追い越し基準

経済学では、追い越し基準は無限の結果の流れを比較するために用いられます。数学的には、無限の時間間隔における最適制御の問題における最適性の概念を適切に定義するために使用されます。[1]

政策立案者の決定は、遠い未来にまで影響を及ぼすことがしばしばあります。今日行われた経済政策決定が、将来何年先であろうと、ある国の経済成長に影響を与える可能性があります。このような場合、将来の結果を無限ストリームとしてモデル化することがしばしば便利です。そして、2つの無限ストリームを比較し、どちらが優れているかを判断する必要があるかもしれません（例えば、政策を決定するために）。追い越し基準は、この比較を行うための選択肢の一つです。

表記

X {\displaystyle X} は、起こり得る結果の集合である。例えば、年間国内総生産の可能性を表す正の実数の集合である。これは正規化されている。

X ∞ {\displaystyle X^{\infty }} は、起こり得る結果の無限列の集合です。 の各要素は次の形式をとります。 X ∞ {\displaystyle X^{\infty }} x = ( x 1 , x 2 , … ) {\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots )}

⪯ {\displaystyle \preceq } は半順序です。2つの無限列 が与えられたとき、が弱優位 ( ) であるか、 が弱優位 ( ) であるか、あるいはそれらが比較不可能で ある可能性があります。 x , y {\displaystyle x,y} x {\displaystyle x} x ⪰ y {\displaystyle x\succeq y} y {\displaystyle y} y ⪰ x {\displaystyle y\succeq x}

≺ {\displaystyle \prec } は の厳密な変形です。つまり であり、ではない場合です。 ⪯ {\displaystyle \preceq } x ≺ y {\displaystyle x\prec y} x ⪯ y {\displaystyle x\preceq y} y ⪯ x {\displaystyle y\preceq x}

基数の定義

≺ {\displaystyle \prec } 実数値関数の無限列が存在し、その列が以下のようになるとき、「追い越し基準」と呼ばれる：[2] u 1 , u 2 , … : X → R {\displaystyle u_{1},u_{2},\ldots :X\to \mathbb {R} }

x ≺ y {\displaystyle x\prec y}      もしも      ∃ N 0 : ∀ N > N 0 : ∑ t = 1 N u t ( x t ) < ∑ t = 1 N u t ( y t ) {\displaystyle \exists N_{0}:\forall N>N_{0}:\sum _{t=1}^{N}u_{t}(x_{t})<\sum _{t=1}^{N}u_{t}(y_{t})}

代替条件は次の通りである: [3] [4]

x ≻ y {\displaystyle x\succ y}      もしも      0 < lim inf N → ∞ ∑ t = 1 N u t ( x t ) − ∑ t = 1 N u t ( y t ) {\displaystyle 0<\lim \inf _{N\to \infty }\sum _{t=1}^{N}u_{t}(x_{t})-\sum _{t=1}^{N}u_{t}(y_{t})}

例:

1. 次の例では、 x ≺ y {\displaystyle x\prec y}

x = ( 0 , 0 , 0 , 0 , . . . ) {\displaystyle x=(0,0,0,0,...)}
y = ( − 1 , 2 , 0 , 0 , . . . ) {\displaystyle y=(-1,2,0,0,...)}

これは、単一の期間の違いがシーケンス全体に影響を及ぼす可能性があることを示しています。

2. 次の例では、とは比較できません。 x {\displaystyle x} y {\displaystyle y}

x = ( 4 , 1 , 4 , 4 , 1 , 4 , 4 , 1 , 4 , … ) {\displaystyle x=(4,1,4,4,1,4,4,1,4,\ldots )}
y = ( 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , … ) {\displaystyle y=(3,3,3,3,3,3,3,3,3,\ldots )}

の部分和は の部分和より大きくなり、その後小さくなり、最後に の部分和と等しくなります。したがって、これらのシーケンスのいずれも他を「追い越す」ことはありません。 x {\displaystyle x} y {\displaystyle y}

これはまた、追い越し基準が単一の基数効用関数で表現できないことを示しています。つまり、が成り立つ場合に限り、 となる実数値関数は存在しません。これを理解する一つの方法は、[3]で、任意の およびに対して、 U {\displaystyle U} x ≺ y {\displaystyle x\prec y} U ( x ) < U ( y ) {\displaystyle U(x)<U(y)} a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} } a < b {\displaystyle a<b}

( a , a , … ) ≺ ( a + 1 , a , … ) ≺ ( b , b , … ) {\displaystyle (a,a,\ldots )\prec (a+1,a,\ldots )\prec (b,b,\ldots )}

したがって、の基数と同程度の基数を持つ、 には互いに素で空でないセグメントの集合が存在する。対照的に、 の互いに素で空でないセグメントの集合はすべて可算集合でなければならない。 ( X , ≺ ) {\displaystyle (X,\prec )} R {\displaystyle \mathbb {R} } ( R , ≺ ) {\displaystyle (\mathbb {R} ,\prec )}

序数の定義

を の部分集合として定義します。この集合では、最初のT個の要素のみが非ゼロです。 の各要素はの形式をとります。 X T {\displaystyle X_{T}} X ∞ {\displaystyle X^{\infty }} X T {\displaystyle X_{T}} ( x 1 , … , x T , 0 , 0 , 0 , … ) {\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{T},0,0,0,\ldots )}

≺ {\displaystyle \prec } 次の公理を満たす場合、「追い越し基準」と呼ばれます。

1. あらゆる に対して、はの完全な順序である。 T {\displaystyle T} ⪯ {\displaystyle \preceq } X T {\displaystyle X_{T}}

2. 任意の に対して、は上の明らかな位相において連続関係である。 T {\displaystyle T} ⪯ {\displaystyle \preceq } X T {\displaystyle X_{T}}

3. 各 について、は選好独立である（定義については、ドブリューの定理#順序効用関数の加法性を参照）。また、任意の について、 の因子のうち少なくとも3つは必須である（選好に影響を与える）。 T > 1 {\displaystyle T>1} X T {\displaystyle X_{T}} T ≥ 3 {\displaystyle T\geq 3} X T {\displaystyle X_{T}}

4.      もしも      x ≺ y {\displaystyle x\prec y} ∃ T 0 : ∀ T > T 0 : ( x 1 , … , x T , 0 , 0 , 0 , … ) ≺ ( y 1 , … , y T , 0 , 0 , 0 , … ) {\displaystyle \exists T_{0}:\forall T>T_{0}:(x_{1},\ldots ,x_{T},0,0,0,\ldots )\prec (y_{1},\ldots ,y_{T},0,0,0,\ldots )}

これらの公理を満たすすべての半順序は、第一基数定義も満たす。[2]

上で説明したように、一部のシーケンスは追い越し基準によって比較不可能となる場合があります。そのため、追い越し基準はについては半順序付けとして定義され、 については完全順序付けとして定義されます。 X ∞ {\displaystyle X^{\infty }} X T {\displaystyle X_{T}}

アプリケーション

追い越し基準は経済成長理論で用いられている。[5]

繰り返しゲーム理論においても、手段の限界基準や割引和基準の代替として用いられます。フォーク定理（ゲーム理論）#追い越しを参照してください。[3] [4]

参照

参考文献

  1. ^ Carlson, DA; Haurie, AB; Leizarowitz, A. (1991). 「無限時間間隔における最適性の定義」.無限時間最適制御. ベルリン: Springer. pp.  9– 17. ISBN 3-540-54249-3。
  2. ^ ab ブロック、ウィリアム・A. (1970). 「ラムゼー＝ヴァイツゼッカー追い越し基準の公理的根拠」.エコノメトリカ. 38 (6): 927– 929. doi :10.2307/1909701. JSTOR  1909701.
  3. ^ abc Rubinstein, Ariel (1979). 「追い越し基準を持つスーパーゲームにおける均衡」. Journal of Economic Theory . 21 : 1–9 . doi :10.1016/0022-0531(79)90002-4.
  4. ^ ab Rubinstein, A. (1980). 「スーパーゲームにおける強い完全均衡」.国際ゲーム理論ジャーナル. 9 : 1–12 . doi :10.1007/BF01784792.
  5. ^ Gale、Koopmans、McKenzie、von Weizsacker、Brockの論文を参照
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