ヌル無限大

理論物理学では、ヌル無限大は漸近的に平坦な時空の境界にある領域である。一般相対性理論では、測地線と呼ばれる時空内の直線経路は、空間的、時間的、または光的（ヌルとも呼ばれる）である。これらの経路の区別は、経路の時空間隔が正（空間的に対応）、負（時間的に対応）、またはゼロ（ヌルに対応）であるかどうかによって生じる。光のような経路は、電磁放射や重力放射など、光速で空間を伝播する物理現象に物理的に対応する。平坦な時空の境界は共形無限大として知られ、すべての測地線が無限に向かうときの終点と考えることができる。[ 1 ]ヌル無限大の領域は、平坦なミンコフスキー空間内のすべてのヌル測地線の終端に対応する。共形無限大の様々な領域は、ペンローズ図上で最もよく視覚化され、図の境界を構成します。過去無限大と未来無限大と呼ばれる2つの異なる無限大領域があり、これらは「I」という文字を用いて およびと表記されます。これらの2つの領域は、それぞれ「scri-plus」と「scri-minus」と呼ばれることがよくあります。[ 2 ] 幾何学的には、これらの領域はそれぞれ、位相的に円筒状の3次元領域の構造を持っています。 私+{\displaystyle {\mathcal {I}}^{+}}私−{\displaystyle {\mathcal {I}}^{-}}

ヌル無限大の研究は、時空の大域的性質を記述する必要性から始まった。一般相対論の初期の方法は局所的な参照系を中心に構築された局所構造に焦点を当てていたが、1960年代に始まった研究は、一般相対論の大域的記述を分析し始め、時空全体の構造を解析し始めた。[ 3 ]ヌル無限大の最初の研究は、ロジャー・ペンローズによるブラックホール時空を分析した研究に端を発する。[ 4 ]ヌル無限大は、ヌル経路の限界をとらなければならない場合に漸近平坦な空間での挙動を解析するための有用な数学的ツールである。例えば、ブラックホール時空は漸近平坦であり、ヌル無限大はブラックホールから外側に向かって放射が伝わる限界での放射を特徴付けるために使用できる。[ 5 ]ヌル無限大は、FLRW宇宙論のように必ずしも漸近平坦ではない時空の文脈でも考察することができる。[ 2 ]

ミンコフスキー時空における共形コンパクト化

ミンコフスキー時空のペンローズ図。横軸は動径方向の位置、縦軸は時間です。図の対角線上の境界はヌル無限大で、文字「I」で表されます。

球座標における平坦なミンコフスキー時空の計量は である。共形コンパクト化は、角度を保存する変換を誘導するが、計量の局所構造を変更し、多様体の境界を追加することで、計量をコンパクトにする。[ 6 ]与えられた計量 に対して、共形コンパクト化は計量全体を何らかの共形因子でスケーリングし、無限遠点がすべて有限値に縮小されるようにする。[ 3 ]通常、動径座標と時間座標はヌル座標およびに変換される。次に、逆正接関数の特性を使用して無限遠を有限値にマッピングするために、これらは および に変換される。[ 2 ]一般的な時間および空間座標はおよびとして導入される場合がある 。これらの座標変換の後、共形因子が導入され、ミンコフスキー空間の新しい非物理的な計量が得られる。[ 7 ]ds2＝−dt2+dr2+r2dΩ2{\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}+dr^{2}+r^{2}d\Omega^{2}}グラム私j{\displaystyle g_{ij}}グラム私j¯＝Ω2グラム私j{\displaystyle {\overline {g_{ij}}}=\オメガ ^{2}g_{ij}}あなた＝t+r{\displaystyle u=t+r}v＝t−r{\displaystyle v=tr}p＝日焼け−1⁡あなた{\displaystyle p=\tan ^{-1}u}q＝日焼け−1⁡v{\displaystyle q=\tan ^{-1}v}T＝p+q{\displaystyle T=p+q}R＝p−q{\displaystyle R=p-q}

ds2=−dT2+dR2+(sin2⁡R)dΩ2{\displaystyle ds^{2}=-dT^{2}+dR^{2}+(\sin ^{2}R)d\Omega ^{2}}。

これはペンローズ図上の計量であり、図示されている。元の計量とは異なり、この計量は、と の制約によって与えられる境界を持つ多様体を記述する。この境界上には、過去と未来のヌル無限大に対応する2つのヌル面が存在する。具体的には、未来のヌル無限大は と となるすべての点から成り、過去のヌル無限大はと と なるすべての点から成る。[ 2 ]R{\displaystyle R}T{\displaystyle T}T=π−R{\displaystyle T=\pi -R}0<R<π{\displaystyle 0<R<\pi }T=R−π{\displaystyle T=R-\pi }0<R<π{\displaystyle 0<R<\pi }

座標制約から、ヌル無限大は円筒形の位相を持つ3次元ヌル面である。[ 1 ] [ 8 ]R×S2{\displaystyle \mathbb {R} \times S^{2}}

ここで示した構成はミンコフスキー空間の平坦計量に特有のものである。しかしながら、このような構成は他の漸近平坦空間にも一般化できる。このようなシナリオでは、ヌル無限大は依然として時空多様体の境界における3次元ヌル面として存在するが、多様体の全体構造は異なる可能性がある。例えば、ミンコフスキー空間では、すべてのヌル測地線は過去のヌル無限大から始まり、未来のヌル無限大で終わる。しかし、シュワルツシルトブラックホール時空では、ブラックホールの事象の地平線によって2つの可能性が生じる。すなわち、測地線はヌル無限大で終わる可能性もあれば、ブラックホールの未来特異点で終わる可能性もある。ヌル無限大の存在（および他の共形無限領域）は、時空多様体上の測地線完備性を保証する。この場合、すべての測地線は真の特異点で終わるか、無限大の境界と交差する。[ 7 ]

その他の物理的応用

ヌル無限大の対称性は、時空の典型的な領域の対称性とは特徴的に異なる。平坦ミンコフスキー時空の対称性はポアンカレ群によって与えられるが、ヌル無限大の対称性はボンディ・メッツナー・サックス（BMS）群によって与えられる。[ 9 ] [ 10 ]ボンディ、メッツナー、サックスによる研究は、ヌル無限大に関連する解析を用いて重力放射を特徴付けたが、ADMフレームワークなどの以前の研究は、時空的無限大の特徴付けを扱っていた。[ 8 ]近年、境界ヌル無限大上の重力子の研究への関心が高まっている。 [ 8 ] [ 11 ] BMS群を用いると、ヌル無限大上の量子は質量のないスピン2粒子として特徴付けることができ、これは一般相対論の量子が重力子であることと一致する。[ 8 ]

参考文献

  1. ^ a bホーキング, SW ; エリス, GFR (1973). 『時空の大規模構造』 . ケンブリッジ数理物理学モノグラフ. ケンブリッジ大学出版局. doi : 10.1017/cbo9780511524646 . ISBN 978-0-521-09906-6。
  2. ^ a b c dショーン・M・キャロル（2019年） 『時空と幾何学：一般相対性理論入門』ケンブリッジ大学出版局。Bibcode ： 2019sgai.book ..... C。doi ：10.1017 /9781108770385。ISBN 9781108488396. S2CID  126323605 . 2023年5月8日閲覧.
  3. ^ a b Misner, CW ; Thorne, KS ; Wheeler, JA ; Chandrasekhar, S. (1974年8月1日). 「重力」. Physics Today . 27 (8): 47– 48. Bibcode : 1974PhT....27h..47M . doi : 10.1063/1.3128805 . ISSN 0031-9228 . 
  4. ^ペンローズ、ロジャー(1965年1月18日). 「重力崩壊と時空特異点」 .フィジカル・レビュー・レターズ. 14 (3): 57– 59. Bibcode : 1965PhRvL..14...57P . doi : 10.1103/PhysRevLett.14.57 .
  5. ^ Lehner, Luis (1998年12月).ブラックホール時空からの重力放射(博士論文). ピッツバーグ大学. Bibcode : 1998PhDT.........6L .
  6. ^スチュワート、ジョン (1991). 『一般相対論の高度化』 . ケンブリッジ数理物理学モノグラフ. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. doi : 10.1017/cbo9780511608179 . ISBN 978-0-521-44946-5。
  7. ^ a b D'Inverno, RA (1992). 『アインシュタインの相対性理論入門』（第1版）. Clarendon Press. ISBN 978-0198596868。
  8. ^ a b c d Ashtekar, Abhay (2015). 「ヌル無限大の幾何学と物理学」 .微分幾何学概論. 20 (1): 99– 122. arXiv : 1409.1800 . doi : 10.4310/SDG.2015.v20.n1.a5 . ISSN 2164-4713 . S2CID 54611087 .  
  9. ^ Bondi, H. ; Van der Burg, MGJ; Metzner, A. (1962-08-21). 「一般相対論における重力波 VII. 軸対称孤立系からの波」 . Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences . 269 (1336): 21– 52. Bibcode : 1962RSPSA.269...21B . doi : 10.1098/rspa.1962.0161 . ISSN 0080-4630 . S2CID 120125096 .  
  10. ^ Dray, T; Streubel, M (1984-01-11). 「ヌル無限大における角運動量」 .古典重力と量子重力. 1 (1): 15– 26. Bibcode : 1984CQGra...1...15D . doi : 10.1088/0264-9381/1/1/005 . ISSN 0264-9381 . S2CID 250751212 .  
  11. ^ Adamo, Tim; Casali, Eduardo; Skinner, David (2014-04-15). 「アンビットツイスター弦と1ループにおける散乱方程式」 . Journal of High Energy Physics . 2014 (4): 104. arXiv : 1312.3828 . Bibcode : 2014JHEP...04..104A . doi : 10.1007/JHEP04(2014)104 . ISSN 1029-8479 . S2CID 119194796 .  
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