離散スペクトル（数学）
有限階数リース射影を持つ作用素のスペクトルにおける孤立点の集合

数学、特にスペクトル理論において、閉線形作用素の離散スペクトルは、対応するリース射影の階数が有限であるようなスペクトルの孤立点の集合として定義されます。

離散スペクトルは、正規固有値の集合として定義することもできます。

意味

定義域を持つバナッハ空間の閉線形作用素のスペクトル 上の点は、次の2つの条件が満たされるとき、離散スペクトルに属すると言われる。 [1] λ ∈ C {\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} } σ （ あ ） {\displaystyle \sigma (A)} あ : B → B {\displaystyle A:\,{\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {B}}} B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} D （ あ ） ⊂ B {\displaystyle {\mathfrak {D}}(A)\subset {\mathfrak {B}}} σ d （ あ ） {\displaystyle \sigma _{\mathrm {d} }(A)} あ {\displaystyle A}

  1. λ {\displaystyle \lambda} は 内の孤立点です。 σ （ あ ） {\displaystyle \sigma (A)}
  2. 対応するリース射影子の階数は有限です。 P λ ＝ 1 2 π 私 ∮ Γ （ z 私 B − あ ） − 1 d z {\displaystyle P_{\lambda }={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\Gamma }(zI_{\mathfrak {B}}-A)^{-1}\,dz}

ここで、はバナッハ空間 における恒等演算子であり、 はの閉包における のスペクトルの唯一の点であるような開領域を囲む反時計回りの単純な閉曲線である。つまり、 I B {\displaystyle I_{\mathfrak {B}}} B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} Γ ⊂ C {\displaystyle \Gamma \subset \mathbb {C} } Ω ⊂ C {\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} } λ {\displaystyle \lambda } A {\displaystyle A} Ω {\displaystyle \Omega } σ ( A ) ∩ Ω ¯ = { λ } . {\displaystyle \sigma (A)\cap {\overline {\Omega }}=\{\lambda \}.}

正規固有値

離散スペクトル上の点の集合は、正規固有値の集合に等しい。[2] [3] [4]

σ d ( A ) = { normal eigenvalues of  A } . {\displaystyle \sigma _{\mathrm {d} }(A)=\{{\mbox{normal eigenvalues of }}A\}.}

ルート直系

をバナッハ空間とする。定義域 を持つ部分的に定義された線型作用素を考える。固有値に対応するルート線型作用素は、すべてが に属し、有限回ステップを踏んだ後に 0 となるような元の集合として定義される。 B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} A : B → B {\displaystyle A:\,{\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {B}}} D ( A ) {\displaystyle {\mathfrak {D}}(A)} L λ ( A ) {\displaystyle {\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)} λ ∈ σ p ( A ) {\displaystyle \lambda \in \sigma _{p}(A)} x {\displaystyle x} x , ( A − λ I B ) x , ( A − λ I B ) 2 x , … {\displaystyle x,(A-\lambda I_{\mathfrak {B}})x,(A-\lambda I_{\mathfrak {B}})^{2}x,\dots } D ( A ) {\displaystyle {\mathfrak {D}}(A)} ( A − λ I B ) k x = 0 {\displaystyle (A-\lambda I_{\mathfrak {B}})^{k}x=0}

この集合は線型多様体ですが、必ずしも閉じているわけではありません。もし閉じている場合（例えば有限次元の場合）、それは固有値 に対応するの一般化固有空間と呼ばれます。 A {\displaystyle A} λ {\displaystyle \lambda }

正規固有値

定義域を持つバナッハ空間における閉線形作用素の固有値は 、次の2つの条件を満たすとき、正規（本来の用語では、正規分裂有限次元ルート部分空間に対応する）と呼ばれる： [5] [2] [3] λ ∈ σ p ( A ) {\displaystyle \lambda \in \sigma _{p}(A)} A : B → B {\displaystyle A:\,{\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {B}}} B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} D ( A ) ⊂ B {\displaystyle {\mathfrak {D}}(A)\subset {\mathfrak {B}}} λ {\displaystyle \lambda }

  1. の 代数的重複度は有限です: 、ここでは固有値 に対応するのルート線形です。 λ {\displaystyle \lambda } ν = dim ⁡ L λ ( A ) < ∞ {\displaystyle \nu =\dim {\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)<\infty } L λ ( A ) {\displaystyle {\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)} A {\displaystyle A} λ {\displaystyle \lambda }
  2. 空間は直和に分解できます。ここでは の不変部分空間であり、その不変部分空間には有界逆元があります。 B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} B = L λ ( A ) ⊕ N λ {\displaystyle {\mathfrak {B}}={\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)\oplus {\mathfrak {N}}_{\lambda }} N λ {\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\lambda }} A {\displaystyle A} A − λ I B {\displaystyle A-\lambda I_{\mathfrak {B}}}

同等の特徴

同値な特徴付け （[4] ：定理III.88 ）—をバナッハ空間における閉じた線型稠密定義演算子とすると、以下は同値である。 A : B → B {\displaystyle A:\,{\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {B}}} B {\displaystyle {\mathfrak {B}}}

  1. λ ∈ σ ( A ) {\displaystyle \lambda \in \sigma (A)} は正規の固有値です。
  2. λ ∈ σ ( A ) {\displaystyle \lambda \in \sigma (A)} は の孤立点であり、半フレドホルム点である。 σ ( A ) {\displaystyle \sigma (A)} A − λ I B {\displaystyle A-\lambda I_{\mathfrak {B}}}
  3. λ ∈ σ ( A ) {\displaystyle \lambda \in \sigma (A)} は の孤立点であり、フレドホルムである。 σ ( A ) {\displaystyle \sigma (A)} A − λ I B {\displaystyle A-\lambda I_{\mathfrak {B}}}
  4. λ ∈ σ ( A ) {\displaystyle \lambda \in \sigma (A)} は孤立点であり、指数ゼロのフレドホルムである。 σ ( A ) {\displaystyle \sigma (A)} A − λ I B {\displaystyle A-\lambda I_{\mathfrak {B}}}
  5. λ ∈ σ ( A ) {\displaystyle \lambda \in \sigma (A)} は孤立点であり、対応するリース射影の階数は有限である。 σ ( A ) {\displaystyle \sigma (A)} P λ {\displaystyle P_{\lambda }}
  6. λ ∈ σ ( A ) {\displaystyle \lambda \in \sigma (A)} は における孤立点であり、その代数的重複度は有限であり、 の値域は閉じている。[5] [2] [3] σ ( A ) {\displaystyle \sigma (A)} ν = dim ⁡ L λ ( A ) {\displaystyle \nu =\dim {\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)} A − λ I B {\displaystyle A-\lambda I_{\mathfrak {B}}}

このような場合、ルート線状は閉じており、リース射影の範囲に等しくなります。[3] L λ ( A ) {\displaystyle {\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)}

他のスペクトルとの関係

有限代数的重複度の孤立した固有値

一般に、リース射影の階数は対応する固有値のルート線形 の次元よりも大きくなる可能性があり、特に、 、 となる可能性がある。したがって、次の包含関係が存在する。 L λ {\displaystyle {\mathfrak {L}}_{\lambda }} d i m L λ < ∞ {\displaystyle \mathrm {dim} \,{\mathfrak {L}}_{\lambda }<\infty } r a n k P λ = ∞ {\displaystyle \mathrm {rank} \,P_{\lambda }=\infty }

σ d ( A ) ⊂ { isolated points of the spectrum of  A  with finite algebraic multiplicity } . {\displaystyle \sigma _{\mathrm {d} }(A)\subset \{{\mbox{isolated points of the spectrum of }}A{\mbox{ with finite algebraic multiplicity}}\}.}

特に、準零演算子

Q : l 2 ( N ) → l 2 ( N ) , Q : ( a 1 , a 2 , a 3 , … ) ↦ ( 0 , a 1 / 2 , a 2 / 2 2 , a 3 / 2 3 , … ) , {\displaystyle Q:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} ),\qquad Q:\,(a_{1},a_{2},a_{3},\dots )\mapsto (0,a_{1}/2,a_{2}/2^{2},a_{3}/2^{3},\dots ),}

,が成り立ちます。したがって、は有限代数的重複度の孤立した固有値ですが、離散スペクトルには存在しません: 、 。 L λ ( Q ) = { 0 } {\displaystyle {\mathfrak {L}}_{\lambda }(Q)=\{0\}} r a n k P λ = ∞ {\displaystyle \mathrm {rank} \,P_{\lambda }=\infty } λ = 0 {\displaystyle \lambda =0} σ ( Q ) = { 0 } {\displaystyle \sigma (Q)=\{0\}} σ d ( Q ) = ∅ {\displaystyle \sigma _{\mathrm {d} }(Q)=\emptyset }

点スペクトル

演算子の離散スペクトルは、の固有値の集合として定義される点スペクトルと混同してはならない。離散スペクトルの各点は固有値であるため、 σ d ( A ) {\displaystyle \sigma _{\mathrm {d} }(A)} A {\displaystyle A} σ p ( A ) {\displaystyle \sigma _{\mathrm {p} }(A)} A {\displaystyle A}

σ d ( A ) ⊂ σ p ( A ) . {\displaystyle \sigma _{\mathrm {d} }(A)\subset \sigma _{\mathrm {p} }(A).}

しかし、それらは等しくない場合もあります。固有値はスペクトルの孤立点ではない場合もあれば、孤立点であっても無限階数のリース射影を持つ場合もあります。例えば、左シフト演算子の場合、 点スペクトルは複素平面上の 開単位円板、全スペクトルは閉単位円板、離散スペクトルは空です。 L : l 2 ( N ) → l 2 ( N ) , L : ( a 1 , a 2 , a 3 , … ) ↦ ( a 2 , a 3 , a 4 , … ) , {\displaystyle L:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} ),\quad L:\,(a_{1},a_{2},a_{3},\dots )\mapsto (a_{2},a_{3},a_{4},\dots ),} D 1 {\displaystyle \mathbb {D} _{1}} D 1 ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbb {D} _{1}}}}

σ p ( L ) = D 1 , σ ( L ) = D 1 ¯ , σ d ( L ) = ∅ . {\displaystyle \sigma _{\mathrm {p} }(L)=\mathbb {D} _{1},\qquad \sigma (L)={\overline {\mathbb {D} _{1}}},\qquad \sigma _{\mathrm {d} }(L)=\emptyset .}

これは孤立した点がないためです。 σ p ( L ) {\displaystyle \sigma _{\mathrm {p} }(L)}

スペクトル分解

バナッハ空間における閉じた演算子のスペクトルは、離散スペクトルと 5 番目のタイプの本質的スペクトルという 2 つの互いに素な集合の和集合に分解できます(各タイプの定義についてはページを参照してください)。 A : B → B {\displaystyle A:\,{\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {B}}} B {\displaystyle {\mathfrak {B}}}

σ ( A ) = σ d ( A ) ∪ σ e s s , 5 ( A ) . {\displaystyle \sigma (A)=\sigma _{\mathrm {d} }(A)\cup \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(A).}

参考文献

  1. ^ Reed, M.; Simon, B. (1978). 『現代数理物理学の方法』第4巻. 演算子の解析. Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], New York.
  2. ^ abc Gohberg, I. C; Kreĭn, MG (1960). 「欠陥数、根数、線形演算子の指数に関する基本的な側面」アメリカ数学会翻訳. 13 : 185–264 . doi :10.1090/trans2/013/08.
  3. ^ abcd Gohberg, I. C; Kreĭn, MG (1969). 線形非自己随伴作用素の理論入門. アメリカ数学会, プロビデンス, ロードアイランド
  4. ^ ab Boussaid, N.; Comech, A. (2019). 非線形ディラック方程式. 孤立波のスペクトル安定性. アメリカ数学会, プロビデンス, ロードアイランド州ISBN 978-1-4704-4395-5。
  5. ^ ab ゴーバーグ、I. C; MG、クライン（1957）。 "Основные положения о дефектных числах, корневых числах индексах линейных операторов" [欠陥番号、根番号、線形インデックスの基本的な側面演算子]。ウスペキマット。ナウク[アメール ]数学。社会翻訳。 (2)』。新しいシリーズ。12 (2(74)): 43 – 118.

参照

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