyle ~\omega ~}

（2）                               G ( ω ) = N 2 σ e ( ω ) − N 1 σ a ( ω ) {\displaystyle ~~~~~~~~~~~~~~~G(\omega )=N_{2}\sigma _{\rm {e}}(\omega )-N_{1}\sigma _{\rm {a}}(\omega )}

DEMcCumberはこれらの特性を仮定し、放出断面積と吸収断面積は独立していないことを発見した。[1] [2]これらは式(1)と関連している。

理想化された原子

理想的な二準位原子の場合、黒体放射のプランクの公式を維持する発光と吸収の詳細なバランスは、吸収と発光の断面積が等しくなることにつながります。固体レーザーでは、各レーザー準位の分裂により、自然スペクトル線幅を大幅に超える広がりが生じます。理想的な二準位原子の場合、線幅と寿命の積は1のオーダーであり、ハイゼンベルクの不確定性原理に従います。固体レーザー材料では、線幅は数桁大きいため、発光と吸収のスペクトルは、サブ準位間の個々の遷移におけるスペクトル線の形状ではなく、サブ準位間の励起分布によって決定されます。この分布は、各レーザー準位内の有効温度によって決定されます。マッカンバー仮説は、サブ準位間の励起分布は熱的であるというものです。有効温度は発光と吸収のスペクトルを決定します（励起媒質全体が熱状態からかなり離れている場合でも、科学者は有効温度を温度と呼びます）。

控除

図1. サブレベルのスケッチ

活性中心の集合（図1）を考えてみましょう。各準位内のサブ準位間の遷移は高速で、準位間の遷移は低速であると仮定します。マッカンバー仮説によれば、断面積と はポピュレーションと に依存しません。したがって、熱状態を仮定すれば、関係式を導くことができます。 σ a {\displaystyle \sigma _{\rm {a}}} σ e {\displaystyle \sigma _{\rm {e}}} N 1 {\displaystyle N_{1}} N 2 {\displaystyle N_{2}}

媒質中の光の群速度をとすると、 の積は誘導放出のスペクトル速度 、 は吸収のスペクトル速度、 は自然放出のスペクトル速度 です。（この近似では、自然吸収というものは存在しないことに注意してください。）光子のバランスは次のようになります。   v ( ω )   {\displaystyle ~v(\omega )~}   n 2 σ e ( ω ) v ( ω ) D ( ω )   {\displaystyle ~n_{2}\sigma _{\rm {e}}(\omega )v(\omega )D(\omega )~}   n 1 σ a ( ω ) v ( ω ) D ( ω )   {\displaystyle ~n_{1}\sigma _{\rm {a}}(\omega )v(\omega )D(\omega )~} a ( ω ) n 2 {\displaystyle a(\omega )n_{2}}

（3）       n 2 σ e ( ω ) v ( ω ) D ( ω ) + n 2 a ( ω ) = n 1 σ a ( ω ) v ( ω ) D ( ω )                               ( b a l a n c e ) {\displaystyle ~~~n_{2}\sigma _{\rm {e}}(\omega )v(\omega )D(\omega )+n_{2}a(\omega )=n_{1}\sigma _{\rm {a}}(\omega )v(\omega )D(\omega )~~~~~~~~~~~~~~~{\rm {(balance)}}}

これは次のように書き直すことができる。

（4）       D ( ω ) = a ( ω ) σ e ( ω ) v ( ω ) n 1 n 2 σ a ( ω ) σ e ( ω ) − 1                             ( D 1 ) {\displaystyle ~~~D(\omega )={\frac {\frac {a(\omega )}{\sigma _{\rm {e}}(\omega )v(\omega )}}{{\frac {n_{1}}{n_{2}}}{\frac {\sigma _{\rm {a}}(\omega )}{\sigma _{\rm {e}}(\omega )}}-1}}~~~~~~~~~~~~~~{\rm {(D1)}}}

光子密度の熱分布は黒体放射から導かれる[5]

（5）       D ( ω )   =   1 π 2 ω 2 c 3 exp ( ℏ ω k B T ) − 1           ( D 2 ) {\displaystyle ~~~D(\omega )~=~{\frac {{\frac {1}{\pi ^{2}}}{\frac {\omega ^{2}}{c^{3}}}}{\exp \!\left({\frac {\hbar \omega }{k_{\rm {B}}T}}\right)-1}}~~~~~{\rm {(D2)}}}

(4)と(5)は両方ともすべての周波数 に対して成り立ちます。理想的な2レベルの活性中心の場合、、および となり、これは自然放出のスペクトル率と放出断面積の間に関係式をもたらします。[5] (放出確率という用語は、時間に原子が励起されていると仮定して、短い時間間隔 の間に小さなスペクトル間隔内で光子が放出される確率を表す量に対して使用します。) 関係式(D2)は自然放出と誘導放出の基本的な特性であり、励起と光子の熱状態における 熱平衡の自発的な破れを防ぐ唯一の方法であると考えられます。   ω   {\displaystyle ~\omega ~}   σ a ( ω ) = σ e ( ω )   {\displaystyle ~\sigma _{\rm {a}}(\omega )=\sigma _{\rm {e}}(\omega )~}   n 1 / n 2 = exp ( ℏ ω k B T ) {\displaystyle ~n_{1}/n_{2}=\exp \!\left({\frac {\hbar \omega }{k_{\rm {B}}T}}\right)} a ( ω ) {\displaystyle a(\omega )}   σ e ( ω )   {\displaystyle ~\sigma _{\rm {e}}(\omega )~}   a ( ω ) d ω d t   {\displaystyle ~a(\omega ){\rm {d}}\omega {\rm {d}}t~}   ( ω , ω + d ω )   {\displaystyle ~(\omega ,\omega +{\rm {d}}\omega )~}   ( t , t + d t )   {\displaystyle ~(t,t+{\rm {d}}t)~}   t   {\displaystyle ~t~}

各サイト番号、各サブレベル番号に対して、部分スペクトル放出確率は理想的な2レベル原子を考慮して次のように表すことができます。[5]   s   {\displaystyle ~s~} j {\displaystyle j}   a s , j ( ω )   {\displaystyle ~a_{s,j}(\omega )~}

（6）       a s , j ( ω ) = σ s , j ( ω ) ω 2 v ( ω ) π 2 c 3     .                                 c o m p a r i s o n 1     p a r t i a l {\displaystyle ~~~a_{s,j}(\omega )=\sigma _{s,j}(\omega ){\frac {\omega ^{2}v(\omega )}{\pi ^{2}c^{3}}}~~.~~~~~~~~~~~~~~~~{\rm {comparison1}}~~{\rm {partial}}}

協力的なコヒーレント効果を無視すると、放出は加算的になります。つまり、サイトの集中度やサブレベルの部分的な集団に関係なく、有効断面積には と​​ の間に同じ比例関係が成り立ち ます。   q s   {\displaystyle ~q_{s}~}   n s , j   {\displaystyle ~n_{s,j}~}   a   {\displaystyle ~a~}   σ e   {\displaystyle ~\sigma _{\rm {e}}~}

（7） a ( ω ) σ e ( ω ) = ω 2 v ( ω ) π 2 c 3                                     ( c o m p a r i s o n ) ( a v ) {\displaystyle {\frac {a(\omega )}{\sigma _{\rm {e}}(\omega )}}={\frac {\omega ^{2}v(\omega )}{\pi ^{2}c^{3}}}~~~~~~~~~~~~~~~~~~({\rm {comparison)(av)}}}

そして、(D1)と(D2)を比較すると、次の関係が得られる。

（8） n 1 n 2 σ a ( ω ) σ e ( ω ) = exp ( ℏ ω k B T )     .                 ( n 1 n 2 ) ( m c 1 ) {\displaystyle {\frac {n_{1}}{n_{2}}}{\frac {\sigma _{\rm {a}}(\omega )}{\sigma _{\rm {e}}(\omega )}}=\exp \!\left({\frac {\hbar \omega }{k_{\rm {B}}T}}\right)~~.~~~~~~~~{\rm {(n1n2)(mc1)}}}

この関係は、零線周波数を次の式の解として 定義すると、マクカンバー関係（mc）と等価である。 ω Z {\displaystyle \omega _{Z}}

（9）   ( n 1 n 2 ) T = exp ( ℏ ω Z k B T )         ,       {\displaystyle ~\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right)_{\!T}=\exp \!\left({\frac {\hbar \omega _{\rm {Z}}}{k_{\rm {B}}T}}\right)~~~~,~~~}

下付き文字は、熱状態における個体群の比率が評価されることを示します。零線周波数は次のように表されます。   T   {\displaystyle ~T~}

（10） ω Z = k B T ℏ ln ⁡ ( n 1 n 2 ) T                                 .     ( o z ) {\displaystyle \omega _{\rm {Z}}={\frac {k_{\rm {B}}T}{\hbar }}\ln \left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right)_{T}~~~~~~~~~~~~~~~~.~~{({\rm {oz)}}}}

すると、(n1n2)はMcCumber関係式(mc)と等しくなります。

マッカンバー関係式を維持するために、活性媒質のサブレベルに特別な性質は必要ありません。これは、励起レーザー準位間およびより低いレーザー準位間でのエネルギーの迅速な移動に関する仮定から導かれます。マッカンバー関係式（mc）は、発光断面積の概念自体と同じ有効範囲を持ちます。

確認

マッカンバー関係は様々な媒質に対して確認されている。[6] [7] 特に、関係式（1）は、周波数、放射断面積、吸収断面積の2つの関数を1回の近似で近似することを可能にする。[8]

違反と永久運動

図2 Yb:Gd 2 SiO 5の断面積と λ = 2 π c ω {\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi c}{\omega }}}

2006年、Yb:Gd 2 SiO 5においてMcCumber関係式の強い破れが観測され、3つの独立した学術誌で報告された。[9] [10] [11]報告された断面積の典型的な挙動は、図2の太い曲線で示されている。発光断面積は波長975 nmで実質的にゼロであり、この特性により、Yb:Gd 2 SiO 5は高効率固体レーザーに最適な材料となっている。

しかし、報告されている特性（太い曲線）は熱力学第二法則と矛盾する。このような材料であれば、永久機関の実現は可能である。反射壁を備えた箱をYb:Gd 2 SiO 5で満たし、975 nm付近で透過し、他の波長で反射するスペクトル選択窓を通して黒体と放射を交換すれば十分である。975 nmでの放射率が低いため、媒質は温まり、熱平衡が破れるはずである。

熱力学第二法則に基づく実験結果 [9] [10] [11]は2007年に反証された。マッカンバー理論では、有効放出断面積（黒く細い曲線）に対する補正が提案された[3] 。 その後、この補正は実験的に確認された[12] 。

参考文献

  1. ^ ab DEMcCumber. 広帯域発光スペクトルと吸収スペクトルを結びつけるアインシュタインの関係式. PRB 136 (4A), 954–957 (1964)
  2. ^ ab PCBecker, NAOlson, JRSimpson.エルビウムドープ光ファイバー増幅器：基礎と理論（学術誌、1999年）。
  3. ^ ab D. Kouznetsov (2007). 「高効率ダイオード励起Yb:Gd2SiO5レーザーに関するコメント (Appl.Phys.Lett.88,221117(2006))」 .応用物理学レターズ. 90 (6) 066101. Bibcode :2007ApPhL..90f6101K. doi :10.1063/1.2435309.
  4. ^ D.Kouznetsov (2007). 「広帯域レーザー材料とMcCumberの関係」. Chinese Optics Letters 5 : S240 - S242 . 2007年9月28日時点のオリジナルよりアーカイブ。
  5. ^ abc e2
  6. ^ RSQuimby (2002). 「吸収断面積と放出断面積の関係におけるMcCumber理論の妥当性範囲」 . Journal of Applied Physics . 92 (1): 180– 187. Bibcode :2002JAP....92..180Q. doi :10.1063/1.1485112.
  7. ^ RMMartin; RSQuimby (2006). 「希土類ガラスの発光と吸収に関するMcCumber理論の妥当性の実験的証拠」アメリカ光学会誌B. 23 ( 9): 1770– 1775. Bibcode :2006JOSAB..23.1770M. doi :10.1364/JOSAB.23.001770.
  8. ^ D.Kouznetsov; J.-F.Bisson; K.Takaichi; K.Ueda (2005). 「短く広い不安定共振器を備えたシングルモード固体レーザー」. Journal of the Optical Society of America B . 22 (8): 1605– 1619. Bibcode :2005JOSAB..22.1605K. doi :10.1364/JOSAB.22.001605.
  9. ^ ab W. Li; H. Pan; L. Ding; H. Zeng; et al. (2006). 「高効率ダイオード励起Yb:Gd2SiO5レーザー」 . Applied Physics Letters . 88 (22): 221117. Bibcode :2006ApPhL..88v1117L. doi :10.1063/1.2206150.
  10. ^ ab W.Li; H.Pan; L.Ding; H.Zeng; et al. (2006). 「ダイオード励起連続波および受動モード同期Yb:Gd2SiO5レーザー」. Optics Express . 14 (2): 686– 695. Bibcode :2006OExpr..14..686L. doi : 10.1364/OPEX.14.000686 . PMID  19503386.
  11. ^ ab C.Yan; G.Zhao; L.Zhang; J.Xu; et al. (2006). 「新しいYbドープオキシオルトシリケートレーザー結晶：Yb:Gd 2 SiO 5」. Solid State Communications . 137 (8): 451– 455. Bibcode :2006SSCom.137..451Y. doi :10.1016/j.ssc.2005.12.023.[リンク切れ]
  12. ^ G.Zhao; L.Su; J.Xua; H.Zeng (2007). 「高効率ダイオード励起Yb:Gd2SiO5レーザーに関するコメントへの回答 (Appl. Phys. Lett. 90, 066101 2007)」. Applied Physics Letters . 90 (6): 066103. Bibcode :2007ApPhL..90f6103Z. doi : 10.1063/1.2435314 .
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