混合ホッジモジュール

数学において、混合ホッジ加群は、ホッジ理論、混合ホッジ構造、交差コホモロジー、および分解定理の集大成であり、 6 つの関手形式論を通じて、退化する混合ホッジ構造のさまざまなバリエーションを議論するための首尾一貫した枠組みをもたらします。本質的に、これらのオブジェクトは、フィルターされたD 加 群と、リーマン–ヒルベルト対応からの関手が に送る倒錯層のペアです。これにより、交差コホモロジー上のホッジ構造を構成することができ、これはこの主題が発見されたときの重要な問題の一つでした。これは、コヒーレント D 加群上のフィルター処理をホッジ構造に対するホッジ フィルター処理の類似物として使用する方法を見つけた斎藤守彦によって解決されました^[1]。これにより、倒錯層の アーベル カテゴリ内の単純なオブジェクトである交差コホモロジー層上にホッジ構造を与えることが可能になりました。${\displaystyle (M,F^{\bullet })}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle (M,F^{\bullet })}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

抽象構造

混合ホッジ加群の定義の細部（これはかなり複雑なので）に入る前に、混合ホッジ加群の圏が実際に何を提供するのかを理解しておきましょう。複素代数多様体が与えられた場合、以下の関数的性質を持つ アーベル圏^{[2] （339ページ）が存在します。}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\textbf {MHM}}(X)}$

1. 合理化関数と呼ばれる忠実関数 が存在する。これは混合ホッジ加群の基礎となる有理倒錯層を与える。${\displaystyle {\text{rat}}_{X}:{\textbf {MHM}}(X)\to {\textbf {Perv}}(X;\mathbb {Q} )}$
2. 混合ホッジ加群をその基礎となる D 加群に送信する忠実な関数が存在します。${\displaystyle {\text{Dmod}}_{X}:{\textbf {MHM}}(X)\to {\textbf {Mod}}({\mathcal {D}}_{X})}$
3. これらの関数はリーマン-ヒルベルト対応に関して適切に動作し、すべての混合ホッジ加群には同型性が存在することを意味します。${\displaystyle DR_{X}:D_{Coh}^{b}({\mathcal {D}}_{X})\to D_{cs}^{b}(X;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \alpha :{\text{rat}}_{X}(M)\otimes \mathbb {C} \xrightarrow {\sim} {\text{DR}}_{X}({\text{Dmod}}_{X}(M))}$

さらに、次のようなカテゴリカルな特性がある。

1. 点上の混合ホッジ加群のカテゴリは混合ホッジ構造のカテゴリと同型である。${\displaystyle {\textbf {MHM}}(\{pt\})\cong {\text{MHS}}}$
2. のすべてのオブジェクトは重みフィルタリングを許容し、 のすべての射は重みフィルタリングを厳密に保存し、関連付けられた次数付きオブジェクトは半単純であり、点上の混合ホッジ加群のカテゴリでは、これは混合ホッジ構造の重みフィルタリングに対応します。${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\textbf {MHM}}(X)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle {\textbf {MHM}}(X)}$ ${\displaystyle {\text{Gr}}_{k}^{W}(M)}$
3. の Verdier 双対関数を持ち上げる双対関数 が存在し、これは の反転です。${\displaystyle \mathbb {D} _{X}}$ ${\displaystyle D_{cs}^{b}(X;\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle {\textbf {MHM}}(X)}$

代数多様体の射に対して、および上の6つの関手は次の性質を持つ。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle D^{b}{\textbf {MHM}}(X)}$ ${\displaystyle D^{b}{\textbf {MHM}}(Y)}$

1. ${\displaystyle f_{!},f^{*}}$ 混合ホッジ加群の複合体の重みを増やさないでください。${\displaystyle M^{\bullet}}$
2. ${\displaystyle f^{!},f_{*}}$ 混合ホッジ加群の複合体の重みを減らさないでください。${\displaystyle M^{\bullet}}$

派生カテゴリ間の関係

混合ホッジ加群の 導来圏は、倒錯層の導来圏と同値な構成可能層の導来圏と密接に関連している。これは、合理化関手が混合ホッジ加群の複体のコホモロジー関手と両立するからである。合理化を取ると、同型性が存在する。${\displaystyle D^{b}{\textbf {MHM}}(X)}$ ${\displaystyle D_{cs}^{b}(X;\mathbb {Q} )\cong D^{b}({\text{Perv}}(X;\mathbb {Q} ))}$ ${\displaystyle H^{k}}$ ${\displaystyle M^{\bullet}}$

${\displaystyle {\text{rat}}_{X}(H^{k}(M^{\bullet }))={\text{ }}^{\mathbf {p} }H^{k}({\text{rat}}_{X}(M^{\bullet }))}$

中間の倒錯性 について。^{[2] pg 310}に留意せよ。これはを送る関数であり、倒錯性が となる関数である擬多様体の場合とは異なる。これは倒錯切断とシフト関数の合成として定義されていることを思い出せ。したがって、^{[2] pg 341}${\displaystyle \mathbb {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} :2\mathbb {N} \to \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} (2k)=-k}$ ${\displaystyle \mathbb {p} :[2,n]\to \mathbb {Z} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} (2k)=\mathbf {p} (2k-1)=k-1}$

${\displaystyle {\text{ }}^{\mathbf {p} }H^{k}({\text{rat}}_{X}(M^{\bullet }))={\text{ }}^{\mathbf {p} }\tau _{\leq 0}{\text{ }}^{\mathbf {p} }\tau _{\geq 0}({\text{rat}}_{X}(M^{\bullet })[+k])}$

この種の設定は導出プッシュ関手と導出プル関手にも反映されており、近傍サイクルと消失サイクルでは、合理化関手はこれらを導出カテゴリの倒錯層の類似の倒錯関手に持ち込みます。 ${\displaystyle f_{!},f^{*},f^{!},f_{*}}$ ${\displaystyle \psi _{f},\phi _{f}}$

テイト加群とコホモロジー

ここで、点への正準射影を と表記する。利用可能な最初の混合ホッジ加群の1つは、重み0のテイトオブジェクトで、 と表記され、これは における対応するオブジェクトの引き戻しとして定義される。したがって、${\displaystyle p:X\to \{pt\}}$ ${\displaystyle {\underline {\mathbb {Q} }}_{X}^{Hdg}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{Hdg}\in {\textbf {MHM}}(\{pt\})}$

${\displaystyle {\underline {\mathbb {Q} }}_{X}^{Hdg}=p^{*}\mathbb {Q} ^{Hdg}}$

ホッジ構造は、混合ホッジ構造の圏における重み0のテイト対象に対応する。この対象は、6つの関数形式を通して様々なコホモロジーを計算し、それらに混合ホッジ構造を与えることができるため有用である。これらは以下の表にまとめられる。${\displaystyle \mathbb {Q} ^{Hdg}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (0)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{matrix}H^{k}(X;\mathbb {Q} )&=H^{k}(\{pt\},p_{*}p^{*}\mathbb {Q} ^{Hdg})\\H_{c}^{k}(X;\mathbb {Q} )&=H^{k}(\{pt\},p_{!}p^{*}\mathbb {Q} ^{Hdg})\\H_{-k}(X;\mathbb {Q} )&=H^{k}(\{pt\},p_{!}p^{!}\mathbb {Q} ^{Hdg})\\H_{-k}^{BM}(X;\mathbb {Q} )&=H^{k}(\{pt\},p_{!}p^{*}\mathbb {Q} ^{Hdg})\end{matrix}}}$

さらに、閉じた埋め込みが与えられた場合、局所コホモロジー群が存在する。${\displaystyle i:Z\to X}$

${\displaystyle H_{Z}^{k}(X;\mathbb {Q} )=H^{k}(\{pt\},p_{*}i_{*}i^{!}{\underline {\mathbb {Q} }}_{X}^{Hdg})}$

混合ホッジ構造のバリエーション

多様体の射に対して、プッシュフォワード写像と は上の混合ホッジ構造の退化変分を与える。これらの変分をよりよく理解するためには、分解定理と交差コホモロジーが必要となる。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f_{*}{\underline {\mathbb {Q} }}_{X}^{Hdg}}$ ${\displaystyle f_{!}{\underline {\mathbb {Q} }}_{X}^{Hdg}}$ ${\displaystyle Y}$

交差コホモロジー

混合ホッジ加群の圏を定義する特徴の一つは、交差コホモロジーをその言語で表現できるという事実である。これにより、多様体の写像に対する分解定理を用いることが可能となる。交差複体を定義するために、 を多様体 の開平滑部とする。すると、 の交差複体は次のように定義される。${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle j:U\hookrightarrow X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle IC_{X}^{\bullet }\mathbb {Q} ^{Hdg}:=j_{!*}{\underline {\mathbb {Q} }}_{U}^{Hdg}[d_{X}]}$

どこ

${\displaystyle j_{!*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{U}^{Hdg})=\operatorname {Image} [j_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{U}^{Hdg})\to j_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{U}^{Hdg})]}$

倒錯層の場合と同様に^{[2] 311ページ}。特に、この設定は交差コホモロジー群を示すために使用できる。

${\displaystyle IH^{k}(X)=H^{k}(p_{*}IC^{\bullet }{\underline {\mathbb {Q} }}_{X})}$

純粋な重みホッジ構造を持ちます。 ${\displaystyle k}$

参照

• 複雑な動機（数学）
• ドリーニュコホモロジー

参考文献

1. 「フィルター付き$\mathcal{D}$-モジュールによるホッジ構造」www.numdam.org . 2020年8月16日閲覧。
2. Peters, C. (Chris) (2008). 混合ホッジ構造. Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-540-77017-6. OCLC  1120392435.

• 混合ホッジ加群の若者向けガイド