混合長さモデル
Mathematical model in fluid dynamics
混合長とは、流体塊が周囲の流体に分散する前に、その本来の特性を維持する距離です。図の左側のバーが混合長です。

流体力学において、混合長モデルは、ニュートン流体境界層内の乱流レイノルズ応力による運動量移動を渦粘性を用いて記述しようとする手法である。このモデルは、20世紀初頭にルートヴィヒ・プラントルによって開発された。 [1]プラントル自身はこのモデルに疑問を抱いており、[2]「単なる大まかな近似に過ぎない」[3]と述べているが、それ以来、大気科学、海洋学、恒星構造 など、多くの分野で利用されてきた。[4]また、アリとデイ[5]は、混合不安定性という高度な概念を提唱した。

物理的な直感

混合長は、熱力学における平均自由行程の概念に概念的に類似している。流体塊は、周囲の流体と混合する前に、その特性長さである の間、その特性を保存する。プラントルは、混合長は[6]   ξ ′ {\displaystyle \ \xi '}

個々のケースにおいて全体として移動する流体の塊の直径と考えることもできるし、また、このタイプの塊が隣接する塊と混ざり合う前に移動する距離と考えることもできる...

上の図では、物体が温度勾配を横切って移動する間、温度 は一定の距離にわたって保存されます。物体がこの過程を通して経験した温度変動は です。したがって、 は、物体がこの混合長さ を移動した後の周囲環境からの温度偏差と見ることができます。   T {\displaystyle \ T}   T ′ {\displaystyle \ T'}   T ′ {\displaystyle \ T'}   ξ ′ {\displaystyle \ \xi '}

数学的定式化

まず最初に、量をゆっくり変化する要素と変動する要素の合計として表現できなければなりません。

レイノルズ分解

この過程はレイノルズ分解として知られています。温度は次のように表されます: [7]

T = T ¯ + T ′ , {\displaystyle T={\overline {T}}+T',}

ここで、 はゆっくり変化する成分であり、は変動する成分です。 T ¯ {\displaystyle {\overline {T}}} T ′ {\displaystyle T'}

上の図では、流体塊が Z 方向に移動することを考えて、混合長さで表すことができます。 T ′ {\displaystyle T'}

T ′ = − ξ ′ ∂ T ¯ ∂ z . {\displaystyle T'=-\xi '{\frac {\partial {\overline {T}}}{\partial z}}.}

速度の変動成分、、も同様の方法で表現できます。 u ′ {\displaystyle u'} v ′ {\displaystyle v'} w ′ {\displaystyle w'}

u ′ = − ξ ′ ∂ u ¯ ∂ z ,   v ′ = − ξ ′ ∂ v ¯ ∂ z ,   w ′ = − ξ ′ ∂ w ¯ ∂ z . {\displaystyle u'=-\xi '{\frac {\partial {\overline {u}}}{\partial z}},\qquad \ v'=-\xi '{\frac {\partial {\overline {v}}}{\partial z}},\qquad \ w'=-\xi '{\frac {\partial {\overline {w}}}{\partial z}}.}

ただし、圧力傾度力によって変動成分が大きく変化する可能性があるため、理論的根拠は弱い。さらに、鉛直速度の場合、中性成層流体でなければならない。 w ′ {\displaystyle w'}

水平方向と垂直方向の変動を積算すると次のようになります。

u ′ w ′ ¯ = ξ ′ 2 ¯ | ∂ w ¯ ∂ z | ∂ u ¯ ∂ z . {\displaystyle {\overline {u'w'}}={\overline {\xi '^{2}}}\left|{\frac {\partial {\overline {w}}}{\partial z}}\right|{\frac {\partial {\overline {u}}}{\partial z}}.}

渦粘性は上記の式から次のように定義されます。

K m = ξ ′ 2 ¯ | ∂ w ¯ ∂ z | , {\displaystyle K_{m}={\overline {\xi '^{2}}}\left|{\frac {\partial {\overline {w}}}{\partial z}}\right|,}

したがって、渦粘性は混合長さで表されます。 K m {\displaystyle K_{m}} ξ ′ {\displaystyle \xi '}

参照

参考文献

  1. ^ Holton, James R. (2004). 「第5章 惑星境界層」. Dynamic Meteorology . International Geophysics Series. 第88巻（第4版）. バーリントン（マサチューセッツ州）: Elsevier Academic Press. pp.  124– 127.
  2. ^ プラントル、L. (1925)。 「7. Bericht über Untersuchungen zur ausgebildeten Turbulenz」。Z.アンジュー。数学。メカ。5 (1): 136–139。書誌コード:1925ZaMM....5..136P。土井：10.1002/zamm.19250050212。
  3. ^ Bradshaw, P. (1974). 「プラントの混合長理論の起源の可能性」. Nature . 249 (6): 135– 136. Bibcode :1974Natur.249..135B. doi :10.1038/249135b0. S2CID  4218601.
  4. ^ Chan, Kwing; Sabatino Sofia (1987). 「深部対流の混合長理論の妥当性検証」. Science . 235 (4787): 465– 467. Bibcode :1987Sci...235..465C. doi :10.1126/science.235.4787.465. PMID  17810341. S2CID  21960234.
  5. ^ Ali, SZ; Dey, S. (2020). 「壁の法則：新たな視点」.流体物理学. 36 : 121401. doi :10.1063/5.0036387.
  6. ^ プラントル、L. (1926)。手順第二国際空港会議応用メカ。チューリッヒ。{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
  7. ^ 「レイノルズ分解」フロリダ州立大学2008年12月6日. 2008年12月6日閲覧。
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