測定可能な空間のカテゴリ
数学において、可測空間のカテゴリ（ひょうかくかんのカテゴリ、英: meas ）は、その対象が可測空間であり、その射が可測写像であるカテゴリである。[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] これがカテゴリである理由は、2つの可測写像の合成が再び可測であり、恒等関数が可測であるためである。
注：一部の著者は、測度空間を対象とする圏にMeasという名前を予約し、可測空間の圏をMbleなど他の表記法で表す。また、この圏を標準的なボレル空間のような特定の行儀の良い可測空間に限定する著者もいる。
具体的なカテゴリーとして
多くの圏と同様に、圏Measは具体的な圏であり、その対象は追加の構造（すなわちシグマ代数）を持つ集合であり、その射はこの構造を保存する関数である。自然な忘却関手が存在する。
- U :測定→設定
各測定可能空間に基礎集合を割り当て、各測定可能写像に基礎関数を割り当てる集合のカテゴリ。
忘却関手Uは左随伴関数を持つ
- D :設定→測定
これは与えられた集合に離散シグマ代数と右随伴関数を装備する。
- I :設定→測定
これは与えられた集合に非離散的または自明なシグマ代数を付与する。これらの関数はどちらも、実際にはUの右逆関数である（つまり、UDとUI はSet上の恒等関数に等しい）。さらに、離散空間間または非離散空間間の任意の関数は可測であるため、これらの関数はどちらもSetのMeasへの完全埋め込みを与える。
極限と余極限
圏Meas は完全かつ余完全であり、これはすべての小さな極限と余極限がMeasに存在することを意味します。実際、忘却関手U : Meas → Set は、両方の極限と余極限を一意に持ち上げ、かつそれらを保存もします。したがって、Measの (余) 極限は、 Setの対応する (余) 極限に特定のシグマ代数を置くことによって与えられます。
Measにおける極限と余極限の例には次のものがあります。
- 空集合（可測空間とみなされる）はMeasの始対象である。任意の単独可測空間は終対象である。したがって、 Measには零対象は存在しない。
- Measにおける積は、直積 上のシグマ代数の積によって与えられる。余積は、測定可能な空間の互いに素な和によって与えられる。
- 一対の射の等化子は、集合論的等化子によって与えられた部分集合に誘導シグマ代数を置くことによって与えられる。双対的に、共等化子は、商シグマ代数を集合論的共等化子に置くことによって与えられる。
- 直接極限と逆極限は、それぞれ最終シグマ代数と初期シグマ代数との集合論的極限である。直接系と逆系の標準的な例としては、確率論におけるフィルトレーションから生じるものがあり、そのような系の極限と余極限は、それぞれシグマ代数の結合と交差である。
その他の特性
- Measにおける単射写像は入射的可測写像であり、エピモーフィズムは射影的可測写像であり、同型写像は可測空間の同型写像です。
- 分割単型は、（本質的には）測定可能な後退をその周囲空間に含めるものである。
- 分割エピモーフィズムは、（同型性を除いて）測定可能な空間からその後退の 1 つへの測定可能な射影写像です。
- Meas はすべての空間に対して指数オブジェクトを持たないため、デカルト閉空間ではありません(したがって、トポスでもありません)。
参照
- 位相空間のカテゴリ – 対象が位相空間であり、その射が連続写像であるカテゴリ
- 集合の圏 – オブジェクトが集合であり、射が関数である圏
- 測定空間のカテゴリ
- マルコフ核のカテゴリ – オブジェクトが測定可能空間であり、その射がマルコフ核であるカテゴリ
- 測定可能空間 – 測度論における基本的対象、集合とシグマ代数
- 測定可能な関数 – 数学関数の一種
引用
- ^ジリー（1982）、69ページ
- ^ジェイコブス（2018）、205ページ
- ^フリッツ（2020）、20ページ
- ^モス＆ペローネ（2022）、3ページ
参考文献
- ジリー、ミシェル (1982). 「確率論への圏論的アプローチ」 .位相幾何学と解析の圏論的側面. 数学講義ノート. 第915巻. シュプリンガー. pp. 68– 85. doi : 10.1007/BFb0092872 . ISBN 978-3-540-11211-2。
- Jacobs, Bart (2018). 「確率モナドから可換効果へ」 . Journal of Logical and Algebraic Methods in Programming . 94 : 200–237 . doi : 10.1016/j.jlamp.2016.11.006 . hdl : 2066/182000 .
- フリッツ、トビアス (2020). 「マルコフ核、条件付き独立性、および十分統計量に関する定理への統合的アプローチ」 . Advances in Mathematics . 370. arXiv : 1908.07021 . doi : 10.1016/j.aim.2020.107239 . S2CID 201103837 .
- モス、ショーン；ペローネ、パオロ (2022). 「決定論的状態のサブモナドを持つ確率モナド」 . LICS '22: 第37回ACM/IEEEコンピュータサイエンス論理シンポジウム議事録. arXiv : 2204.07003 . doi : 10.1145/3531130.3533355 .
