修正ウィグナー分布関数
ウィグナー分布関数の変化
注: ウィグナー分布関数は、ここでは、ウィグナー分布関数で使用されるWDFではなくWDと略されます。

修正ウィグナー分布関数は、交差項を削減または削除した ウィグナー分布関数(WD)のバリエーションです。

ウィグナー分布 (WD) は、 1932 年にユージン・ウィグナーによって古典統計力学の補正のために初めて提案されました。解析信号用のウィグナー分布関数、またはウィグナー・ヴィル分布 (WVD) は、時間周波数解析にも応用されています。ウィグナー分布では、スメア アウトスペクトログラム(SP) に比べて、項の自動位置特定が優れています。ただし、複数の周波数成分を持つ信号に適用すると、その二次関数の性質により交差項が現れます。交差項を削減するための方法がいくつか提案されています。たとえば、1994 年にリュビシャ・スタンコビッチは、交差項を削減または削除する、現在では主に S 法と呼ばれる新しい手法を提案しました。S 法の概念は、スペクトログラムと、WD のウィンドウ バージョンである擬似ウィグナー分布 (PWD) を組み合わせたものです。

元のWD、スペクトログラム、修正されたWDはすべて、コーエンの双線形時間周波数表現のクラスに属します。

C × ( t , f ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ W x ( θ , ν ) Π ( t − θ , f − ν ) d θ d ν = [ W x ∗ Π ] ( t , f ) {\displaystyle C_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(\theta ,\nu )\Pi (t-\theta ,f-\nu )\,d\theta \,d\nu \quad =[W_{x}\,\ast \,\Pi ](t,f)}

ここで、 はコーエンの カーネル関数であり、これは多くの場合ローパス関数であり、通常は元のウィグナー表現における干渉をマスクするために使用されます。 Π ( t , f ) {\displaystyle \Pi \left(t,f\right)}

数学的な定義

  • ウィグナー分布
W x ( t , f ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t + τ / 2 ) x ∗ ( t − τ / 2 ) e − j 2 π τ f d τ {\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau f}\,d\tau }

コーエンのカーネル関数: Π ( t , f ) = δ ( 0 , 0 ) ( t , f ) {\displaystyle \Pi (t,f)=\delta _{(0,0)}(t,f)}

  • スペクトログラム
S P x ( t , f ) = | S T x ( t , f ) | 2 = S T x ( t , f ) S T x ∗ ( t , f ) {\displaystyle SP_{x}(t,f)=|ST_{x}(t,f)|^{2}=ST_{x}(t,f)\,ST_{x}^{*}(t,f)}

ここで、 の短時間フーリエ変換です。 S T x {\displaystyle ST_{x}} x {\displaystyle x}

S T x ( t , f ) = ∫ − ∞ ∞ x ( τ ) w ∗ ( t − τ ) e − j 2 π f τ d τ {\displaystyle ST_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )w^{*}(t-\tau )e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau }

コーエンのカーネル関数 :これは窓関数自体のWDです。これはウィグナー分布関数の畳み込み特性を適用することで検証できます。 Π ( t , f ) = W h ( t , f ) {\displaystyle \Pi (t,f)=W_{h}(t,f)}

スペクトログラムは正の値を持つ二次分布であるため、干渉を生成できません。


  • 修正フォームI

W x ( t , f ) = ∫ − B B w ( τ ) x ( t + τ / 2 ) x ∗ ( t − τ / 2 ) e − j 2 π τ f d τ {\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-B}^{B}w(\tau )x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau f}\,d\tau }

交差項の問題は解決できませんが、ウィンドウ サイズ B よりも大きい 2 つのコンポーネントの時間差の問題を解決することができます。

  • 修正フォームII

W x ( t , f ) = ∫ − B B w ( η ) X ( f + η / 2 ) X ∗ ( f − η / 2 ) e j 2 π t η d η {\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-B}^{B}w(\eta )X(f+\eta /2)X^{*}(f-\eta /2)e^{j2\pi t\eta }\,d\eta }

  • 修正型III（擬似L-ウィグナー分布）

W x ( t , f ) = ∫ − ∞ ∞ w ( τ ) x L ( t + τ / ( 2 L ) ) x ∗ L ( t − τ / ( 2 L ) ) ¯ e − j 2 π τ f d τ {\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau )x^{L}(t+\tau /(2L)){\overline {x^{*L}(t-\tau /(2L))}}e^{-j2\pi \tau f}\,d\tau }

ここでLは0より大きい整数である

Lを大きくすると交差項の影響を減らすことができます（ただし完全に排除することはできません）。

たとえば、L = 2の場合、支配的な第3項は4で割られます（これは12dBに相当します）。

これにより、Wigner 分布に比べて大幅な改善がもたらされます。

L-ウィグナー分布の特性:

  1. L-ウィグナー分布は常に実数です。
  2. 信号が時間シフトされている場合、そのLWDも時間シフトされます。 x ( t − t 0 ) {\displaystyle x(t-t0)} L W D : W x ( t − t 0 , f ) {\displaystyle LWD:W_{x}(t-t0,f)}
  3. 変調信号のLWDは周波数シフトされる x ( t ) exp ⁡ ( j ω 0 t ) {\displaystyle x(t)\exp(j\omega _{0}t)} L W D : W x ( t , f − f 0 ) {\displaystyle LWD:W_{x}(t,f-f0)}
  4. 信号が時間制限されている場合、つまりL-ウィグナー分布は時間制限があり、 x ( t ) {\displaystyle x(t)} x ( t ) = 0 {\displaystyle x(t)=0} f o r | t | > T , {\displaystyle for\left\vert t\right\vert >T,} L W D : W x ( t , f ) = 0 {\displaystyle LWD:W_{x}(t,f)=0} f o r | t | > T {\displaystyle for\left\vert t\right\vert >T}
  5. 信号が( )によって帯域制限されている場合、周波数領域でもによって制限されます。 x ( t ) {\displaystyle x(t)} f m {\displaystyle f_{m}} F ( f ) = 0 {\displaystyle F(f)=0} f o r | f | > f m {\displaystyle for\left\vert f\right\vert >f_{m}} L W D : W x ( t , f ) {\displaystyle LWD:W_{x}(t,f)} f m {\displaystyle f_{m}}
  6. L-ウィグナー分布の周波数積分は一般化信号電力に等しい。 ∫ − ∞ ∞ W x ( t , f ) d f = | x ( t ) | 2 L {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)df=\left\vert x(t)\right\vert ^{2L}}
  7. 時間と周波数にわたる積分は、信号のノルムの累乗に等しい。 L W D : W x ( t , f ) {\displaystyle LWD:W_{x}(t,f)} 2 L t h {\displaystyle 2L^{th}} 2 L t h {\displaystyle 2L^{th}} x ( t ) {\displaystyle x(t)}

∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ W x ( t , f ) d t d f = ∫ − ∞ ∞ | x ( t ) | 2 L d t = ‖ x ( t ) ‖ 2 L 2 L {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)dtdf=\int _{-\infty }^{\infty }\left\vert x(t)\right\vert ^{2L}dt=\lVert x(t)\rVert _{2L}^{2L}}

  1. 時間の積分は次のようになります。

∫ − ∞ ∞ W x ( t , f ) d t = | F L ( f ) | 2 = | F ( L f ) ∗ F ( L f ) ∗ ⋯ ∗ F ( L f ) ⏟ L t i m e s | 2 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)dt=\left\vert F_{L}(f)\right\vert ^{2}=\left\vert \underbrace {F(L_{f})*F(L_{f})*\cdots *F(L_{f})} _{Ltimes}\right\vert ^{2}}

  1. の大きな値については、のすべての値を無視することができます。これを、分布が本質的な上限に達する点 の値と比較すると、次のようになります。 L ( L → ∞ ) {\displaystyle L(L\rightarrow \infty )} L W D : W x ( t , f ) {\displaystyle LWD:W_{x}(t,f)} ( t m , f m ) {\displaystyle (t_{m},f_{m})}

lim L → ∞ ( W x ( t , f ) / W x ( t m , f m ) ) = { 0 , if  f ≠ f m  or  t ≠ t m   1 , if  f = f m  and  t = t m {\displaystyle \lim _{L\to \infty }(W_{x}(t,f)/W_{x}(t_{m},f_{m}))={\begin{cases}0,&{\text{if }}f\neq f_{m}{\text{ or }}t\neq t_{m}{\text{ }}\\1,&{\text{if }}f=f_{m}{\text{ and }}t=t_{m}\end{cases}}}

  • 修正形IV（多項式ウィグナー分布関数）

W x ( t , f ) = ∫ − B B [ ∏ l = 1 q / 2 x ( t + d l τ ) x ∗ ( t − d − l τ ) ] e − j 2 π τ f d τ {\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-B}^{B}[\textstyle \prod _{l=1}^{q/2}\displaystyle x(t+d_{l}\tau )x^{*}(t-d_{-l}\tau )]e^{-j2\pi \tau f}\,d\tau }

およびのとき、それは元のウィグナー分布関数になります。 q = 2 {\displaystyle q=2} d l = d − l = 0.5 {\displaystyle d_{l}=d_{-l}=0.5}

指数関数の位相のオーダーが以下の場合、交差項を回避できる。 q / 2 + 1 {\displaystyle q/2+1}

ただし、2 つのコンポーネント間の交差項は削除できません。

d l {\displaystyle d_{l}} 適切に選択されなければならない。

∏ l = 1 q / 2 x ( t + d l τ ) x ∗ ( t − d − l τ ) = exp ⁡ ( j 2 π ∑ n = 1 q / 2 + 1 n a n t n − 1 τ ) {\displaystyle \textstyle \prod _{l=1}^{q/2}\displaystyle x(t+d_{l}\tau )x^{*}(t-d_{-l}\tau )=\exp {\big (}j2\pi \textstyle \sum _{n=1}^{q/2+1}na_{n}t^{n-1}\tau \displaystyle {\big )}}

W x ( t , f ) = ∫ − ∞ ∞ exp ⁡ ( − j 2 π ( f − ∑ n = 1 q / 2 + 1 n a n t n − 1 ) τ ) d τ {\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }\exp {\Bigl (}-j2\pi (f-\sum _{n=1}^{q/2+1}na_{n}t^{n-1})\tau {\Bigr )}d\tau }

≅ δ ( f − ∑ n = 1 q / 2 + 1 n a n t n − 1 ) {\displaystyle \cong \delta {\bigl (}f-\sum _{n=1}^{q/2+1}na_{n}t^{n-1}{\bigr )}}

もし x ( t ) = exp ⁡ ( j 2 π ∑ n = 1 q / 2 + 1 a n t n ) {\displaystyle x(t)=\exp {\bigl (}j2\pi \sum _{n=1}^{q/2+1}a_{n}t^{n}{\bigr )}}

いつ、 q = 2 {\displaystyle q=2} x ( t + d l τ ) x ∗ ( t − d − l τ ) = exp ⁡ ( j 2 π ∑ n = 1 q / 2 + 1 n a n t n − 1 τ ) {\displaystyle x(t+d_{l}\tau )x^{*}(t-d_{-l}\tau )=\exp {\bigl (}j2\pi \sum _{n=1}^{q/2+1}na_{n}t^{n-1}\tau {\bigr )}}

a 2 ( t + d l τ ) 2 + a 1 ( t + d l τ ) − a 2 ( t − d − l τ ) 2 − a 1 ( t − d − l τ ) = 2 a 2 t τ + a 1 τ {\displaystyle a_{2}(t+d_{l}\tau )^{2}+a_{1}(t+d_{l}\tau )-a_{2}(t-d_{-l}\tau )^{2}-a_{1}(t-d_{-l}\tau )=2a_{2}t\tau +a_{1}\tau }

⟹ d l + d − l = 1 , d l − d − l = 0 {\displaystyle \Longrightarrow d_{l}+d_{-l}=1,d_{l}-d_{-l}=0}

⟹ d l = d − l = 1 / 2 {\displaystyle \Longrightarrow d_{l}=d_{-l}=1/2}

  • 擬似ウィグナー分布
P W x ( t , f ) = ∫ − ∞ ∞ w ( τ / 2 ) w ∗ ( − τ / 2 ) x ( t + τ / 2 ) x ∗ ( t − τ / 2 ) e − j 2 π τ f d τ {\displaystyle PW_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau /2)w^{*}(-\tau /2)x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau \,f}\,d\tau }

コーエンのカーネル関数:周波数軸に集中しています。 Π ( t , f ) = δ 0 ( t ) W h ( t , f ) {\displaystyle \Pi (t,f)=\delta _{0}(t)\,W_{h}(t,f)}

擬似ウィグナーはSTFTの「スペクトル相関」のフーリエ変換としても表すことができることに注意されたい。

P W x ( t , f ) = ∫ − ∞ ∞ S T x ( t , f + ν / 2 ) S T x ∗ ( t , f − ν / 2 ) e j 2 π ν t d ν {\displaystyle PW_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }ST_{x}(t,f+\nu /2)ST_{x}^{*}(t,f-\nu /2)e^{j2\pi \nu \,t}\,d\nu }
  • 平滑化擬似ウィグナー分布 :

擬似ウィグナー分布では、時間窓関数は周波数方向の平滑化として作用します。したがって、周波数方向に振動するウィグナー分布の干渉成分が抑制されます。時間方向の平滑化は、擬似ウィグナー分布とローパス関数の時間畳み込みによって実現できます 。 q {\displaystyle q}

S P W x ( t , f ) = [ q ∗ P W x ( . , f ) ] ( t ) = ∫ − ∞ ∞ q ( t − u ) ∫ − ∞ ∞ w ( τ / 2 ) w ∗ ( − τ / 2 ) x ( u + τ / 2 ) x ∗ ( u − τ / 2 ) e − j 2 π τ f d τ d u {\displaystyle SPW_{x}(t,f)=[q\,\ast \,PW_{x}(.,f)](t)=\int _{-\infty }^{\infty }q(t-u)\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau /2)w^{*}(-\tau /2)x(u+\tau /2)x^{*}(u-\tau /2)e^{-j2\pi \tau \,f}\,d\tau \,du}

コーエンのカーネル関数:ここで、ウィンドウのフーリエ変換です。 Π ( t , f ) = q ( t ) W ( f ) {\displaystyle \Pi (t,f)=q(t)\,W(f)} W {\displaystyle W} w {\displaystyle w}

したがって、平滑化された擬似ウィグナー分布に対応するカーネルは分離可能な形を持つ。SPWDとS法はどちらも時間領域で擬似ウィグナー分布を平滑化するが、一般には同等ではないことに注意する必要がある。

  • S法
S M ( t , f ) = ∫ − ∞ ∞ S T x ( t , f + ν / 2 ) S T x ∗ ( t , f − ν / 2 ) G ( ν ) e j 2 π ν t d ν {\displaystyle SM(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }ST_{x}(t,f+\nu /2)ST_{x}^{*}(t,f-\nu /2)G(\nu )e^{j2\pi \nu \,t}\,d\nu }

コーエンのカーネル関数: Π ( t , f ) = g ( t ) W h ( t , f ) {\displaystyle \Pi (t,f)=g(t)\,W_{h}(t,f)}

S法は、フーリエ変換のローパス窓関数を用いてPWDの積分範囲を制限する。これにより、周波数軸に沿って集中している自己項をぼかすことなく、交差項を除去することができる。S法は、擬似ウィグナー分布[ ]とパワースペクトログラム[ ]の間の平滑化のバランスをとる。 g ( t ) {\displaystyle g(t)} G ( f ) {\displaystyle G(f)} P W x {\displaystyle PW_{x}} g ( t ) = 1 {\displaystyle g(t)=1} S P x {\displaystyle SP_{x}} g ( t ) = δ 0 ( t ) {\displaystyle g(t)=\delta _{0}(t)}

1994年のオリジナルの論文では、スタンコビッチはS法を短時間フーリエ変換の変調バージョンで定義していることに注意してください。

S M ( t , f ) = ∫ − ∞ ∞ S T ~ x ( t , f + ν ) S T ~ x ∗ ( t , f − ν ) P ( ν ) d ν {\displaystyle SM(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }{\tilde {ST}}_{x}(t,f+\nu ){\tilde {ST}}_{x}^{*}(t,f-\nu )P(\nu )\,d\nu }

どこ

S T ~ x ( t , f ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t + τ ) w ∗ ( τ ) e − j 2 π f τ d τ = S T x ( t , f ) e j 2 π f t {\displaystyle {\tilde {ST}}_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+\tau )w^{*}(\tau )e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau \quad =ST_{x}(t,f)\,e^{j2\pi ft}}

この場合でも、

Π ( t , f ) = p ( 2 t ) W h ( t , f ) {\displaystyle \Pi (t,f)=p(2t)\,W_{h}(t,f)}

参照

参考文献

  • P. GonçalvesとR. Baraniuk、「擬似アフィン・ウィグナー分布：定義とカーネル定式化」、IEEE Transactions on Signal Processing、vol. 46、no. 6、1998年6月
  • L. スタンコビッチ、「時間周波数解析法」、IEEE Transactions on Signal Processing、第42巻、第1号、1994年1月
  • LJ Stankovic、S. Stankovic、E. Fakultet、「時間周波数分布を用いた瞬時周波数表現の解析 - 一般化ウィグナー分布」、IEEE Trans. on Signal Processing、 pp. 549-552、vol. 43、no. 2、1995年2月
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