ニュートンの冷却の法則

熱伝達の研究において、ニュートンの冷却の法則は、物体の熱損失率は物体とその周囲環境との温度差に正比例するという物理法則です。この法則は、温度差が小さく、熱伝達メカニズムの性質が一定であるという条件をしばしば含みます。したがって、この法則は、熱損失と温度差を媒介する熱伝達係数が定数である という主張と等価です。

熱伝導では、フーリエの法則の結果として、一般にニュートンの法則に従います。ほとんどの材料の熱伝導率は温度にほとんど依存しないため、一般に熱伝達係数一定条件が満たされます。対流熱伝達では、流体の特性が温度によって大きく変化しない強制空冷またはポンプ流体冷却ではニュートンの法則に従いますが、温度差とともに流速が増加する浮力対流では、ニュートンの法則は近似的に当てはまります。熱放射による熱伝達の場合、ニュートンの冷却法則は温度差が非常に小さい場合にのみ適用されます。

ニュートンの法則を温度差の観点から述べると（ビオ数が小さいことや熱容量が温度に依存しないことなど、いくつかの単純化された仮定を仮定した場合） 、温度差を時間の関数として表す単純な微分方程式が得られます。この方程式の解は、温度差が時間の経過とともに指数関数的に減少することを示しています。この温度差の減少は、ニュートンの冷却の法則にも関連しています。

歴史的背景

アイザック・ニュートンは1701年に匿名で冷却に関する研究論文「Scala graduum Caloris. Calorum Descriptiones & signa.」を哲学論文集に掲載した。^{[1]これは最初の熱伝達定式化であり、}対流熱伝達の正式な基礎となっている。^[2]

ニュートンは1701年当時、この法則を上記の形で提唱したわけではありません。むしろ、ニュートンは今日の用語を用いて、いくつかの数学的操作を行った後、物体の温度変化率は物体とその周囲の温度差に比例することに気づきました。このニュートン自身によって提唱された法則の最終的な最も単純な形は、ニュートンの時代に熱と温度の概念が混同されていたことに一部起因しており、この混同はずっと後になって初めて完全に解明されました。^[3]

2020年、丸山と守屋はニュートンの実験を現代の装置を用いて再現し、現代のデータ処理技術を適用した。^[4]特に、彼らは高温（ニュートンが使用した溶融金属の場合）での熱放射と、空気の流れに対する浮力の影響を考慮した。彼らはニュートンの元のデータと比較し、彼の測定（1692年から1693年）は「かなり正確」であったと結論付けた。^[4]

冷却のメカニズムとの関係

対流冷却は「ニュートンの冷却法則」に従うと言われることがあります。熱伝達率が物体と環境の温度差に依存しない、あるいは比較的依存しない場合、ニュートンの法則が適用されます。この法則は、流体の速度が温度差の増加に伴って上昇しない強制空冷やポンプ冷却においてよく当てはまります。ニュートンの法則は、純粋な伝導型冷却において最も厳密に従います。しかし、自然対流（浮力駆動）熱伝達においては、熱伝達率は温度差の関数となります。この場合、ニュートンの法則は温度差が比較的小さい場合にのみ、結果を近似します。ニュートン自身もこの限界を認識していました。

1817年にデュロンとプティは、大きな温度差に対する対流に関するニュートンの法則に指数を加えることで修正しました。^[5] （この二人は結晶のモル比熱容量に関する デュロン・プティの法則を定式化したことで最もよく知られています。）

ニュートンの法則に従わないもう一つの状況は、放射熱伝達です。放射冷却は、熱伝達率が物体とその周囲の絶対温度の4乗の差に応じて変化するというシュテファン・ボルツマンの法則によってより適切に説明されます。

数学的定式化

熱伝達に関する文献で用いられるニュートンの法則は、物体の熱損失率は物体とその周囲温度の差に比例するという考え方を数学的に表現したものです。温度に依存しない熱伝達係数の場合、この式は次の ようになります。

$${\displaystyle q=h\left(T(t)-T_{\text{env}}\right)=h\,\Delta T(t),}$$ どこ

• ${\displaystyle q}$ は体外に伝達される熱流束（SI単位：ワット/m ²）である。
• ${\displaystyle h}$ は熱伝達係数（温度に依存しないと仮定し、表面全体で平均化）（SI単位：W/(m ² ⋅K)）である。
• ${\displaystyle T}$ 物体の表面温度（SI単位：K）
• ${\displaystyle T_{\text{env}}}$ 環境温度、すなわち地表から適度に離れた場所の温度（SI単位：K）
• ${\displaystyle \Delta T(t)=T(t)-T_{\text{env}}}$ 環境と物体間の時間依存の温度差です（SI単位：K）。

熱流束を表面積に積分することにより、グローバルパラメータは次のようにも表すことができます。

$${\displaystyle {\dot {Q}}=\oint _{A}h\left(T(t)-T_{\text{env}}\right)dA=\oint _{A}h\,\Delta T(t)dA,}$$ どこ

• ${\displaystyle {\dot {Q}}}$ は体外への熱伝達率（SI単位：ワット）である。${\displaystyle {\dot {Q}}=\oint _{A}qdA}$
• ${\displaystyle h}$ は熱伝達係数（温度に依存しないと仮定し、表面全体で平均化）（SI単位：W/(m ² ⋅K)）である。
• ${\displaystyle A}$ は熱伝達面積（SI単位：m ²）である。
• ${\displaystyle T}$ 物体の表面温度（SI単位：K）
• ${\displaystyle T_{\text{env}}}$ 環境温度、すなわち地表から適度に離れた場所の温度（SI単位：K）
• ${\displaystyle \Delta T(t)=T(t)-T_{\text{env}}}$ 環境と物体間の時間依存の温度差です（SI単位：K）。

熱伝達係数と温度差が熱伝達面に沿って均一である場合、上記の式は次のように簡略化されます。

$${\displaystyle {\dot {Q}}=hA\left(T(t)-T_{\text{env}}\right)=hA\,\Delta T(t)}$$ 。

熱伝達係数hは、流体の物理的特性と対流が発生する物理的状況に依存します。したがって、解析対象となるすべてのシステムについて、使用可能な単一の熱伝達係数（冷却および加熱中に発生する温度差の範囲全体にわたって大きく変化しないもの）を導出するか、実験的に求めなければなりません。

典型的な構成および流体の熱伝達係数を計算するための公式や相関関係は、多くの参考文献で参照できます。層流の場合、熱伝達係数は通常、乱流よりも小さくなります。これは、乱流では伝熱面上の境界層内で強い混合が生じるためです。 ^[6]系において、層流から乱流への遷移が発生すると、熱伝達係数が変化することに注意してください。

ビオ数

ビオ数は無次元量であり、物体に対して次のように定義される。

$${\displaystyle {\text{Bi}}={\frac {hL_{\rm {C}}}{k_{\rm {b}}}},}$$ どこ

• h = 膜係数または熱伝達係数または対流熱伝達係数、
• L _C =特性長さ、これは通常、物体の体積を物体の表面積で割ったものとして定義され、${\displaystyle L_{\rm {C}}=V_{\text{体}}/A_{\text{表面}}}$
• k _b =物体の熱伝導率。

ビオ数の物理的な意味は、熱い金属球をプールに突然沈め、そこから周囲の流体へと熱が流れる様子を想像することで理解できます。熱の流れは2つの抵抗を受けます。1つは球の表面外側の抵抗、もう1つは固体金属内部の抵抗です（固体金属内部の抵抗は球の大きさと組成の両方の影響を受けます）。これらの抵抗の比が無次元ビオ数です。

流体と球体の界面における熱抵抗が金属球体内部の熱抵抗を超える場合、ビオ数は1未満になります。ビオ数が1よりはるかに小さい系では、球体内部の温度は常に一定であると仮定できますが、表面から熱が球体内に侵入するにつれて温度が変化する可能性があります。物体内部におけるこの（比較的均一な）温度変化を記述する式は、ニュートンの冷却の法則で説明される単純な指数関数式であり、温度差を用いて表されます（下記参照）。

一方、金属球が大きい場合、特性長さが大きくなり、ビオ数が1を超えることがあります。この場合、球の材質が良導体であっても、球体内の温度勾配が重要になります。同様に、球が木材や発泡スチロールなどの断熱性（低伝導性）材料で作られている場合、球体がはるかに小さくても、内部の熱流抵抗は流体/球界面の抵抗を上回ります。この場合も、ビオ数は1を超えます。

ビオ数が0.1未満の場合、物体内部の熱伝導は表面からの熱対流よりもはるかに速く、物体内部の温度勾配は無視できることを意味します。これは、過渡熱伝達問題を解くための特定の手法の適用可能性（または適用不可）を示す可能性があります。例えば、ビオ数が0.1未満の場合、過渡熱伝達の集中容量モデル（集中系解析とも呼ばれる）を仮定した場合、通常、誤差は5%未満であることを示します。^{[7]通常、この種の解析は、物体の内部エネルギーが温度に正比例し、温度が物体への熱伝達率または物体からの熱伝達率を決定するため、単純な指数関数的な加熱または冷却挙動（「ニュートン的」な加熱または冷却）をもたらします。このことから、これらのシステムにおける}熱伝達を記述する単純な一次微分方程式が導かれます。

ビオ数が0.1未満の物質は「熱的に薄い」とみなされ、物質の体積全体にわたって温度が一定であると仮定できます。逆もまた真です。ビオ数が0.1を超える物質（「熱的に厚い」物質）は、この仮定が成り立たないことを示しており、物質体内の時間変化と空間的に不均一な温度場を記述するには、「過渡熱伝導」に関するより複雑な熱伝達方程式が必要になります。これらの問題を扱うための解析的手法は、単純な幾何学的形状と均一な物質の熱伝導率に対して存在する可能性があり、熱方程式に関する記事で説明されています。

アプリケーション

物体の過渡冷却に対する単純な解は、物体内部の熱抵抗が、物体表面からの熱伝達（外部伝導または対流による）に対する抵抗に比べて小さい場合に得られます。これは、ビオ数が約0.1未満となる条件です。この条件により、物体内部は単一の、ほぼ均一な温度であると推定されます。この温度は時間とともに変化しますが、位置によって変化することはありません。（そうでなければ、物体内部には一度に複数の異なる温度が存在することになります。）この単一の温度は、通常、時間の経過とともに指数関数的に変化します（下記参照）。

ビオ数が小さいという条件は、いわゆる集中容量モデルにつながります。このモデルでは、熱容量が一定であると仮定して、物体の内部エネルギー（物体内の熱エネルギー量）を計算します。この場合、物体の内部エネルギーは、物体の単一の内部温度の線形関数となります。

以下に示す集中容量モデルは、強制対流の場合と同様に、熱伝達係数が一定であると仮定しています。自由対流の場合、集中容量モデルは温度差に応じて変化する熱伝達係数を用いて解くことができます。^[8]

集中容量物体の一次過渡応答

集中容量物体として扱われる物体は、総内部エネルギーが（ジュール）であり、単一の均一な内部温度 で特徴付けられます。物体の熱容量 は、非圧縮性物質の場合、（J/K）です。内部エネルギーは、物体の温度、熱容量（温度に依存しないと仮定）、および内部エネルギーがゼロとなる基準温度 で表すことができます 。${\displaystyle U}$ ${\displaystyle T(t)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C=dU/dT}$ ${\displaystyle U=C(T-T_{\text{ref}})}$

時間に関して 微分すると次のようになります。${\displaystyle U}$ $${\displaystyle {\frac {dU}{dt}}=C\,{\frac {dT}{dt}}.}$$

熱力学第一法則を集中物体に適用すると、 となります。ここで、物体からの熱伝達率 はニュートンの冷却法則で表すことができ、非圧縮性物質では仕事の伝達は起こりません。したがって、 となります。ここで、 系 の時定数は です。熱容量は、物体の比熱容量(J/kg-K) と質量(kg)で表すことができます。したがって、時定数は となります。${\textstyle {\frac {dU}{dt}}=-{\dot {Q}}}$ ${\displaystyle {\dot {Q}}}$ $${\displaystyle {\frac {dT(t)}{dt}}=-{\frac {hA}{C}}(T(t)-T_{\text{env}})=-{\frac {1}{\tau}}\ \Delta T(t),}$$ ${\displaystyle \tau =C/(hA)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \tau =mc/(hA)}$

環境温度が時間的に一定である場合、 と定義できる。その式は次のようになる。 ${\displaystyle \Delta T(t)=T(t)-T_{\text{env}}}$ $${\displaystyle {\frac {dT(t)}{dt}}={\frac {d\Delta T(t)}{dt}}=-{\frac {1}{\tau }}\Delta T(t).}$$

この微分方程式の解は、初期条件からの積分により、0時点における温度差である。 温度に戻ると、解は $${\displaystyle \Delta T(t)=\Delta T(0)\,e^{-t/\tau }.}$$ ${\displaystyle \Delta T(0)}$ $${\displaystyle T(t)=T_{\text{env}}+(T(0)-T_{\text{env}})\,e^{-t/\tau }.}$$

身体と環境の間の温度差は時間の関数として 指数関数的に減少します。

標準処方

を定義すると、微分方程式は次のようになる。 ${\displaystyle r=1/\tau =hA/C}$

$${\displaystyle {\dot {T}}=r\left(T_{\text{env}}-T(t)\right),}$$ どこ

• ${\displaystyle {\dot {T}}}$ 熱損失率（SI単位：K/秒）
• ${\displaystyle T}$ 物体の表面温度（SI単位：K）
• ${\displaystyle T_{\text{env}}}$ 環境温度、すなわち地表から適度に離れた場所の温度（SI単位：K）
• ${\displaystyle r}$ 熱伝達係数（SI単位：秒）です。${\displaystyle ^{-1}}$

変数分離法を用いて初期値問題を解くと、

$${\displaystyle T(t)=T_{\text{env}}+(T(0)-T_{\text{env}})e^{-rt}.}$$

参照

• 熱透過率
• 熱伝導率一覧
• 対流拡散方程式
• R値（断熱）
• ヒートパイプ
• フィックの拡散の法則
• 相対論的熱伝導
• チャーチル・ベルンシュタイン方程式
• フーリエ数
• ビオ数
• 偽の拡散
• ムペンバ効果

参考文献

1. "Scala graduum Caloris. Calorum の説明と署名".ロンドン王立協会の哲学トランザクション。22 (270): 824 – 829。1701 年 3 月 – 4 月。doi : 10.1098 /rstl.1700.0082。JSTOR  102813。
2. Cheng, KC; Fujii, T. (1998). 「アイザック・ニュートンと熱伝達」 .熱伝達工学. 19 (4): 9– 21. doi :10.1080/01457639808939932. ISSN  0145-7632.
3. ニュートンの冷却法則の歴史 2015年6月14日アーカイブ - Wayback Machine
4. 丸山 重直; 守屋 修一 (2021). 「ニュートンの冷却法則：フォローアップと探究」. International Journal of Heat and Mass Transfer . 164 120544. Bibcode :2021IJHMT.16420544M. doi :10.1016/j.ijheatmasstransfer.2020.120544.
5. ウィリアム・ヒューウェル（1866年）『帰納科学の歴史：最古から現代まで』ISBN 978-0-598-73959-9。
6. Lienhard, John H. IV; Lienhard, John H., V (2019). 「層流境界層と乱流境界層」. 伝熱教科書（第5版）. ミネオラ, ニューヨーク州: Dover Publications. pp.  271– 347. ISBN 978-0-486-83735-2。
7. フランク・インクロペラ、セオドア・L・バーグマン、デイヴィッド・デウィット、エイドリアン・S・ラヴィーン(2007). 『熱と質量伝達の基礎』（第6版）. John Wiley & Sons . pp. 260–261. ISBN 978-0-471-45728-2。
8. リーンハルト、ジョン H. IV;リーンハルト、ジョン H.、V (2019)。伝熱教科書（第5版）。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ページ 419–420。ISBN​​  978-0-486-83735-2。

参照:

• Dehghani, F 2007, CHNG2801 – 保全と輸送プロセス：コースノート、シドニー大学、シドニー

外部リンク

• 熱伝導 – Thermal-FluidsPedia
• Jeff Bryant によるニュートンの冷却の法則は、Stephen Wolframのプログラム( Wolfram Demonstrations Project)に基づいています。
• 熱伝達の教科書、第 5 版、無料電子書籍。