ノイズレット

ノイズレットは、ハールウェーブレットパケット解析において最悪の挙動を示す関数です。言い換えれば、ノイズレットはハールウェーブレットパケット解析によって完全に非圧縮です。^[1]非コヒーレントな性質を持つ正準基底やフーリエ基底と同様に、ノイズレットはハール基底と完全に非コヒーレントです。さらに、実装アルゴリズムが高速であるため、ハール領域においてスパースな信号の標本化基底として有用です。

意味

母塩基関数は次のように定義されます。 ${\displaystyle \chi (x)}$

${\displaystyle \chi (x)={\begin{cases}1&x\in [0,1)\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

ノイズレットのファミリーは次のように再帰的に構築されます。

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}f_{1}(x)&=\chi (x)\\f_{2n}(x)&=(1-i)f_{n}(2x)+(1+i)f_{n}(2x-1)\\f_{2n+1}(x)&=(1+i)f_{n}(2x)+(1-i)f_{n}(2x-1)\end{alignedat}}}$

fの特性_n

• ${\displaystyle \{f_{j}|j=2^{N},\dots ,2^{N+1}-1\}}$ はの直交基底であり、 はにおける関数の解像度におけるすべての可能な近似の空間です。${\displaystyle V_{N}}$ ${\displaystyle V_{N}}$ ${\displaystyle 2^{N}}$ ${\displaystyle L^{2}[0,1)}$
• それぞれについて、${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle \int _{0}^{1}f_{n}(x)dx=1}$
• それぞれについて、${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle f_{n}(x)=\prod _{j=0}^{\ell (n)-1}{\tilde {r}}_{v_{j}(n)}(2^{j}x)\in [0,1]}$

ノイズレットの行列構築

出典: ^[2]

ノイズレットは拡張して離散化することができます。拡張された関数は以下のように定義されます。 ${\displaystyle f_{m}(k,l)}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}f_{m}(1,l)&={\begin{cases}1&l=0,\dots ,2^{m}-1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}\\f_{m}(2k,l)&=(1-i)f_{m}(k,2l)+(1+i)f_{m}(k,2l-2^{m})\\f_{m}(2k+1,l)&=(1+i)f_{m}(k,2l)+(1-i)f_{m}(k,2l-2^{m})\\\end{alignedat}}}$

拡張ノイズレットを使用すると、ノイズレット行列を生成できます。ここで、nは2の累乗です。 ${\displaystyle f_{m}(k,l)}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle N_{n}}$ ${\displaystyle n=2^{q}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}N_{1}&=[1]\\N_{2n}&={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1-i&1+i\\1+i&1-i\end{bmatrix}}\otimes N_{n}\\\end{alignedat}}}$

ここで はクロネッカー積を表します。 ${\displaystyle \otimes }$

と仮定すると、 が に等しいことがわかります。 ${\displaystyle 2^{m}>n}$ ${\displaystyle N_{n}(k,l)}$ ${\displaystyle f_{m}(n+k,{\frac {2^{m}}{n}}l)}$

ノイズレット行列の要素は、次の 2 つの 4 要素セットのいずれかから離散値を取得します。

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\sqrt {n}}N_{n}(j,k)&\in \{1,-1,i,-i\}&{\text{for even }}q\\{\sqrt {2n}}N_{n}(j,k)&\in \{1+i,1-i,-1+i,-1-i\}&{\text{for odd }}q\\\end{alignedat}}}$

2Dノイズレット変換

2D ノイズレット変換は、1D ノイズレット変換のクロネッカー積を通じて得られます。

${\displaystyle N_{n\times k}^{2D}=N_{k}\otimes N_{n}}$

アプリケーション

Noiselet には、アプリケーションに最適な特性がいくつかあります。

• ノイズレット行列は で導出できます。${\displaystyle O(n\log n)}$
• ノイズレットはスペクトルを完全に拡散し、ハール ウェーブレットと完全に非干渉性を持ちます。
• ノイズレットは共役対称かつユニタリです。

ウェーブレットとノイズレットの相補性は、ノイズレットを圧縮センシングで使用して、ウェーブレットでコンパクトに表現された信号（画像など）を再構成できることを意味します。^[3] MRIデータはノイズレット領域で取得でき、その後、圧縮センシング再構成を使用して、サンプリング不足のデータから画像を再構成できます。^[4]

以下は、noiselet が実装されているアプリケーションの一部です。

磁気共鳴画像法（MRI）

ノイズレット符号化は、磁気共鳴画像法（MRI）において、画像取得時間を短縮する手法です。MRIでは、画像取得プロセスにおいて、通常、勾配を用いた空間情報の符号化が行われます。従来のMRI画像取得では、空間情報を直交座標系（デカルト座標系）でサンプリングする直交座標符号化^[5]が用いられています。しかし、この手法は、特に高解像度画像や動画像では、時間がかかる可能性があります。

ノイズレット符号化は圧縮センシングの一部です。画像のスパース性を利用して、より効率的に画像を取得します。圧縮センシングでは、基礎となる信号または画像が何らかの領域においてスパースであるという仮定の下、ナイキスト-シャノンの標本化定理で規定されるよりも少ないサンプル数で画像を取得します。MRIにおけるノイズレット符号化の仕組みの概要は、以下のとおりです。

ノイズレット符号化では、ノイズレット変換行列が用いられます。この行列から生成される係数は、信号をスケールと時間の両方にわたって効果的に分散させます。その結果、これらの変換係数の各サブセットは、元の信号から特定の情報を捕捉します。これらのサブセットをゼロパディングを用いて独立して利用することで、それぞれを低解像度で元の信号を再構成するために使用できます。ノイズレット符号化ではすべての空間周波数成分がサンプリングされるわけではないため、アンダーサンプリングによってより少ない測定回数で画像を再構成できます。つまり、画質を大幅に犠牲にすることなく、より効率的な画像化が可能になります。

シングルピクセルイメージング

出典: ^[6]

シングルピクセルイメージングは​​、サンプルにパターンを照射した後、単一の検出器を用いて光レベルを測定することで、効率的かつ圧縮的な測定を実現するイメージング方式です。ノイズレットは、圧縮センシングの原理に基づいて計算効率を向上させるために実装されています。以下は、ノイズレットがシングルピクセルイメージングにどのように適用されるかの概要です。

ノイズレット変換行列は構造化照明パターンに適用され、信号情報を測定空間全体に拡散させます。構造化パターンは信号情報のスパース表現をもたらします。これにより、より少ない測定セットから画像を再構成することが可能になり、元の画像と比較して良好な画質で画像を再構成するために必要な重要な情報も保持されます。ノイズレット変換によってもたらされる利点は、以下の通りです。

1. 測定量の削減：計算に必要な測定回数が少なくなる
2. 圧縮データ：画像の圧縮表現により、転送時間と保存容量が削減されます。
3. より高速なイメージング: 全体的な取得時間が大幅に短縮され、単一ピクセルのイメージングが高速イメージング アプリケーションに適したものになります。

参考文献

1. R. Coifman, F. Geshwind, Y. Meyer, Noiselets, Applied and Computational Harmonic Analysis, 10 (2001), pp. 27–44. doi :10.1006/acha.2000.0313.
2. T. Tuma; P. Hurley. 「ノイズレット基底とハール基底の非コヒーレンスについて」(PDF) .
3. E. CandesとJ. Romberg、「圧縮サンプリングにおけるスパース性と非コヒーレンス」、23 (2007)、pp. 969–985。doi : 10.1088/0266-5611/23/3/008。
4. K. Pawar、G. Egan、Z. Zhang、「ノイズレットエンコーディングを使用したマルチチャネル圧縮センシングMRI」、05（2015）、doi：10.1371/journal.pone.0126386。
5. プルースマン、クラース P.;ヴァイガー、マルクス。シャイデッガー、マルクス B.ピーター・ベージガー（1999 年 11 月）。 「SENSE: 高速 MRI の感度エンコーディング」。医学における磁気共鳴。42 (5): 952–962.doi : 10.1002 /(SICI)1522-2594(199911)42:5<952::AID-MRM16>3.0.CO;2-S 。ISSN  0740-3194。PMID  10542355。
6. Pastuszczak, Anna; Szczygiel, Bartlomiej; Mikolajczyk, Michal; Kotynski, Rafal (2016). 修正ノイズレット変換と光シングルピクセル検出器による圧縮センシングへの応用. pp.  1– 4. doi :10.1109/ICTON.2016.7550361. ISBN 978-1-5090-1467-5. 2023年12月27日閲覧。