オストログラツキー不安定性

応用数学において、オストログラツキー不安定性は、 2つ以上の時間微分を持つ運動方程式（高次微分理論）の解の特徴である。これは、古典力学におけるミハイル・オストログラツキーの定理によって示唆されており、それによれば、2次以上の時間微分に依存する非退化ラグランジアンは、下から有界でないハミルトニアンに対応する。通常どおり、ハミルトニアンはルジャンドル変換を介してラグランジアンに関連付けられる。オストログラツキー不安定性は、2次以上の高次微分方程式が物理現象を記述できないように見える理由の説明として提案されている。^[1] しかし、オストログラツキーの定理は、多くの反例が知られているように、高次微分理論のすべての解が不安定であることを意味するわけではない。^{[2] [3 ] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10]}

証明の概要

出典: ^[11]

証明の要点は、ラグランジアンを持つ1次元系を考えることでより明確になる。オイラー・ラグランジュ方程式は ${\displaystyle L(q,{\dot {q}},{\ddot {q}})}$

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}+{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\frac {\partial L}{\partial {\ddot {q}}}}=0.}$

の非退化性とは、正準座標が の微分で表せること、またその逆も成り立つことを意味します。したがって、は の関数です（そうでなければヤコビアンは消え、 は退化していることになります）。つまり、 と書くことができます。あるいは、 を逆にすると と書くことができます。 の発展は4つの初期パラメータに依存するため、これは4つの正準座標が存在することを意味します。これらは次のように書くことができます。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {q}}$ ${\displaystyle \partial L/\partial {\ddot {q}}}$ ${\displaystyle {\ddot {q}}}$ ${\displaystyle \det[\partial ^{2}L/(\partial {{\ddot {q}}_{i}}\,\partial {\ddot {q}}_{j})]}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle q^{(4)}=F(q,{\dot {q}},{\ddot {q}},q^{(3)})}$ ${\displaystyle q=G(t,q_{0},{\dot {q}}_{0},{\ddot {q}}_{0},q_{0}^{(3)})}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle Q_{1}:=q}$

${\displaystyle Q_{2}:={\dot {q}}}$

共役運動量の定義を用いると、

${\displaystyle P_{1}:={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\ddot {q}}}}$

${\displaystyle P_{2}:={\frac {\partial L}{\partial {\ddot {q}}}}}$

上記の結果は次のようにして得られる。まず、ラグランジアン乗数を新しい動的変数として導入することで、ラグランジアンを「通常の」形に書き直す。${\displaystyle \lambda}$

${\displaystyle L(q,{\dot {q}},{\ddot {q}})\to {\tilde {L}}=L(Q_{1},{\dot {Q_{1}}},{\dot {Q_{2}}})-\lambda (Q_{2}-{\dot {Q_{1}}})}$ 、

そこから、オイラー・ラグランジアン方程式は次 のようになる。${\displaystyle Q_{1},Q_{2},\lambda }$

${\displaystyle Q_{1}:{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q_{1}}}}}+{\dot {\lambda }}-{\frac {\partial L}{\partial Q_{1}}}=0}$ 、

${\displaystyle Q_{2}:{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q_{2}}}}}+{\lambda }=0}$ 、

${\displaystyle \lambda :Q_{2}-{\dot {Q_{1}}}=0}$ 、

さて、に関する正準運動量は、次のように簡単に示される。 ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$ ${\displaystyle {\tilde {L}}}$

${\displaystyle P_{1}={\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {\dot {Q_{1}}}}}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q_{1}}}}}+\lambda ={\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q_{1}}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q_{2}}}}}}$

${\displaystyle P_{2}={\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {\dot {Q_{2}}}}}={\frac {\partial {L}}{\partial {\dot {Q_{2}}}}}}$

その間

${\displaystyle P_{\lambda }=0}$

これらはまさにオストログラツキが上で示した定義である。さらにハミルトニアンを評価するために、

${\displaystyle {\tilde {H}}=P_{1}{\dot {Q_{1}}}+P_{2}{\dot {Q_{2}}}+p_{\lambda }{\dot {\lambda }}-{\tilde {L}}=P_{1}Q_{2}+P_{2}{\dot {Q_{2}}}-{L}}$ 、

ここで、2番目の等式については、上記のオイラー・ラグランジアン方程式を用いる。非退化性のため、と書くことができる。ラグランジアン自体には3つの自由パラメータしかないため、ここでは3つの引数のみが必要である。したがって、最後の式は のみに依存するため、実質的に元の理論のハミルトニアン、すなわち ${\displaystyle {\ddot {q}}={\dot {Q_{2}}}}$ ${\displaystyle a(Q_{1},Q_{2},P_{2})}$ ${\displaystyle P_{1},P_{2},Q_{1},Q_{2}}$

${\displaystyle H=P_{1}Q_{2}+P_{2}a(Q_{1},Q_{2},P_{2})-L(Q_{1},Q_{2},P_{2})}$ 。

ここで、ハミルトニアンは に線形であり、したがって下からは有界ではないことに気づく。これはオストログラツキー不安定性の原因であり、ラグランジアンが依存する座標の数が、問題を特定するために必要な初期パラメータに対応する正準座標の数よりも少ないという事実に起因している。高次元系への拡張も同様であり、高次微分への拡張は、単に位相空間が配置空間よりもさらに高次元であることを意味する。 ${\displaystyle P_{1}}$

注記

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3. Pagani, E.; Tecchiolli, G.; Zerbini, S. (1987). 「高階微分における安定性の問題について：ラグランジュ系」. Letters in Mathematical Physics . 14 (311): 311– 319. Bibcode :1987LMaPh..14..311P. doi :10.1007/BF00402140. S2CID  120866609.
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