乗数理想

可換代数において、複素多様体上のイデアルの層と実数cに関連付けられた乗数イデアルは、 （局所的に）関数hから成り、

${\displaystyle {\frac {|h|^{2}}{\sum |f_{i}^{2}|^{c}}}}$

は局所的に可積分であり、f _iはイデアルの局所生成元の有限集合である。乗数イデアルは、イデアルではなく複素多様体上の層を扱ったNadel (1989)と、それを随伴イデアルと呼んだLipman (1993)によって独立に導入された。

乗数理想については、調査論文 Blickle & Lazarsfeld (2004)、Siu (2005)、および Lazarsfeld (2009) で説明されています。

代数幾何学

代数幾何学において、実効-因子の乗数イデアルは、 Dの小数部に由来する特異点を測定する。乗数イデアルは、小平消失定理や川又・ヴィーウェグ消失定理などの消失定理と併せて適用されることが多い。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Xを滑らかな複素多様体とし、Dをその実効因子とする。Dの対数分解（例えば、弘中分解）をDとする。Dの乗数イデアルは ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mu :X'\to X}$

${\displaystyle J(D)=\mu _{*}{\mathcal {O}}(K_{X'/X}-[\mu ^{*}D])}$

ここでは相対標準因子です: 。これは のイデアル層です。Dが整式であれば。 ${\displaystyle K_{X'/X}}$ ${\displaystyle K_{X'/X}=K_{X'}-\mu ^{*}K_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle J(D)={\mathcal {O}}_{X}(-D)}$

参照

• 正準特異点
• テスト理想
• ネーデル消失定理

参考文献

• ブリックル、マヌエル、ラザースフェルド、ロバート (2004)、「乗数イデアルへの非公式入門」、可換代数の動向、数学・科学・研究・研究所出版、第51巻、ケンブリッジ大学出版、pp.  87– 114、CiteSeerX  10.1.1.241.4916、doi :10.1017/CBO9780511756382.004、ISBN 9780521831956、MR  2132649、S2CID  10215098
• ラザースフェルド、ロバート（2009）、「乗数イデアルに関する短期講座」、2008 PCMI講義、arXiv：0901.0651、Bibcode：2009arXiv0901.0651L
• ラザースフェルト、ロバート (2004). 『代数幾何学における正値性 II』 ベルリン: シュプリンガー・フェアラーク.
• Lipman、Joseph (1993)、「二次元の規則的な局所リングにおける単純な完全イデアルの随伴体と極体」(PDF)、Bulletin de la Société Mathématique de Belgique。セリエ A、45 (1): 223–244、MR  1316244
• ネーデル、アラン・マイケル (1989)、「乗数イデアル層と正スカラー曲率のケーラー・アインシュタイン計量の存在」、米国科学アカデミー紀要、86 (19): 7299– 7300、Bibcode :1989PNAS...86.7299N、doi : 10.1073/pnas.86.19.7299、JSTOR  34630、MR  1015491、PMC  298048、PMID  16594070
• Siu, Yum-Tong (2005)、「複素幾何学と代数幾何学における乗数イデアル層」、Science China Mathematics、48 (S1): 1– 31、arXiv : math/0504259、Bibcode :2005ScChA..48....1S、doi :10.1007/BF02884693、MR  2156488、S2CID  119163294